Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Lý thuyết Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ
Lý thuyết đầy đủ về Tổng và hiệu của hai vectơ (Bài 8): Định nghĩa phép cộng vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất phép cộng, vectơ đối, phép trừ vectơ và quy tắc hiệu, hệ thức trung điểm và trọng tâm, bài toán kéo pháo Điện Biên Phủ và thuyền qua sông, cùng 100% lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 4.6 đến Bài 4.10 trang 54).
BÀI 8. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 51 - 54)
THUẬT NGỮ CỐT LÕI
- Tổng của hai vectơ ($\vec{a} + \vec{b}$)
- Quy tắc ba điểm & Quy tắc hình bình hành
- Vectơ đối ($-\vec{a}$)
- Hiệu của hai vectơ ($\vec{a} - \vec{b}$) & Quy tắc hiệu
- Tính chất trung điểm ($\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$)
- Tính chất trọng tâm ($\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$)
KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT
- Thực hiện thành thạo phép cộng và phép trừ hai vectơ bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc hiệu.
- Sử dụng các hệ thức vectơ biểu thị trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác.
- Vận dụng quy tắc cộng, trừ vectơ vào các bài toán vật lí thực tiễn: tổng hợp lực, hợp lực tác dụng, vận tốc thuyền qua sông, lực kéo pháo.
TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU: CON TÀU SANG SÔNG (TRANG 51)
Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu.
Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?
Hình ảnh con tàu chuyển động sang bờ bên kia của dòng sông
1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ
ĐỊNH NGHĨA TỔNG CỦA HAI VECTƠ
Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ tuỳ ý và vẽ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$.
Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$. Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ: $$\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
QUY TẮC BA ĐIỂM (QUY TẮC TAM GIÁC)
Với ba điểm bất kì $A, B, C$, ta luôn có:
QUY TẮC HÌNH BÌNH HÀNH
Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì:
Tính chất của phép cộng vectơ
Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tuỳ ý, phép cộng vectơ có các tính chất tương tự như phép cộng các số thực:
Ví dụ 1: Tính độ dài vectơ tổng trong hình vuông
Hình vuông cạnh 1Cho hình vuông $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng $1$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}$.
1. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}|$:
Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Thay vào biểu thức:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{DB}| = DB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \mathbf{\sqrt{2}}$.
2. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}|$:
Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp:
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AC}| = AC = \mathbf{\sqrt{2}}$.
Tính độ dài vectơ tổng trong hình thoi
Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và góc $\widehat{BAD} = 120^\circ$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}$.
• Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình thoi $ABCD$: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$.
Vì $\widehat{BAD} = 120^\circ \implies \widehat{BCD} = 120^\circ \implies \widehat{B} = 60^\circ \implies \Delta ABC$ đều cạnh $1$. Do đó $CA = 1$.
⇒ $|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{CA}| = CA = \mathbf{1}$.
• Biến đổi: $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} = (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$.
⇒ $|\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{CA}| = CA = \mathbf{1}$.
2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ
HĐ4 Hai lực cân bằng trong trò chơi kéo co
Khi hai đội kéo co kéo sợi dây với lực cùng độ lớn nhưng ngược hướng, hai lực cân bằng nhau và điểm giữa sợi dây đứng yên. Hai lực này được biểu diễn bởi hai vectơ đối nhau!
Hình 4.14: Hai lực kéo cân bằng — Hai vectơ đối nhau
VECTƠ ĐỐI & ĐỊNH NGHĨA PHÉP TRỪ VECTƠ
- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, kí hiệu là $-\vec{a}$.
- Ta có: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$. Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$, nghĩa là $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$.
- Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là tổng của $\vec{a}$ với vectơ đối của $\vec{b}$: $$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$
Hệ thức vectơ của Trung điểm và Trọng tâm
1. Tính chất trung điểm đoạn thẳng
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi:
2. Tính chất trọng tâm tam giác
Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:
Bài toán kéo pháo lên dốc Điện Biên Phủ
Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng $22\,148\text{ N}$ (khối lượng xấp xỉ $2\,260\text{ kg}$) lên một con dốc nghiêng $30^\circ$ so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng $100\text{ N}$, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?
• Khẩu pháo chịu tác dụng của ba lực: trọng lực $\vec{P}$, phản lực $\vec{N}$ và lực kéo $\vec{F}$.
• Để kéo pháo lên dốc đều, lực kéo $\vec{F}$ cần cân bằng với thành phần kéo xuống của trọng lực song song với mặt dốc: $$F = P \cdot \sin 30^\circ = 22\,148 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{11\,074\text{ (N)}}$$
• Số người tối thiểu cần huy động: $n = \frac{11\,074}{100} = 110{,}74 \implies \mathbf{111\text{ người}}$.
Hình 4.18: Phân tích lực kéo pháo lên con dốc 30°
• Áp dụng quy tắc ba điểm liên tiếp cho phép cộng vectơ: $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$.
