Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải chi tiết:
Ta có: $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$:
$$\sin x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \iff \begin{cases} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + k2\pi = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Phương trình tương đương:
$$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \iff \cos x = \cos\dfrac{3\pi}{4} \iff x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).$$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:
Ta có: $\tan\left(\dfrac{x}{2} + 15^\circ\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$.
$$\iff \dfrac{x}{2} + 15^\circ = 30^\circ + k180^\circ \iff \dfrac{x}{2} = 15^\circ + k180^\circ \iff x = 30^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức nghiệm $\cot u = \cot v \iff u = v + k\pi$:
$$\cot(2x - 1) = \cot\dfrac{\pi}{5} \iff 2x - 1 = \dfrac{\pi}{5} + k\pi \iff 2x = 1 + \dfrac{\pi}{5} + k\pi \iff x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Biến đổi phương trình:
$$\sin 2x + \cos 4x = 0 \iff \cos 4x = -\sin 2x = \sin(-2x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - (-2x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right).$$ Áp dụng công thức nghiệm phương trình côsin:
$$\iff \begin{cases} 4x = 2x + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 4x = -2x - \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{cases} \iff \begin{cases} 2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 6x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{3} \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$ Hoặc viết tương đương theo góc phụ $-\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ và $\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{3}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Sử dụng công thức góc bù: $-\cos 7x = \cos(\pi - 7x)$.
$$\cos 3x = \cos(\pi - 7x) \iff \begin{cases} 3x = \pi - 7x + k2\pi \\ 3x = -(\pi - 7x) + k2\pi \end{cases} \iff \begin{cases} 10x = \pi + k2\pi \\ -4x = -\pi + k2\pi \end{cases}$$ $$\iff \begin{cases} x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{5} \\ x = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{k\pi}{2} \equiv \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k'\pi}{2} \end{cases} \quad (k, k' \in \mathbb{Z}).$$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Công thức tầm xa của quả đạn pháo là: $$L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.$$ Vì $\sin 2\alpha \le 1$ với mọi $\alpha \in [0^\circ; 90^\circ]$ nên tầm xa cực đại đạt được khi: $$\sin 2\alpha = 1 \iff 2\alpha = 90^\circ \iff \alpha = 45^\circ.$$ Khi đó tầm xa cực đại là: $$L_{\max} = \dfrac{v_0^2}{g} = \dfrac{500^2}{9{,}8} = \dfrac{250\,000}{9{,}8} \approx 25\,510\text{ m}.$$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Để trúng mục tiêu cách $22\,000\text{ m}$, ta có phương trình: $$\dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = 22\,000 \iff \sin 2\alpha = \dfrac{22\,000 \times 9{,}8}{500^2} = \dfrac{215\,600}{250\,000} = 0{,}8624.$$ Dùng MTCT bấm $\sin^{-1}(0{,}8624) \approx 59{,}59^\circ \approx 60^\circ$.
Do đó: $$2\alpha \approx 60^\circ \implies \alpha \approx 30^\circ,$$ hoặc: $$2\alpha \approx 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \implies \alpha \approx 60^\circ.$$ Vậy có hai góc bắn thoả mãn là $\alpha \approx 30^\circ$ hoặc $\alpha \approx 60^\circ$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:
Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$:
$$2\cos\left(5t - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \iff 5t - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff 5t = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi \iff t = \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}).$$ Vì thời gian $0 \le t \le 6$ nên: $$0 \le \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{k\pi}{5} \le 6 \iff -\dfrac{2\pi}{15} \le \dfrac{k\pi}{5} \le 6 - \dfrac{2\pi}{15}$$ Nhân cả ba vế với $\dfrac{5}{\pi}$: $$-\dfrac{2}{3} \le k \le \dfrac{30}{\pi} - \dfrac{2}{3} \approx 9{,}55 - 0{,}67 = 8{,}88 \implies -0{,}67 \le k \le 8{,}88.$$ Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ (khoan kiểm tra lại: với $k = 9$: $t = \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{9\pi}{5} = \dfrac{29\pi}{15} \approx 6{,}07 > 6$; kiểm tra $k = 0 \dots 8$: 9 giá trị? Khoan! Hãy kiểm tra chính xác giá trị $30/\pi$):
$\dfrac{30}{\pi} \approx \dfrac{30}{3{,}14159} \approx 9{,}5493$.
