Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân
Bài 7: Cấp số nhân
Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Cấp số nhân (Toán 11 KNTT)
Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân
TOÁN 11 KNTT
Bài 7: Cấp số nhân
Toàn bộ định nghĩa cấp số nhân, công bội, công thức số hạng tổng quát, tính tổng $n$ số hạng đầu cùng các bài toán thực tiễn về tiền lương, vi khuẩn, khấu hao tài sản và nồng độ thuốc.
THUẬT NGỮ
- Cấp số nhân
- Công bội $q$
- Số hạng tổng quát $u_n$
- Tổng của $n$ số hạng đầu $S_n$
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
- Nhận biết một dãy số là cấp số nhân.
- Giải thích và vận dụng công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.
- Tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân.
- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân.
TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU
Bài toán mức lương chuyên gia công nghệ thông tin
Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là $240$ triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm $5\%$ lương mỗi năm so với năm liền trước đó.
Hỏi tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty $10$ năm là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
(Bài toán thực tiễn hấp dẫn này sẽ được giải trọn vẹn ở Ví dụ 5 sau khi ta xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân).
1 Định nghĩa
HĐ1
Nhận biết cấp số nhân
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3 \cdot 2^n$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_n$ và $u_{n-1}$.
Xem lời giải HĐ1
a) Năm số hạng đầu của dãy số là:
• $u_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$
• $u_2 = 3 \cdot 2^2 = 12$
• $u_3 = 3 \cdot 2^3 = 24$
• $u_4 = 3 \cdot 2^4 = 48$
• $u_5 = 3 \cdot 2^5 = 96$
b) Xét tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp:
$$\frac{u_2}{u_1} = \frac{12}{6} = 2, \quad \frac{u_3}{u_2} = \frac{24}{12} = 2, \quad \frac{u_4}{u_3} = \frac{48}{24} = 2, \quad \frac{u_5}{u_4} = \frac{96}{48} = 2$$ Tổng quát với mọi $n \ge 2$: $$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2 \implies u_n = 2u_{n-1}$$
• $u_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$
• $u_2 = 3 \cdot 2^2 = 12$
• $u_3 = 3 \cdot 2^3 = 24$
• $u_4 = 3 \cdot 2^4 = 48$
• $u_5 = 3 \cdot 2^5 = 96$
b) Xét tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp:
$$\frac{u_2}{u_1} = \frac{12}{6} = 2, \quad \frac{u_3}{u_2} = \frac{24}{12} = 2, \quad \frac{u_4}{u_3} = \frac{48}{24} = 2, \quad \frac{u_5}{u_4} = \frac{96}{48} = 2$$ Tổng quát với mọi $n \ge 2$: $$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2 \implies u_n = 2u_{n-1}$$
Định nghĩa Cấp số nhân
- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$.
- Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
- Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ được cho bởi hệ thức truy hồi:
$$u_n = u_{n-1} \cdot q \quad \text{với } n \ge 2$$
Câu hỏi thảo luận (?): Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ có phải là một cấp số nhân không?
Trả lời: Có. Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = a$ và công bội $q = 1$.
(Đặc biệt nếu $a = 0$ thì dãy số $0, 0, 0, \ldots$ là cấp số nhân với công bội $q$ là một số thực tùy ý).
Trả lời: Có. Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = a$ và công bội $q = 1$.
(Đặc biệt nếu $a = 0$ thì dãy số $0, 0, 0, \ldots$ là cấp số nhân với công bội $q$ là một số thực tùy ý).
Ví dụ 1
Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 5$ và công bội $q = -2$. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.
Xem lời giải
Năm số hạng đầu của cấp số nhân là:
• $u_1 = 5$
• $u_2 = u_1 \cdot q = 5 \cdot (-2) = -10$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (-10) \cdot (-2) = 20$
• $u_4 = u_3 \cdot q = 20 \cdot (-2) = -40$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (-40) \cdot (-2) = 80$
• $u_1 = 5$
• $u_2 = u_1 \cdot q = 5 \cdot (-2) = -10$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (-10) \cdot (-2) = 20$
• $u_4 = u_3 \cdot q = 20 \cdot (-2) = -40$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (-40) \cdot (-2) = 80$
Ví dụ 2
Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{1}{3^{n-1}}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
Xem lời giải
Với mọi $n \ge 2$, ta xét tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp:
$$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{\frac{1}{3^{n-1}}}{\frac{1}{3^{n-2}}} = \frac{3^{n-2}}{3^{n-1}} = \frac{1}{3}$$
tức là $u_n = \frac{1}{3} u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{3^0} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{3}$.
Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{3^0} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{3}$.
Luyện tập 1
Chứng minh dãy số là cấp số nhân
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2 \cdot 5^n$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
Xem lời giải Luyện tập 1
Với mọi $n \ge 2$, ta xét tỉ số:
$$\frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{2 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^{n-1}} = 5 \quad \text{(không đổi với mọi } n \ge 2\text{)}$$
Suy ra $u_n = 5 u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$. Do đó $(u_n)$ là một cấp số nhân.
• Số hạng đầu: $u_1 = 2 \cdot 5^1 = 10$.
• Công bội: $q = 5$.
• Số hạng đầu: $u_1 = 2 \cdot 5^1 = 10$.
• Công bội: $q = 5$.
2 Số hạng tổng quát
HĐ2
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$.
a) Tính các số hạng $u_2, u_3, u_4, u_5$ theo $u_1$ và $q$.
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ $n$ theo $u_1$ và $q$.
Xem lời giải HĐ2
a) Theo định nghĩa cấp số nhân:
• $u_2 = u_1 \cdot q$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (u_1 \cdot q) \cdot q = u_1 \cdot q^2$
• $u_4 = u_3 \cdot q = (u_1 \cdot q^2) \cdot q = u_1 \cdot q^3$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (u_1 \cdot q^3) \cdot q = u_1 \cdot q^4$
b) Quan sát quy luật số mũ của $q$ luôn nhỏ hơn chỉ số của $u$ một đơn vị, ta dự đoán:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$
• $u_2 = u_1 \cdot q$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (u_1 \cdot q) \cdot q = u_1 \cdot q^2$
• $u_4 = u_3 \cdot q = (u_1 \cdot q^2) \cdot q = u_1 \cdot q^3$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (u_1 \cdot q^3) \cdot q = u_1 \cdot q^4$
b) Quan sát quy luật số mũ của $q$ luôn nhỏ hơn chỉ số của $u$ một đơn vị, ta dự đoán:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$
Định lí: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân
Nếu một cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$
Ví dụ 3
Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100
Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của cấp số nhân: $8, -4, 2, \ldots$
Xem lời giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 8$ và công bội $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.
Do đó năm số hạng đầu là: $8, -4, 2, -1, \frac{1}{2}$.
Số hạng thứ $100$ là: $$u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{99} = 2^3 \cdot \frac{-1}{2^{99}} = -\frac{1}{2^{96}}$$
Do đó năm số hạng đầu là: $8, -4, 2, -1, \frac{1}{2}$.
Số hạng thứ $100$ là: $$u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{99} = 2^3 \cdot \frac{-1}{2^{99}} = -\frac{1}{2^{96}}$$
Ví dụ 4
Tìm số hạng khi biết hai số hạng bất kì
Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ $10$ bằng $1\,536$ và số hạng thứ $12$ bằng $6\,144$. Tìm số hạng thứ $20$ của cấp số nhân đó.
Xem lời giải
Giả sử $u_1$ là số hạng đầu và $q$ là công bội ($u_1 > 0, q > 0$). Ta có hệ:
$$\begin{cases} u_{10} = u_1 \cdot q^9 = 1\,536 \\ u_{12} = u_1 \cdot q^{11} = 6\,144 \end{cases}$$
Chia vế theo vế hai đẳng thức:
$$\frac{u_{12}}{u_{10}} = \frac{u_1 \cdot q^{11}}{u_1 \cdot q^9} = q^2 = \frac{6\,144}{1\,536} = 4 \implies q = 2 \quad (\text{do } q > 0)$$
Với $q = 2$, ta tính được: $u_1 = \frac{1\,536}{2^9} = \frac{1\,536}{512} = 3$.
Vậy số hạng thứ $20$ của cấp số nhân là: $$u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 524\,288 = 1\,572\,864$$
Vậy số hạng thứ $20$ của cấp số nhân là: $$u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 3 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 524\,288 = 1\,572\,864$$
Luyện tập 2
Bài toán nuôi cấy số lượng vi khuẩn
Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có $5\,000$ con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm $8\%$ mỗi giờ. Hỏi sau $5$ giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Xem lời giải Luyện tập 2
Gọi số lượng vi khuẩn ban đầu là $u_0 = 5\,000$.
