Công thức khai triển nhị thức Newton với n = 4 và n = 5, tam giác Pascal và ứng dụng tính giá trị xấp xỉ.
Tóm tắt trọng tâm: Công thức khai triển nhị thức Newton với n = 4 và n = 5, tam giác Pascal và ứng dụng tính giá trị xấp xỉ.
Khai triển với số mũ $n = 4$
Khai triển của luỹ thừa bậc 4 có $5$ số hạng với các hệ số là $C_4^0, C_4^1, C_4^2, C_4^3, C_4^4$ (1, 4, 6, 4, 1): $$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$ Khi đổi dấu thành $(a - b)^4$: Dấu đan xen $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.
Khai triển với số mũ $n = 5$
Khai triển của luỹ thừa bậc 5 có $6$ số hạng với các hệ số là $C_5^0, C_5^1, C_5^2, C_5^3, C_5^4, C_5^5$ (1, 5, 10, 10, 5, 1): $$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$ Khi đổi dấu thành $(a - b)^5$: $a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$.
Tam giác Pascal & Ứng dụng tính xấp xỉ
• Tam giác Pascal: Hàng $n$ chứa các hệ số của khai triển $(a + b)^n$. Mỗi số bên trong bằng tổng của hai số ở ngay hàng trên chếch về hai bên. • Ứng dụng xấp xỉ: Khi $|x|$ rất nhỏ ($x \approx 0$): $(1 + x)^4 \approx 1 + 4x$; $(1 + x)^5 \approx 1 + 5x$.
📐 Tam giác Pascal và hệ số Nhị thức Newton
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
Ví dụ minh họa:
Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho $(a + b)^4$ với $a = 2x$ và $b = -3$: $$\begin{aligned} (2x - 3)^4 &= (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4 \\ &= 16x^4 + 4(8x^3)(-3) + 6(4x^2)(9) + 4(2x)(-27) + 81 \\ &= 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81 \end{aligned}$$ Vậy hệ số của số hạng chứa $x^2$ là $216$.
Câu 1: Ví dụ áp dụng Bài 25
Mức độ: ThongHieu
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho $(a + b)^4$ với $a = 2x$ và $b = -3$: $$\begin{aligned} (2x - 3)^4 &= (2x)^4 + 4(2x)^3(-3) + 6(2x)^2(-3)^2 + 4(2x)(-3)^3 + (-3)^4 \\ &= 16x^4 + 4(8x^3)(-3) + 6(4x^2)(9) + 4(2x)(-27) + 81 \\ &= 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81 \end{aligned}$$ Vậy hệ số của số hạng chứa $x^2$ là $216$.