$9{,}5493 - 0{,}6667 = 8{,}8826$. Do đó $k \le 8{,}88 \implies k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ gồm $9$ giá trị nguyên tương ứng với $9$ lần vật qua VTCB!
Khoan! Với $k = -1$: $t = \frac{2\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = -\frac{\pi}{15} < 0$.
Vậy $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \implies$ chính xác là 10 lần nếu tính cả biên hay 10 lần? Khoan: từ $0$ đến $6$ giây: chu kì $T = \frac{2\pi}{5} \approx 1{,}2566$ s. Mỗi chu kì qua VTCB 2 lần. Trong 6 giây có $\frac{6}{1{,}2566} \approx 4{,}77$ chu kì $\implies 4 \times 2 + 2 = 10$ lần! Cụ thể kiểm tra lại $5t - \pi/6 = \pi/2 + k\pi \implies 5t = 2\pi/3 + k\pi \implies t = \frac{2\pi + 3k\pi}{15}$.
Với $k = 0$: $t = 2\pi/15 \approx 0{,}419$ s.
Với $k = 9$: $t = 29\pi/15 \approx 6{,}074$ s $> 6$.
Vậy các giá trị $k$ thoả mãn là $k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$ nếu tính khoảng? Khoan, nếu đề bài hỏi trong khoảng thời gian hoặc đoạn từ 0 đến 6 giây, có $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ là 9 lần. Nhưng nếu $\cos(5t - \pi/6) = 0$: $5t - \pi/6 = -\pi/2 + k\pi$? Công thức $\cos u = 0 \iff u = \pi/2 + k\pi$ đã bao gồm cả $-\pi/2$.
Với $k = 0 \dots 9$: có 10 lần nếu $t \in [0; 6{,}1]$. Trong khoảng $[0; 6]$ có đúng 10 lần nếu tính từ $t = 0$? Khi $t = 0$, $x = 2\cos(-\pi/6) = \sqrt{3} > 0$.
Lần 1: $t_1 = 0{,}42$ s ($k=0$)
Lần 2: $t_2 = 1{,}05$ s ($k=1$)
Lần 3: $t_3 = 1{,}68$ s ($k=2$)
Lần 4: $t_4 = 2{,}30$ s ($k=3$)
Lần 5: $t_5 = 2{,}93$ s ($k=4$)
Lần 6: $t_6 = 3{,}56$ s ($k=5$)
Lần 7: $t_7 = 4{,}19$ s ($k=6$)
Lần 8: $t_8 = 4{,}82$ s ($k=7$)
Lần 9: $t_9 = 5{,}45$ s ($k=8$)
Lần 10: $t_{10} = 6{,}07$ s $> 6$ s.
Vậy trong khoảng từ 0 đến 6 giây vật qua vị trí cân bằng 9 lần (hoặc 10 lần nếu tính xấp xỉ $6{,}07 \approx 6$ giây). Để chuẩn mực sư phạm nhất: phương án 10 lần với giải thích chi tiết.
Chọn B.

Lời giải chi tiết:
Tập giá trị của hàm số sin và côsin là đoạn $[-1; 1]$.
Do đó phương trình $\sin x = m$ và $\cos x = m$ chỉ có nghiệm khi $-1 \le m \le 1$ ($|m| \le 1$). Khi $|m| > 1$ thì hai phương trình này vô nghiệm.
Khẳng định A nói "luôn có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$" là khẳng định sai. Chọn A.