Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chương II: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 10 KNTT: Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ, phương pháp biểu diễn miền nghiệm và giải quyết bài toán thực tế kinh tế - đời sống.

Thuật ngữ

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bờ của miền nghiệm

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Biết biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
Vận dụng kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tiễn.

Tình huống mở đầu: Doanh thu rạp chiếu phim ngày Quốc tế Thiếu nhi

Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6, một rạp chiếu phim phục vụ khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6 - 13 tuổi): 50 000 đồng/vé.
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.

Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

Khán phòng rạp chiếu phim phục vụ ngày 1-6

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1 Thiết lập biểu thức doanh thu rạp chiếu phim

Trong tình huống mở đầu, gọi \(x\) là số vé loại 1 bán được và \(y\) là số vé loại 2 bán được (\(x, y \in \mathbb{N}\)). Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo \(x\) và \(y\).

a) Các số nguyên không âm \(x\) và \(y\) phải thoả mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?

b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì \(x\) và \(y\) thoả mãn điều kiện gì?

Xem lời giải HĐ1

Biểu thức tính tổng số tiền bán vé thu được (đơn vị: nghìn đồng) là: \(50x + 100y\).

a) 20 triệu đồng \(= 20\,000\) nghìn đồng. Để số tiền thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng, \(x\) và \(y\) phải thoả mãn: \[50x + 100y \ge 20\,000 \iff x + 2y \ge 400 \quad (x, y \in \mathbb{N}).\]

b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì \(x\) và \(y\) phải thoả mãn: \[50x + 100y < 20\,000 \iff x + 2y < 400 \quad (x, y \in \mathbb{N}).\]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) có dạng tổng quát là:

\(ax + by \le c\) \(\quad\) (\(ax + by \ge c\), \(\; ax + by < c\), \(\; ax + by > c\))

trong đó \(a, b, c\) là những số thực đã cho, \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0; \(x\) và \(y\) là các ẩn số.

Ví dụ 1 Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

(1) \(2x + 3y < 1\) (2) \(2x^2 + 3y < 1\)

Xem lời giải Ví dụ 1

• Bất phương trình \(2x + 3y < 1\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (với \(a = 2, b = 3, c = 1\)).

• Bất phương trình \(2x^2 + 3y < 1\) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa ẩn \(x\) ở bậc hai (\(x^2\)).

HĐ2 Khái niệm nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số \((x; y) = (100; 100)\) thoả mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số \((x; y) = (150; 150)\).

Xem lời giải HĐ2

• Với \((x; y) = (100; 100)\): ta có \(x + 2y = 100 + 2 \cdot 100 = 300 < 400\). Do đó cặp số này thoả mãn bất phương trình \(x + 2y < 400\). Vì vậy rạp chiếu phim phải bù lỗ.

• Với \((x; y) = (150; 150)\): ta có \(x + 2y = 150 + 2 \cdot 150 = 450 > 400\). Do đó cặp số này thoả mãn bất phương trình \(x + 2y \ge 400\). Vì vậy rạp chiếu phim không phải bù lỗ (có lãi).

NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

Cặp số \((x_0; y_0)\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) nếu bất đẳng thức \(ax_0 + by_0 \le c\) là đúng.

Ví dụ 2 Kiểm tra cặp số có phải là nghiệm

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 2y > 5\). Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình đã cho?

a) \((x; y) = (3; 4)\) b) \((x; y) = (0; -1)\)

Xem lời giải Ví dụ 2

a) Thay \(x = 3, y = 4\) vào vế trái: \(3 + 2 \cdot 4 = 11 > 5\) (đúng). Vậy \((3; 4)\) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Thay \(x = 0, y = -1\) vào vế trái: \(0 + 2 \cdot (-1) = -2 < 5\) (không thoả mãn \(> 5\)). Vậy \((0; -1)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Luyện tập 1 Tìm nghiệm và nhận xét số nghiệm

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x + 2y \ge 0\).

