Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Lý thuyết Bài 9: Tích của một vectơ với một số
Định nghĩa tích vectơ với một số, tính chất, điều kiện cùng phương, hệ thức trung điểm và trọng tâm, phân tích vectơ.
BÀI 9: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Quy tắc nhân vectơ với số thực, điều kiện cùng phương của hai vectơ, hệ thức trung điểm & trọng tâm, và phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
THUẬT NGỮ & KIẾN THỨC, KĨ NĂNG (SGK TRANG 55)
- Thuật ngữ: Tích của vectơ với một số; Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
- Kĩ năng: Thực hiện phép nhân vectơ với một số thực.
- Mô tả các mối quan hệ cùng phương, cùng hướng bằng vectơ.
Bài toán đòn bẩy và Khối tâm của hệ chất điểm
Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một thanh đòn $AB$, luôn có duy nhất một điểm $M$ thuộc $AB$ để nếu đặt trụ đỡ tại $M$ thì thanh đòn ở trạng thái cân bằng (Hình 4.20).
Điều trên còn đúng trong những trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, thanh đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác $n$ đỉnh $A_1, A_2, \dots, A_n$, tại mỗi đỉnh $A_i$ có đặt một vật nặng $m_i\text{ (kg)}$. Ở đây, ta coi thanh đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm $M$ như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ ứng với các khối lượng $m_1, m_2, \dots, m_n\text{ (kg)}$.
Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí điểm khối tâm của một hệ chất điểm thông qua phép nhân vectơ với một số.
1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Khám phá tích của vectơ với số dương (SGK trang 55)
Cho vectơ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$. Hãy xác định điểm $C$ sao cho $\overrightarrow{BC} = \vec{a}$.
a) Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\vec{a} + \vec{a}$.
b) Vectơ $\vec{a} + \vec{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ $\vec{a}$?
- a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{a}$.
- b) Vì $B$ là trung điểm của $AC$ và $C$ nằm trên tia đối của tia $BA$ (hướng từ $A$ sang $C$), nên vectơ $\vec{a} + \vec{a}$ có cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $2|\vec{a}|$. Ta viết $\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$.
ĐỊNH NGHĨA (TRƯỜNG HỢP $k > 0$)
Tích của một vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ với một số thực $k > 0$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $k|\vec{a}|$.
Trả lời: Có. Với $k = 1 > 0$, vectơ $1\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $1|\vec{a}| = |\vec{a}|$. Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau, do đó $1\vec{a} = \vec{a}$.
Khám phá tích của vectơ với số âm (SGK trang 56)
Trên một trục số, gọi $O, A, M, N$ tương ứng biểu diễn các số $0;\; 1;\; \sqrt{2};\; -\sqrt{2}$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$ với vectơ $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$.
- Vectơ $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$ và $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{2} = \sqrt{2}|\overrightarrow{OA}|$. Ta có đẳng thức: $\overrightarrow{OM} = \sqrt{2}\overrightarrow{OA}$.
- Vectơ $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với $\overrightarrow{OA}$ và $|\overrightarrow{ON}| = \sqrt{2} = \sqrt{2}|\overrightarrow{OA}|$.
- Mối quan hệ giữa $\overrightarrow{ON}$ và $\overrightarrow{OA}$ được thể hiện bởi đẳng thức: $\overrightarrow{ON} = -\sqrt{2}\overrightarrow{OA}$.
ĐỊNH NGHĨA (TRƯỜNG HỢP $k < 0$)
Tích của một vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ với một số thực $k < 0$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ và có độ dài bằng $(-k)|\vec{a}|$.
NHẬN XÉT TỔNG QUÁT (SGK TRANG 56)
Vectơ $k\vec{a}$ có độ dài bằng $|k||\vec{a}|$ và:
- Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k \ge 0$.
- Ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $\vec{a} \ne \vec{0}$ và $k < 0$.
Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vectơ).
Trả lời: Với $k = -1 < 0$, vectơ $(-1)\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $|-1||\vec{a}| = |\vec{a}|$. Do đó, $(-1)\vec{a}$ chính là vectơ đối của $\vec{a}$, tức $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$.