• Áp dụng quy tắc hiệu cho phép trừ vectơ: $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$.
Lời giải chi tiết:
Biến đổi vế trái bằng cách nhóm theo quy tắc ba điểm:
$$\begin{aligned} \text{VT} &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) \\ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} \\ &= \overrightarrow{AA} = \vec{0} = \text{VP}. \end{aligned}$$
⇒ Đẳng thức được chứng minh.
Áp dụng quy tắc hiệu cho hai vế:
• Vế trái: $\text{VT} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ (theo quy tắc hiệu chung gốc $A$).
• Vế phải: $\text{VP} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DC}$ (theo quy tắc hiệu chung gốc $B$).
⇒ Vì $\text{VT} = \text{VP} = \overrightarrow{DC}$ nên đẳng thức được chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$$
Theo giả thiết $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, do đó: $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$$
• Vì $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}$ nên tứ giác $ABMC$ là hình bình hành (có hai cạnh đối $AC$ và $BM$ song song và bằng nhau).
⇒ Điểm $M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABMC$.
• Vì $ABMC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}$.
• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$.
• Từ hai điều trên suy ra: $$\overrightarrow{CM} = -\overrightarrow{CD} \quad \text{hay} \quad \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CM} = \vec{0}$$
⇒ Hai vectơ $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ là hai vectơ đối nhau (nghĩa là chúng cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài: $CD = CM$, tức $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $DM$).
• Dùng quy tắc hiệu: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$.
• Dùng tính chất trung điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AH}$ với $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ (hoặc dựng hình thoi $ABDC$).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng quy tắc hiệu: $$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = CB = \mathbf{a}$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến: $$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Dựng điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là hình thoi. Khi đó theo quy tắc hình bình hành: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AH}$$
Độ dài: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AH}| = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \mathbf{a\sqrt{3}}$.
Lời giải chi tiết:
Gọi $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ là hợp lực tác động lên vật.
Dựng hình bình hành $OADB$ với $\overrightarrow{OA} = \vec{F_1}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{F_2}$. Khi đó hợp lực là vectơ đường chéo $\overrightarrow{OD} = \vec{F}$.
Trong hình bình hành $OADB$, ta có góc $\widehat{AOB} = 120^\circ$. Vì hai góc kề một cạnh bù nhau nên: $$\widehat{OAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
Xét tam giác $OAD$, ta có $OA = |\vec{F_1}| = 3\text{ N}$, $AD = OB = |\vec{F_2}| = 2\text{ N}$, và góc $\widehat{OAD} = 60^\circ$.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác $OAD$:
$$\begin{aligned}
OD^2 &= OA^2 + AD^2 - 2 \cdot OA \cdot AD \cdot \cos 60^\circ \\
&= 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \\
&= 9 + 4 - 6 = 7.
\end{aligned}$$
⇒ Độ lớn của hợp lực là: $$|\vec{F}| = OD = \sqrt{7} \approx \mathbf{2{,}65\text{ (N)}}.$$
• Phương song song với bờ sông (dọc theo dòng nước).
• Phương vuông góc với bờ sông (quyết định thời gian sang được bờ bên kia).
Lời giải chi tiết:
Gọi chiều rộng của dòng sông là $d$ (khoảng cách giữa hai bờ song song).
Gọi vận tốc riêng của mỗi tàu đối với nước là $\vec{v_1}$ và $\vec{v_2}$. Theo giả thiết:
• Hai tàu có tốc độ riêng bằng nhau: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$.
• Hai tàu đều tạo với bờ sông cùng một góc nhọn $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Gọi vận tốc của dòng nước chảy xuôi dòng từ thượng nguồn xuống hạ lưu là $\vec{v_n}$. Ta có phương của dòng nước song song với bờ sông.
• Vì dòng nước chảy song song với bờ sông nên hình chiếu vận tốc dòng nước lên phương vuông góc với bờ sông bằng $0$.
• Thành phần vận tốc theo phương vuông góc với bờ sông của tàu thứ nhất (hướng hạ lưu): $$v_{1\perp} = v \cdot \sin \alpha$$
• Thành phần vận tốc theo phương vuông góc với bờ sông của tàu thứ hai (hướng thượng nguồn): $$v_{2\perp} = v \cdot \sin \alpha$$
⇒ Ta thấy $v_{1\perp} = v_{2\perp} = v \sin \alpha$.
Thời gian để mỗi tàu vượt qua chiều rộng $d$ của dòng sông sang tới bờ bên kia chỉ phụ thuộc duy nhất vào thành phần vận tốc vuông góc với bờ sông: $$t_1 = \frac{d}{v_{1\perp}} = \frac{d}{v \sin \alpha}$$ $$t_2 = \frac{d}{v_{2\perp}} = \frac{d}{v \sin \alpha}$$
Do đó: $t_1 = t_2$.