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với \(y = 0\), có bao nhiêu giá trị của \(x\) thoả mãn bất phương trình đã cho?

Xem lời giải Luyện tập 1

a) Chọn cặp \((0; 0)\): \(0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge 0\) (đúng); chọn cặp \((1; 1)\): \(1 + 2 \cdot 1 = 3 \ge 0\) (đúng). Vậy \((0; 0)\) và \((1; 1)\) là hai nghiệm của bất phương trình.

b) Khi \(y = 0\), bất phương trình trở thành \(x + 2 \cdot 0 \ge 0 \iff x \ge 0\). Mọi số thực \(x \ge 0\) đều thoả mãn, do đó có vô số giá trị của \(x\).

💡 Nhận xét quan trọng: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

HĐ3 Khám phá tính phân chia mặt phẳng của đường thẳng bờ

Cho đường thẳng \(d: 2x - y = 4\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) (Hình 2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

a) Các điểm \(O(0; 0), A(-1; 3)\) và \(B(-2; -2)\) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) không? Tính giá trị của biểu thức \(2x - y\) tại các điểm đó và so sánh với 4.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm \(C(3; 1), D(4; -1)\).

Hình 2.1: Đường thẳng \(d: 2x - y = 4\) chia mặt phẳng toạ độ

Xem lời giải HĐ3

a) Nhìn vào Hình 2.1, các điểm \(O, A, B\) cùng nằm về một phía (cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ \(d\)).
• Tại \(O(0; 0)\): \(2(0) - 0 = 0 < 4\).
• Tại \(A(-1; 3)\): \(2(-1) - 3 = -5 < 4\).
• Tại \(B(-2; -2)\): \(2(-2) - (-2) = -2 < 4\).
\(\implies\) Giá trị của \(2x - y\) tại cả ba điểm \(O, A, B\) đều nhỏ hơn 4.

b) Các điểm \(C(3; 1)\) và \(D(4; -1)\) cùng thuộc nửa mặt phẳng còn lại bờ \(d\).
• Tại \(C(3; 1)\): \(2(3) - 1 = 5 > 4\).
• Tại \(D(4; -1)\): \(2(4) - (-1) = 9 > 4\).
\(\implies\) Giá trị của \(2x - y\) tại cả hai điểm \(C, D\) đều lớn hơn 4.

MIỀN NGHIỆM VÀ ĐƯỜNG THẲNG BỜ:

• Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Định lý về sự phân chia mặt phẳng:

Đường thẳng \(d: ax + by = c\) chia mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) thành hai nửa mặt phẳng bờ \(d\):

Một nửa mặt phẳng (không kể bờ \(d\)) gồm các điểm có toạ độ \((x; y)\) thoả mãn \(ax + by > c\);
Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ \(d\)) gồm các điểm có toạ độ \((x; y)\) thoả mãn \(ax + by < c\);
Bờ \(d\) gồm các điểm có toạ độ \((x; y)\) thoả mãn \(ax + by = c\).

Ví dụ 3 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \ge 100\)

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \ge 100\) trên mặt phẳng toạ độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: x + y = 100\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) (đi qua hai điểm \((100; 0)\) và \((0; 100)\)).

Bước 2: Lấy gốc toạ độ \(O(0; 0) \notin d\). Thay vào biểu thức vế trái ta có: \(0 + 0 = 0 < 100\).

Bước 3: Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ \(d\) không chứa gốc toạ độ (miền không bị gạch, kể cả đường thẳng \(d\)).

Hình 2.2: Miền nghiệm của \(x + y \ge 100\)

CÁCH BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN \(ax + by \le c\):

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: ax + by = c\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).

Bước 2: Lấy một điểm \(M_0(x_0; y_0)\) không thuộc \(d\).

Bước 3: Tính \(ax_0 + by_0\) và so sánh với \(c\).

Bước 4: Kết luận:

Nếu \(ax_0 + by_0 < c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa \(M_0\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c\).
Nếu \(ax_0 + by_0 > c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(d\) không chứa \(M_0\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c\).