Chứng minh rằng hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}\;(\vec{b} \ne \vec{0})$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số $k$ để $\vec{a} = k\vec{b}$.
Lời giải (Chuẩn SGK):
• Chiều thuận: Thật vậy, nếu $\vec{a} = k\vec{b}$ thì theo định nghĩa, $\vec{a}$ cùng hướng (khi $k \ge 0$) hoặc ngược hướng (khi $k < 0$) với $\vec{b}$, do đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
• Chiều đảo: Ngược lại, giả sử $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương:
– Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng, ta lấy $k = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$.
– Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng, ta lấy $k = -\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$.
– Nếu $\vec{a} = \vec{0}$, ta lấy $k = 0$.
Khi đó luôn có đẳng thức $\vec{a} = k\vec{b}$.
Ba điểm thẳng hàng trên đường thẳng d (SGK trang 56)
Cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (Hình 4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?
- a) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi tồn tại số $t$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$.
- b) Với điểm $M$ bất kì, ta luôn có $\overrightarrow{AM} = \frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}$.
- c) Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB$ khi và chỉ khi tồn tại số $t \le 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$.
- Khẳng định a) ĐÚNG: Điểm $M \in d \Leftrightarrow$ đường thẳng $AM$ trùng hoặc song song với $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \exists t \in \mathbb{R}: \overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$.
- Khẳng định b) SAI: Đẳng thức chỉ đúng khi $M$ thuộc tia $AB$ (tức $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$). Nếu $M$ thuộc tia đối, hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow{AM} = -\frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}$. Nếu $M \notin d$, hai vectơ không cùng phương nên không thể biểu diễn qua nhau.
- Khẳng định c) ĐÚNG: Điểm $M$ thuộc tia đối của tia $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ hoặc $M \equiv A$ (khi $t = 0$), do đó tồn tại số $t \le 0$ để $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$.
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Tính chất kết hợp của phép nhân vectơ với số (SGK trang 57)
Với $\vec{u} \ne \vec{0}$ và hai số thực $k, t$, những khẳng định nào sau đây là đúng?
- a) Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|kt||\vec{u}|$.
- b) Nếu $kt \ge 0$ thì cả hai vectơ $k(t\vec{u}), (kt)\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$.
- c) Nếu $kt < 0$ thì cả hai vectơ $k(t\vec{u}), (kt)\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$.
- d) Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ bằng nhau.
Cả bốn khẳng định a, b, c, d đều ĐÚNG. Hai vectơ $k(t\vec{u})$ và $(kt)\vec{u}$ luôn có cùng độ dài và cùng hướng (cùng hướng với $\vec{u}$ nếu $kt \ge 0$, ngược hướng với $\vec{u}$ nếu $kt < 0$). Do đó ta luôn có: $k(t\vec{u}) = (kt)\vec{u}$.
Tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ (SGK trang 57)
Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3(\vec{u} + \vec{v})$ và $3\vec{u} + 3\vec{v}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3(\vec{u} + \vec{v})$ và $3\vec{u} + 3\vec{v}$.
- Đặt gốc chung tại $O(0, 0)$. Ta có $\overrightarrow{OM} = \vec{u} + \vec{v}$. Do đó $3(\vec{u} + \vec{v}) = 3\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OC}$ (đường chéo của hình bình hành lớn $OACB$).
- Mặt khác, $\overrightarrow{OA} = 3\vec{u}$ và $\overrightarrow{OB} = 3\vec{v}$. Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} \Leftrightarrow 3\vec{u} + 3\vec{v} = \overrightarrow{OC}$.
- Từ đó suy ra: $3(\vec{u} + \vec{v}) = 3\vec{u} + 3\vec{v}$.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ (SGK TRANG 57)
Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực $k, t$, ta luôn có:
Cho đoạn thẳng $AB$ có trung điểm $I$. Chứng minh rằng với điểm $O$ tuỳ ý, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$.
Lời giải:
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ (Ví dụ 3a, Bài 8).
