Bài 10: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ1. Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi $x_1, \dots, x_{20}$ là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Ví dụ 1. Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như sau:

Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam, người nữ sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng.

Giải:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có bảng sau:

Tổng số người nam là: $n_1 = 2 + 3 + 5 + 3 + 2 = 15$.
Tổng số người nữ là: $n_2 = 2 + 7 + 12 + 7 + 2 = 30$.
Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là: $$\bar{x}_1 = \frac{1}{15}[2 \cdot (-0{,}5) + 3 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5\text{ (kg)}$$ Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là: $$\bar{x}_2 = \frac{1}{30}[2 \cdot (-0{,}5) + 7 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot 1{,}5 + 7 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5\text{ (kg)}$$ Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là: $$s_1^2 = \frac{1}{15}[2 \cdot (-0{,}5)^2 + 3 \cdot 0{,}5^2 + 5 \cdot 1{,}5^2 + 3 \cdot 2{,}5^2 + 2 \cdot 3{,}5^2] - 1{,}5^2 \approx 1{,}21; \quad s_1 \approx 1{,}21$$ Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nữ là: $$s_2^2 = \frac{1}{30}[2 \cdot (-0{,}5)^2 + 7 \cdot 0{,}5^2 + 12 \cdot 1{,}5^2 + 7 \cdot 2{,}5^2 + 2 \cdot 3{,}5^2] - 1{,}5^2 = 1; \quad s_2 = 1$$ Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ ít hơn so với của nam.

Luyện tập. Một vận động viên luyện tập chạy cự li $100\text{ m}$ đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?

Vận dụng. Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.

Ví dụ 2. Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng $60$ tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn?

Giải:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:

Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là: $$\bar{x}_A = \frac{1}{60}(5 \cdot 7{,}5 + 10 \cdot 12{,}5 + 30 \cdot 17{,}5 + 10 \cdot 22{,}5 + 5 \cdot 27{,}5) = 17{,}5\text{ (triệu đồng)}$$ $$\bar{x}_B = \frac{1}{60}(20 \cdot 7{,}5 + 5 \cdot 12{,}5 + 10 \cdot 17{,}5 + 5 \cdot 22{,}5 + 20 \cdot 27{,}5) = 17{,}5\text{ (triệu đồng)}$$ Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hằng tháng như nhau.
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là: $$s_A = \sqrt{\frac{1}{60}(5 \cdot 7{,}5^2 + 10 \cdot 12{,}5^2 + 30 \cdot 17{,}5^2 + 10 \cdot 22{,}5^2 + 5 \cdot 27{,}5^2) - (17{,}5)^2} = 5$$ $$s_B = \sqrt{\frac{1}{60}(20 \cdot 7{,}5^2 + 5 \cdot 12{,}5^2 + 10 \cdot 17{,}5^2 + 5 \cdot 22{,}5^2 + 20 \cdot 27{,}5^2) - (17{,}5)^2} \approx 8{,}42$$ Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là "rủi ro" hơn.

Ví dụ 3. Thống kê lợi nhuận hằng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong $20$ tháng của hai nhà đầu tư được cho như sau:

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên. Có nên dựa vào độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro của hai nhà đầu tư này không?

Giải:

Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau:
Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là: $$\bar{x}_A = \frac{1}{20}(2 \cdot 15 + \dots + 2 \cdot 55) = 35\text{ (triệu đồng)}; \quad \bar{x}_B = \frac{1}{20}(4 \cdot 515 + \dots + 4 \cdot 555) = 535\text{ (triệu đồng)}$$ Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hằng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là: $$s_A = \sqrt{\frac{1}{20}(2 \cdot 15^2 + \dots + 2 \cdot 55^2) - (35)^2} \approx 10{,}95$$ $$s_B = \sqrt{\frac{1}{20}(4 \cdot 515^2 + \dots + 4 \cdot 555^2) - (535)^2} \approx 13{,}78$$ Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hằng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.