Sau mỗi giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm $8\%$, tức là bằng $(1 + 0{,}08) = 1{,}08$ lần số lượng của giờ liền trước.
Do đó số lượng vi khuẩn sau $n$ giờ là: $$u_n = 5\,000 \cdot (1{,}08)^n$$ Sau $5$ giờ ($n = 5$), số lượng vi khuẩn là: $$u_5 = 5\,000 \cdot (1{,}08)^5 \approx 5\,000 \cdot 1{,}469328 \approx 7\,347 \text{ con vi khuẩn}$$
Sau mỗi giờ, số lượng vi khuẩn tăng thêm $8\%$, tức là bằng $(1 + 0{,}08) = 1{,}08$ lần số lượng của giờ liền trước.
Do đó số lượng vi khuẩn sau $n$ giờ là: $$u_n = 5\,000 \cdot (1{,}08)^n$$ Sau $5$ giờ ($n = 5$), số lượng vi khuẩn là: $$u_5 = 5\,000 \cdot (1{,}08)^5 \approx 5\,000 \cdot 1{,}469328 \approx 7\,347 \text{ con vi khuẩn}$$
3 Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân
HĐ3
Xây dựng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \ne 1$. Để tính tổng của $n$ số hạng đầu $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$, thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_1$ và $q$ để được biểu thức tính tổng $S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với $q$ để được biểu thức tính tích $q \cdot S_n$ chỉ chứa $u_1$ và $q$.
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b để tính $(1 - q)S_n$, từ đó suy ra công thức tính $S_n$.
Xem lời giải HĐ3
a) Biểu diễn các số hạng qua $u_1$ và $q$:
$$S_n = u_1 + u_1 q + u_1 q^2 + \dots + u_1 q^{n-1} \quad (1)$$
b) Nhân hai vế của (1) với $q$:
$$q \cdot S_n = u_1 q + u_1 q^2 + \dots + u_1 q^{n-1} + u_1 q^n \quad (2)$$
c) Lấy (1) trừ đi (2) theo từng vế:
$$S_n - q \cdot S_n = u_1 - u_1 q^n \iff (1 - q)S_n = u_1(1 - q^n)$$
Vì $q \ne 1$ nên ta chia cả hai vế cho $1 - q$:
$$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$
Định lí: Tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q \ne 1$. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Khi đó:
$$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$
Câu hỏi thảo luận (?): Nếu cấp số nhân có công bội $q = 1$ thì tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?
Trả lời: Khi $q = 1$, cấp số nhân là dãy không đổi $u_1, u_1, \dots, u_1$ nên tổng $n$ số hạng đầu là: $$S_n = \underbrace{u_1 + u_1 + \dots + u_1}_{n \text{ số hạng}} = n \cdot u_1$$
Trả lời: Khi $q = 1$, cấp số nhân là dãy không đổi $u_1, u_1, \dots, u_1$ nên tổng $n$ số hạng đầu là: $$S_n = \underbrace{u_1 + u_1 + \dots + u_1}_{n \text{ số hạng}} = n \cdot u_1$$
Ví dụ 5
Giải bài toán ở tình huống mở đầu
Tính tổng số lương chuyên gia CNTT nhận được sau 10 năm với mức lương năm đầu 240 triệu đồng và mỗi năm tăng 5%.
Xem lời giải
Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu $u_1 = 240$ và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.
Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng: $$S_{10} = \frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{240 \cdot [1 - (1{,}05)^{10}]}{1 - 1{,}05} \approx 3\,019 \text{ triệu đồng}$$ Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là $3\,019$ triệu đồng (khoảng hơn 3 tỉ đồng).
Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng: $$S_{10} = \frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{240 \cdot [1 - (1{,}05)^{10}]}{1 - 1{,}05} \approx 3\,019 \text{ triệu đồng}$$ Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là $3\,019$ triệu đồng (khoảng hơn 3 tỉ đồng).
Ví dụ 6
Tìm số lượng số hạng đầu khi biết tổng
Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân $2, 6, 18, \ldots$ để được kết quả bằng $728$?