Do đó:
$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI} + \vec{0} = 2\overrightarrow{OI}.$$
Hệ thức trọng tâm tam giác (SGK trang 57)
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với điểm $O$ tuỳ ý, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Với điểm $O$ bất kì, áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GC})$$
$$= 3\overrightarrow{OG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{OG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{OG}.$$
NHẬN XÉT QUAN TRỌNG:
- Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
- Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Biểu thị vectơ trên lưới hình bình hành (SGK trang 57)
Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$, tức là tìm các số $x, y, z, t$ để: $$\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b},\quad \vec{v} = z\vec{a} + t\vec{b}.$$
- Quan sát lưới hình bình hành Hình 4.27:
• Vectơ $\vec{u}$ có gốc tại gốc chung của $\vec{a}, \vec{b}$, đi $1$ ô theo phương $\vec{a}$ và $2$ ô theo phương $\vec{b}$. Do đó: $$\vec{u} = 1\vec{a} + 2\vec{b} \implies x = 1,\; y = 2.$$ - Vectơ $\vec{v}$ tịnh tiến về gốc chung (đường nét đứt), ta thấy vectơ này đi $-1$ ô theo phương $\vec{a}$ (ngược hướng với $\vec{a}$) và $2$ ô theo phương $\vec{b}$. Do đó: $$\vec{v} = -1\vec{a} + 2\vec{b} \implies z = -1,\; t = 2.$$
ĐỊNH LÍ: PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG (SGK TRANG 57)
Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (Hình 4.28). Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số thực $(x; y)$ sao cho:
Đây là định lí nền tảng giúp thiết lập hệ toạ độ và xác định toạ độ của mọi vectơ trong mặt phẳng toạ độ.
Cho tam giác $ABC$. Hãy xác định điểm $M$ để: $$\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}.$$
Lời giải (Hình 4.29):
Để xác định vị trí của $M$, trước hết ta biểu thị $\overrightarrow{AM}$ (với gốc $A$ đã biết) theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.
Đẳng thức vectơ đã cho tương đương với: $$\overrightarrow{MA} + 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + 2(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}) = \vec{0}$$ $$\Leftrightarrow 6\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = \vec{0}$$ $$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Lấy điểm $E$ là trung điểm của $AB$ và điểm $F$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AF = \frac{1}{3}AC$.
Khi đó $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vì vậy $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}$.
Suy ra $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $EAFM$.
BÀI TOÁN KHỐI TÂM HỆ CHẤT ĐIỂM (SGK TRANG 58)
Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm $M$ của hệ các chất điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ với các khối lượng tương ứng $m_1, m_2, \dots, m_n$ được xác định bởi đẳng thức vectơ:
Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về việc xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ tương ứng.
Ứng dụng Vectơ: Thuyền buồm đi dích dắc ngược chiều gió (SGK trang 59)
Mặc dù dựa vào sức đẩy của gió, bằng cách chạy theo đường dích dắc, thuyền buồm vẫn có thể di chuyển tới một vị trí ở ngược hướng gió so với điểm xuất phát.
Ta hãy dùng kiến thức về vectơ để phân tích các lực chính tác động tới sự chuyển động của thuyền buồm trong trường hợp này:
- Lực $\vec{F}$ do gió tác động vào cánh buồm được phân tích thành: $\vec{p}$ cùng phương với cánh buồm và $\vec{q}$ vuông góc với cánh buồm: $$\vec{F} = \vec{p} + \vec{q}.$$ Do cánh buồm mỏng nên lực $\vec{p}$ chỉ trượt đi mà không tác động lên cánh buồm.
- Lực $\vec{q}$ tiếp tục được phân tích thành lực $\vec{a}$ cùng phương với sống thuyền và lực $\vec{b}$ vuông góc với sống thuyền: $$\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}.$$
- Thuyền buồm có sống thuyền sâu (mũi nhọn) nên nó chịu một lực cản $\vec{b}'$ đáng kể của nước, vuông góc với sống thuyền. Người ta điều chỉnh hướng thuyền và góc buồm để lực cản bên $\vec{b}'$ triệt tiêu thành phần ngang $\vec{b}$.