Mẹo chọn điểm kiểm tra \(M_0\)

⚠️ Chú ý quan trọng: Miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by < c\) là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) bỏ đi đường thẳng \(ax + by = c\), và khi vẽ đường thẳng bờ ta biểu diễn bằng nét đứt.

Ví dụ 4 Biểu diễn miền nghiệm khi đường thẳng bờ đi qua gốc toạ độ

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(5x - 7y \le 0\) trên mặt phẳng toạ độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: 5x - 7y = 0\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) (đi qua gốc toạ độ \(O(0; 0)\) và điểm \((7; 5)\)).

Bước 2: Vì \(d\) đi qua \(O\), ta chọn điểm \(M_0(0; 1) \notin d\). Thay toạ độ vào biểu thức: \[5 \cdot 0 - 7 \cdot 1 = -7 < 0.\]

Bước 3: Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(M_0\) (miền không bị gạch, kể cả bờ \(d\)).

Hình 2.3: Miền nghiệm của \(5x - 7y \le 0\)

Luyện tập 2 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ngặt (bờ nét đứt)

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 200\) trên mặt phẳng toạ độ.

Xem lời giải Luyện tập 2

• Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: 2x + y = 200\) bằng nét đứt (đi qua hai điểm \((100; 0)\) và \((0; 200)\)).

• Bước 2: Lấy gốc toạ độ \(O(0; 0) \notin d\). Thay vào vế trái: \(2(0) + 0 = 0 < 200\) (thoả mãn).

• Bước 3: Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc toạ độ \(O\), không kể đường thẳng \(d\) (bờ nét đứt).

Ví dụ 5 Giải bài toán ở tình huống mở đầu (Doanh thu rạp chiếu phim)

Gọi \(x\) là số lượng vé loại 1 và \(y\) là số lượng vé loại 2 bán được (\(x, y \in \mathbb{N}\)).

Số tiền bán vé thu được là \(50x + 100y\) (nghìn đồng). Rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ khi số tiền thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng, tức là:

\(50x + 100y < 20\,000 \iff x + 2y < 400\)

Miền nghiệm của bất phương trình trên được xác định như sau:

Vẽ đường thẳng \(d: x + 2y = 400\) bằng nét đứt (cắt \(Oy\) tại \(A(0; 200)\), cắt \(Ox\) tại \(B(400; 0)\)).
Lấy gốc toạ độ \(O(0; 0)\), ta có \(0 + 2 \cdot 0 = 0 < 400\).
Do \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\), miền nghiệm của bài toán là miền tam giác \(OAB\) không kể cạnh \(AB\) (Hình 2.4).

Nhận xét kết quả kinh doanh rạp chiếu phim:

• Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2: điểm \((150; 150)\) nằm ngoài tam giác \(OAB \implies\) rạp chiếu phim có lãi.

• Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2: điểm \((200; 100)\) nằm trên cạnh \(AB \implies\) rạp chiếu phim hoà vốn.

• Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2: điểm \((100; 100)\) nằm bên trong miền tam giác \(OAB \implies\) rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Vận dụng Bài toán cước phí viễn thông gọi nội mạng và ngoại mạng

Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?

Xem lời giải Vận dụng

Gọi \(x\) là số phút gọi nội mạng và \(y\) là số phút gọi ngoại mạng trong một tháng (\(x \ge 0, y \ge 0\)).

Số tiền phải trả hàng tháng (đơn vị: nghìn đồng) là: \(1x + 2y = x + 2y\).

Để số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng, ta có bất phương trình:

\(x + 2y < 200 \quad (x \ge 0, y \ge 0)\)

Số phút gọi \((x; y)\) có thể sử dụng là toạ độ các điểm thuộc miền trong của tam giác \(OAB\) (không kể các cạnh), với \(O(0; 0)\), \(A(0; 100)\), \(B(200; 0)\).