Xem lời giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu $u_1 = 2$ và công bội $q = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có:
$$728 = S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3} = 3^n - 1$$
Từ đây ta được $3^n = 729 = 3^6$. Suy ra $n = 6$.
Vậy phải lấy $6$ số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng $728$.
Vậy phải lấy $6$ số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng $728$.
Vận dụng
Bài toán so sánh phương án tiền lương của nhà máy
Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm ($3$ năm = $12$ quý = $36$ tháng) và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:
• Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $500$ nghìn đồng ($0{,}5$ triệu đồng).
• Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $5\%$.
Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?
Xem lời giải Vận dụng
Thời gian làm việc là $3$ năm tương ứng với $12$ quý, mỗi quý có $3$ tháng.
• Theo Phương án 1 (Cấp số cộng):
Lương tháng ở các quý lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $a_1 = 5$ triệu đồng và công sai $d = 0{,}5$ triệu đồng.
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý là: $$S_{12} = \frac{12}{2}[2 \cdot 5 + (12 - 1) \cdot 0{,}5] = 6 \cdot [10 + 5{,}5] = 6 \cdot 15{,}5 = 93 \text{ triệu đồng}$$ Vì mỗi quý có 3 tháng nên tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: $$T_1 = 3 \times 93 = \mathbf{279 \text{ triệu đồng}}$$
• Theo Phương án 2 (Cấp số nhân):
Lương tháng ở các quý lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $b_1 = 5$ triệu đồng và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý là: $$S'_{12} = \frac{5[1 - (1{,}05)^{12}]}{1 - 1{,}05} \approx \frac{5 \cdot [1 - 1{,}795856]}{-0{,}05} = 100 \cdot 0{,}795856 \approx 79{,}5856 \text{ triệu đồng}$$ Vì mỗi quý có 3 tháng nên tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: $$T_2 = 3 \times 79{,}5856 \approx \mathbf{238{,}76 \text{ triệu đồng}}$$
• Theo Phương án 1 (Cấp số cộng):
Lương tháng ở các quý lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $a_1 = 5$ triệu đồng và công sai $d = 0{,}5$ triệu đồng.
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý là: $$S_{12} = \frac{12}{2}[2 \cdot 5 + (12 - 1) \cdot 0{,}5] = 6 \cdot [10 + 5{,}5] = 6 \cdot 15{,}5 = 93 \text{ triệu đồng}$$ Vì mỗi quý có 3 tháng nên tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: $$T_1 = 3 \times 93 = \mathbf{279 \text{ triệu đồng}}$$
• Theo Phương án 2 (Cấp số nhân):
Lương tháng ở các quý lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $b_1 = 5$ triệu đồng và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý là: $$S'_{12} = \frac{5[1 - (1{,}05)^{12}]}{1 - 1{,}05} \approx \frac{5 \cdot [1 - 1{,}795856]}{-0{,}05} = 100 \cdot 0{,}795856 \approx 79{,}5856 \text{ triệu đồng}$$ Vì mỗi quý có 3 tháng nên tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là: $$T_2 = 3 \times 79{,}5856 \approx \mathbf{238{,}76 \text{ triệu đồng}}$$
Kết luận: So sánh $T_1 = 279$ triệu đồng và $T_2 \approx 238{,}76$ triệu đồng, ta thấy người công nhân chọn Phương án 1 sẽ nhận được tổng tiền lương lớn hơn (nhiều hơn khoảng hơn $40$ triệu đồng).
Câu 1: Bài tập NhanBiet – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: NhanBiet
(Bài 2.15a – Trang 55 SGK) Cho cấp số nhân $1, 4, 16, \dots$ Công bội $q$, số hạng thứ 5 $u_5$, số hạng tổng quát $u_n$ và số hạng thứ 100 $u_{100}$ của cấp số nhân lần lượt là:
Lời giải chi tiết:
• Số hạng đầu: $u_1 = 1$.
• Công bội: $q = \frac{4}{1} = 4$.
• Số hạng thứ 5: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 1 \cdot 4^4 = 256$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 4^{n-1} = 4^{n-1}$.
• Số hạng thứ 100: $u_{100} = 4^{100-1} = 4^{99}$.