- Kết quả là còn lại thành phần lực $\vec{a}$ đẩy thuyền tiến lên! Sau một khoảng thời gian, người lái lại đổi hướng buồm để đưa thuyền đến đích theo đường dích dắc vượt gió.
1. Áp dụng quy tắc ba điểm, ta phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ qua đỉnh $B$: $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$$ 2. Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$ 3. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai cạnh đối $BC$ và $AD$ song song và bằng nhau, suy ra $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Do đó: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ 4. Thay vào đẳng thức ban đầu, ta được: $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ Vậy đáp án đúng là A.
1. Chèn hai điểm $M$ và $N$ vào các vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$$ $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$$ 2. Cộng vế với vế hai đẳng thức trên: $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$ - Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$.
- Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \vec{0}$.
Suy ra: $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} \quad (1)$$ 3. Chứng minh tương tự với $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$$ $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$$ Cộng hai vế ta được: $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND}) = 2\overrightarrow{MN} \quad (2)$$ Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.
Vậy đáp án đúng là A.
a) Xác định vị trí của điểm $K$:
Ta có: $$\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{KA} + 2(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0}$$ $$\iff 3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0} \iff -3\overrightarrow{AK} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0}$$ $$\iff \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$ Đẳng thức này cho thấy: - Hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng (vì hệ số $\frac{2}{3} > 0$). - Độ dài $AK = \frac{2}{3}AB$. Do đó điểm $K$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK = 2KB$.
b) Biểu diễn $\overrightarrow{OK}$ theo $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$:
Với điểm $O$ bất kì, ta chèn điểm $O$ vào đẳng thức $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$: $$(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OK}) + 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OK}) = \vec{0}$$ $$\iff \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OK} = \vec{0} \iff 3\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$$ $$\iff \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$ Vậy đáp án đúng là A.
a) Xác định vị trí điểm $M$:
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$.
Theo tính chất trung điểm, với điểm $M$ bất kì ta luôn có: $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$$ Thay vào đẳng thức đã cho: $$2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0} \iff 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC}) = \vec{0} \iff \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$$ Đẳng thức $\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$ chứng tỏ $M$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $IC$.
b) Hệ thức với điểm $O$ bất kì:
Ta có: $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}) + 2(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC})$$ $$= 4\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}) = 4\overrightarrow{OM} + \vec{0} = 4\overrightarrow{OM}$$ Vậy đáp án đúng là A.
Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$). Biết $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$, góc giữa $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ bằng $120^\circ$, và độ lớn của lực $\vec{F}_1$ là $20\text{ N}$.
Độ lớn của các lực $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ lần lượt là:
1. Vì chất điểm $A$ ở trạng thái cân bằng nên: $$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} \iff \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = -\vec{F}_3$$ Đặt $\vec{F}_{12} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. Khi đó $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_3$, nghĩa là vectơ $\vec{F}_{12}$ và $\vec{F}_3$ là hai vectơ đối nhau.
Suy ra: - Độ lớn: $|\vec{F}_{12}| = |\vec{F}_3|$. - Hướng: $\vec{F}_{12}$ ngược hướng với $\vec{F}_3$. 2. Theo giả thiết, góc giữa $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ là $120^\circ$. Do $\vec{F}_{12}$ ngược hướng với $\vec{F}_3$ nên góc giữa $\vec{F}_{12}$ và $\vec{F}_2$ là: $$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ 3. Do $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$, quy tắc hình bình hành cho thấy hợp lực $\vec{F}_{12}$ tạo với $\vec{F}_1, \vec{F}_2$ một tam giác vuông tại đỉnh của $\vec{F}_2$. Trong tam giác vuông này: - $\tan 60^\circ = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_2|} \implies |\vec{F}_2| = \frac{|\vec{F}_1|}{\tan 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ N} \approx 11{,}55\text{ N}$. - $\sin 60^\circ = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_{12}|} = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_3|} \implies |\vec{F}_3| = \frac{|\vec{F}_1|}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ N} \approx 23{,}09\text{ N}$.
Vậy đáp án đúng là A.