Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa các đối tượng song song và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho điểm $M$ và đường thẳng $\Delta$. Kẻ $MH \perp \Delta$ ($H \in \Delta$).
Độ dài đoạn thẳng $MH$ được gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M, \Delta)$.
Chú ý: Nếu $M \in \Delta$ thì $d(M, \Delta) = 0$.
Cho điểm $M$ và mặt phẳng $(P)$. Kẻ $MH \perp (P)$ ($H \in (P)$).
Độ dài đoạn thẳng $MH$ được gọi là khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$, kí hiệu là $d(M, (P))$.
Chú ý: Nếu $M \in (P)$ thì $d(M, (P)) = 0$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ là khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến một điểm bất kì thuộc $(P)$.
Hình 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
Cho đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách từ một điểm bất kì trên $\Delta$ đến $(P)$ được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
$d(\Delta, (P)) = d(M, (P))$ với $M \in \Delta$
Cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$. Khoảng cách từ một điểm bất kì trên $(P)$ đến $(Q)$ được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
$d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M \in (P)$
Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Đường thẳng $\Delta$ cắt cả $a, b$ và vuông góc với cả $a, b$ được gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$.
Đoạn thẳng nối hai giao điểm của $\Delta$ với $a, b$ gọi là đoạn vuông góc chung. Độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài toán: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C'$.
Giải:
Ta thấy $AB \subset (ABCD)$ và $B'C' \subset (A'B'C'D')$. Hai mặt phẳng này song song với nhau.
Hơn nữa $BB'$ vuông góc với cả hai mặt phẳng và $BB' = a$.
Mặt khác, $AB \perp (BCC'B')$ và $B'C' \subset (BCC'B')$, nên đoạn $BB'$ chính là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $B'C'$.
Vậy khoảng cách giữa $AB$ và $B'C'$ bằng $BB' = a$.