Câu 2: Bài tập ThongHieu – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: ThongHieu
(Bài 2.15b – Trang 55 SGK) Cho cấp số nhân đan dấu $2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \dots$ Công bội $q$, số hạng thứ 5 $u_5$ và số hạng thứ 100 $u_{100}$ của cấp số nhân lần lượt là:
Lời giải chi tiết:
• Số hạng đầu: $u_1 = 2$.
• Công bội: $q = \frac{-1/2}{2} = -\frac{1}{4}$.
• Số hạng thứ 5: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4 = 2 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{128} = \frac{1}{2^7}$.
• Số hạng thứ 100: $u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{99} = -2 \cdot \frac{1}{4^{99}} = -2 \cdot \frac{1}{2^{198}} = -\frac{1}{2^{197}}$.
Câu 3: Bài tập ThongHieu – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: ThongHieu
(Bài 2.16a & 2.16b – Trang 55 SGK) Xét hai dãy số: $(u_n)$ với $u_n = 5n$ và $(v_n)$ với $v_n = 5^n$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải chi tiết:
• Với dãy $(u_n)$: Có 5 số hạng đầu là $5, 10, 15, 20, 25$. Xét tỉ số $\frac{u_2}{u_1} = 2 \ne \frac{u_3}{u_2} = \frac{3}{2}$. Do đó $(u_n)$ không phải là cấp số nhân (đây là cấp số cộng có $d = 5$).
• Với dãy $(v_n)$: Có 5 số hạng đầu là $5, 25, 125, 625, 3125$. Tỉ số $\frac{v_n}{v_{n-1}} = \frac{5^n}{5^{n-1}} = 5$ không đổi với mọi $n \ge 2$. Do đó $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1 = 5$ và $q = 5$, công thức $v_n = 5 \cdot 5^{n-1}$.
Câu 4: Bài tập ThongHieu – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: ThongHieu
(Bài 2.16c & 2.16d – Trang 55 SGK) Cho hai dãy số xác định bởi hệ thức truy hồi:
• Dãy 1: $u_1 = 1, u_n = n \cdot u_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
• Dãy 2: $v_1 = 1, v_n = 5 \cdot v_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải chi tiết:
• Với dãy $(u_n)$: Có $u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 6, u_4 = 24, u_5 = 120$. Tỉ số $\frac{u_n}{u_{n-1}} = n$ thay đổi theo $n$ nên không phải cấp số nhân (đây là dãy giai thừa $n!$).
• Với dãy $(v_n)$: Theo hệ thức truy hồi $v_n = 5 \cdot v_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$, đây chính là định nghĩa cấp số nhân có số hạng đầu $v_1 = 1$ và công bội $q = 5$. Công thức số hạng tổng quát là $v_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$.
Câu 5: Bài tập ThongHieu – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: ThongHieu
(Bài 2.17 – Trang 55 SGK) Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng $96$ và số hạng thứ 3 bằng $12$. Số hạng thứ 50 của cấp số nhân này là:
Lời giải chi tiết:
Theo công thức số hạng tổng quát:
$u_6 = u_1 \cdot q^5 = 96$ và $u_3 = u_1 \cdot q^2 = 12$.
Lập tỉ số:
$$\frac{u_6}{u_3} = \frac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q^2} = q^3 = \frac{96}{12} = 8 \implies q = 2$$
Tìm số hạng đầu $u_1$:
$$u_1 = \frac{u_3}{q^2} = \frac{12}{2^2} = \frac{12}{4} = 3$$
Số hạng thứ 50 là:
$$u_{50} = u_1 \cdot q^{49} = 3 \cdot 2^{49}$$
Câu 6: Bài tập ThongHieu – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: ThongHieu
(Bài 2.18 – Trang 55 SGK) Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng $5$ và công bội bằng $2$. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng $5\,115$?
Lời giải chi tiết:
Ta có $u_1 = 5, q = 2$.
Tổng $n$ số hạng đầu được tính theo công thức:
$$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{5(1 - 2^n)}{1 - 2} = 5(2^n - 1)$$
Theo giả thiết:
$$5(2^n - 1) = 5\,115 \iff 2^n - 1 = 1\,023 \iff 2^n = 1\,024 = 2^{10} \iff n = 10$$
Vậy phải lấy tổng của 10 số hạng đầu.
