Phân tích chi tiết từng mệnh đề:

• Mệnh đề A đúng: Đây là tính chất bắc cầu của quan hệ song song giữa hai mặt phẳng phân biệt: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
• Mệnh đề B sai: Một đường thẳng nằm trong $(P)$ song song với $(Q)$ thì $(P)$ vẫn có thể cắt $(Q)$ theo giao tuyến song song với đường thẳng đó.
• Mệnh đề C sai: Thiếu điều kiện hai đường thẳng cắt nhau. Nếu hai đường thẳng đó song song với nhau thì $(P)$ vẫn có thể cắt $(Q)$.
• Mệnh đề D sai: Hai mặt phẳng cùng cắt một mặt phẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc song song.

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa trong SGK Toán 11:

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung:

$(\alpha) // (\beta) \iff (\alpha) \cap (\beta) = \varnothing$

Lời giải chi tiết:

Theo Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết):

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha) // (\beta)$:

$\begin{cases} a \subset (\alpha), \ b \subset (\alpha) \\ a \cap b = \{M\} \\ a // (\beta), \ b // (\beta) \end{cases} \implies (\alpha) // (\beta)$

Lời giải chi tiết:

• Xét mặt bên $ABB'A'$ là hình bình hành: $M, N$ là trung điểm của $AA', BB' \implies MN$ là đường trung bình của hình bình hành $ABB'A' \implies MN // AB$.
• Do $AB \subset (ABC)$ nên $MN // (ABC)$.
• Xét mặt bên $ACC'A'$ là hình bình hành: $M, P$ là trung điểm của $AA', CC' \implies MP$ là đường trung bình $\implies MP // AC \subset (ABC) \implies MP // (ABC)$.
• Trong mặt phẳng $(MNP)$, hai đường thẳng $MN$ và $MP$ cắt nhau tại $M$.
• Theo Định lí 1: Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $MP$ cùng song song với mặt phẳng $(ABC)$ nên $(MNP) // (ABC)$.

Lời giải chi tiết:

• Mặt phẳng $mp(B, m)$ chính là mặt phẳng chứa điểm $B$ và đường thẳng $m$ (đi qua $A$), tức là mặt phẳng chứa $AB$ và $m$.
• Mặt phẳng $mp(C, n)$ là mặt phẳng chứa $CD$ và $n$ (đi qua $D$).
• Ta có: $AB // CD \subset mp(C, n) \implies AB // mp(C, n)$.
• Lại có: $m // n \subset mp(C, n) \implies m // mp(C, n)$.
• Hai đường thẳng $AB$ và $m$ cắt nhau tại điểm $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $mp(B, m)$.
• Theo Định lí 1 suy ra: $mp(B, m) // mp(C, n)$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng Định lí Thalès trong không gian cho ba mặt phẳng đôi một song song $(P), (Q), (R)$ và hai cát tuyến $d, d'$:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$

Thay số vào hệ thức:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{B'C'} \implies B'C' = \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}$.

Lời giải chi tiết:

• Vì $(\alpha) // (A'B'C'D') // (ABCD)$ nên hai đa giác đáy $ABCD$ và $A''B''C''D''$ nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Các cạnh bên $AA'', BB'', CC'', DD''$ nằm trên các cạnh bên của lăng trụ ban đầu nên chúng đôi một song song với nhau.
• Mặt phẳng cắt song song với đáy nên theo Định lí 3, các cạnh đáy tương ứng song song: $A''B'' // AB, B''C'' // BC, ...$ và bằng nhau từng đôi một $\implies$ hai đáy là hai tứ giác bằng nhau.
• Các mặt bên $ABB''A'', BCC''B'', ...$ là các hình bình hành.

Theo định nghĩa, hình đa diện đó chính là hình lăng trụ tứ giác.

Lời giải chi tiết:

• Gọi $M, M'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$. Khi đó tứ giác $BCC'B'$ là hình bình hành nên $MM' // BB' // AA'$ và $MM' = BB' = AA'$.
• Do đó tứ giác $AMM'A'$ là hình bình hành $\implies AM // A'M'$ và $AM = A'M'$.
• Theo tính chất trọng tâm: $AG = \frac{2}{3}AM$ và $A'G' = \frac{2}{3}A'M'$.
• Vì $AM // A'M'$ và $AM = A'M'$ nên đoạn thẳng $AG // A'G'$ và $AG = A'G'$.
• Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Vậy tứ giác $AGG'A'$ là hình bình hành (suy ra $GG' // AA'$ và $GG' = AA'$).

Lời giải chi tiết:

• Theo giả thiết, mặt phẳng $(MNN'M') // (ABB'A')$.
• Mặt đáy $(ABCD)$ cắt hai mặt phẳng song song này theo hai giao tuyến là $AB$ và $MN \implies MN // AB$.
• Mà $ABCD$ là hình bình hành nên $AM // BN$. Tứ giác $ABNM$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
• Tương tự, đáy trên $A'B'N'M'$ cũng là hình bình hành bằng hình bình hành $ABNM$.
• Các đoạn thẳng nối tương ứng $AA', BB', NN', MM'$ là các cạnh bên song song và bằng nhau.

Do đó, $ABNM.A'B'N'M'$ là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, tức là hình hộp.

Phân tích khoa học và định lí hình học không gian:

• Các mặt dẫm của các bậc cầu thang luôn được thiết kế nằm ngang để đảm bảo người đi lại thuận tiện và an toàn, do đó chúng nằm trong các mặt phẳng đôi một song song với nhau.
• Bức tường phẳng được xem là một mặt phẳng thứ ba cắt tập hợp các mặt phẳng bậc thang song song đó.
• Theo Định lí 3 (Tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song): Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì cắt theo hai giao tuyến song song.
• Mép của mỗi bậc thang gắn vào tường chính là đoạn giao tuyến giữa mặt bậc thang và mặt phẳng bức tường.
• Do đó, các mép này luôn luôn song song với nhau!