Câu 7: Bài tập VanDung – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: VanDung
(Bài 2.19 – Trang 55 SGK) Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá $3$ tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm $20\%$ so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau $5$ năm sử dụng là:
Lời giải chi tiết:
Vì mỗi năm giá trị máy giảm 20% nên giá trị còn lại của máy sau mỗi năm bằng:
$100\% - 20\% = 80\% = 0{,}8$ lần giá trị của năm trước.
Giá trị của máy sau các năm lập thành cấp số nhân với giá trị ban đầu $V_0 = 3$ tỉ đồng và công bội $q = 0{,}8$.
Giá trị còn lại sau 5 năm sử dụng là:
$$V_5 = V_0 \cdot q^5 = 3 \cdot (0{,}8)^5 = 3 \cdot 0{,}32768 = 0{,}98304 \text{ tỉ đồng} = 983\,040\,000 \text{ đồng}$$
Câu 8: Bài tập VanDung – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: VanDung
(Bài 2.20 – Trang 55 SGK) Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng $97$ triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là $0{,}91\%$/năm. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, dân số ước tính của quốc gia đó vào năm 2030 là khoảng:
Lời giải chi tiết:
Khoảng thời gian từ năm 2020 đến năm 2030 là $n = 2030 - 2020 = 10$ năm.
Mỗi năm dân số tăng thêm 0,91% nên dân số năm sau bằng:
$1 + 0{,}91\% = 1 + 0{,}0091 = 1{,}0091$ lần dân số năm trước.
Dân số sau 10 năm lập thành cấp số nhân:
$$N_{10} = 97 \cdot (1{,}0091)^{10} \approx 97 \cdot 1{,}094833 \approx 106{,}1988 \approx 106{,}2 \text{ triệu người}$$
Câu 9: Bài tập VanDung – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: VanDung
(Bài 2.21 – Trang 55 SGK) Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là $50\text{ mg}$, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kế trước đó. Tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc $10$ ngày liên tiếp là khoảng:
Lời giải chi tiết:
Lượng thuốc trong máu mỗi ngày lập thành một cấp số nhân có:
• Số hạng đầu: $u_1 = 50\text{ mg}$.
• Công bội: $q = \frac{1}{2} = 0{,}5$.
Tổng lượng thuốc sau 10 ngày là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân:
$$S_{10} = \frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{50 \cdot [1 - (0{,}5)^{10}]}{1 - 0{,}5} = 100 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = \frac{100 \cdot 1023}{1024} \approx 99{,}9023\text{ mg} \approx 99{,}90\text{ mg}$$
Câu 10: Bài tập VanDungCao – Bài 7: Cấp số nhân
Mức độ: VanDungCao
(Vận dụng SGK) Một công nhân ký hợp đồng làm việc 3 năm (12 quý, mỗi quý 3 tháng). Xét hai phương án lương: Phương án 1 (lương tháng khởi điểm 5 triệu đồng, mỗi quý tăng 500 nghìn đồng) và Phương án 2 (lương tháng khởi điểm 5 triệu đồng, mỗi quý tăng 5%). Tổng lương sau 3 năm của Phương án 1 nhiều hơn Phương án 2 khoảng bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
Thời gian làm việc là 3 năm = 12 quý, mỗi quý có 3 tháng.
• Phương án 1 (Cấp số cộng):
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý:
$S_{12} = \frac{12}{2}[2 \cdot 5 + 11 \cdot 0{,}5] = 6 \cdot 15{,}5 = 93$ triệu đồng.
Tổng lương sau 3 năm: $T_1 = 3 \times 93 = 279$ triệu đồng.
• Phương án 2 (Cấp số nhân):
Tổng 12 tháng đại diện của 12 quý:
$S'_{12} = \frac{5[1 - (1{,}05)^{12}]}{1 - 1{,}05} \approx 79{,}5856$ triệu đồng.
Tổng lương sau 3 năm: $T_2 = 3 \times 79{,}5856 \approx 238{,}757$ triệu đồng.
Chênh lệch giữa 2 phương án:
$T_1 - T_2 \approx 279 - 238{,}757 \approx 40{,}243 \approx 40{,}24$ triệu đồng.
Phương án 1 nhiều hơn Phương án 2 khoảng 40,24 triệu đồng.