Lý thuyết trọng tâm về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Khái niệm hệ BPT và nghiệm của hệ, quy trình biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng toạ độ Oxy bằng phương pháp gạch bỏ, định lí tối ưu tuyến tính tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = ax + by trên miền đa giác lồi, và toàn bộ lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 2.4, 2.5, 2.6 trang 30).
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 26 - 30)
Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng ($1\,200$ triệu đồng).
| Tiêu chí | Điều hoà hai chiều | Điều hoà một chiều |
|---|---|---|
| Giá mua vào | 20 triệu đồng / máy | 10 triệu đồng / máy |
| Lợi nhuận dự kiến | 3,5 triệu đồng / máy | 2 triệu đồng / máy |
Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá $100$ máy cả hai loại.
Câu hỏi đặt ra: Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Gọi $x, y$ lần lượt là số máy điều hoà hai chiều và một chiều cần nhập.
Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập ($x, y \in \mathbb{N}$). Khi đó:
Như vậy, $x$ và $y$ trong HĐ1 phải đồng thời thoả mãn một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta gọi đó là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 150 \end{cases}$$
a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Kiểm tra xem cặp số $(x; y) = (0; 0)$ có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không.
a) Hệ bất phương trình đã cho gồm ba bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ ($x \ge 0; y \ge 0; x + y \le 150$). Do đó, đây là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ:
• $0 \ge 0$ (đúng);
• $0 \ge 0$ (đúng);
• $0 + 0 = 0 \le 150$ (đúng).
Vì cặp số $(0; 0)$ thoả mãn cả ba bất phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
Trong tình huống mở đầu, gọi $x$ và $y$ lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn $x, y$ và chỉ ra một nghiệm của hệ này.
Cho đường thẳng $d: x + y = 150$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Đường thẳng này cắt hai trục toạ độ $Ox$ và $Oy$ tại hai điểm $A(150; 0)$ và $B(0; 150)$.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: $$\begin{cases} 7x + 4y \le 2\,400 \\ x + y \le 100 \\ x \ge 0 \end{cases}$$
Bước 1. Xác định miền nghiệm $D_1$ của bất phương trình $7x + 4y \le 2\,400$ và gạch bỏ miền còn lại:
• Vẽ đường thẳng $d: 7x + 4y = 2\,400$ qua $(0; 600)$ và $(\frac{2400}{7}; 0) \approx (342{,}9; 0)$.
• Vì $7(0) + 4(0) = 0 \le 2\,400$ nên miền chứa gốc toạ độ $O(0; 0)$ là miền nghiệm. Ta gạch bỏ phần nửa mặt phẳng không chứa gốc $O$.
Bước 2. Tương tự, miền nghiệm $D_2$ của bất phương trình $x + y \le 100$ là nửa mặt phẳng bờ $d': x + y = 100$ (qua $(100; 0)$ và $(0; 100)$) chứa gốc toạ độ $O$. Gạch bỏ phần không chứa $O$.
Bước 3. Miền nghiệm $D_3$ của bất phương trình $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $(1; 0)$ (phía bên phải trục $Oy$). Gạch bỏ phần bên trái trục $Oy$.
Kết luận: Miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong Hình 2.6.
Nếu bất phương trình chứa dấu ngặt ($<$ hoặc $>$), thì đường biên không thuộc miền nghiệm và được vẽ bằng nét đứt. Nếu chứa dấu $\le$ hoặc $\ge$, đường biên thuộc miền nghiệm và vẽ bằng nét liền.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y > 0 \\ x + y \le 100 \\ 2x + y < 120 \end{cases}$$
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y = 100 \\ 2x + y = 120 \end{cases} \implies B(20; 80)$.
Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với $O(0; 0), A(0; 100), B(20; 80), C(60; 0)$, không kể đoạn $OC$ (trục $Ox$) và không kể đoạn $BC$ (thuộc $d_2$).
Xét biểu thức $F(x; y) = 2x + 3y$ với $(x; y)$ thuộc miền tam giác $OAB$ ở HĐ2 với toạ độ ba đỉnh là $O(0; 0), A(150; 0)$ và $B(0; 150)$ (H.2.5).
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức bậc nhất: $$F(x; y) = ax + by$$ với $(x; y)$ là toạ độ các điểm thuộc miền đa giác $A_1 A_2 \ldots A_n$ (tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác), luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Giả sử cửa hàng cần nhập $x$ máy điều hoà hai chiều và $y$ máy điều hoà một chiều ($x, y \ge 0$).
Ta thu được hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 100 \\ 2x + y \le 120 \end{cases}$$
Lợi nhuận thu được khi bán hết là: $F(x; y) = 3{,}5x + 2y$ (triệu đồng).
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ: Miền tứ giác $OABC$ với toạ độ các đỉnh là $O(0; 0)$, $A(0; 100)$, $B(20; 80)$ và $C(60; 0)$ (H.2.7).
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại các đỉnh của tứ giác:
• $F(0; 0) = 3{,}5(0) + 2(0) = 0$;
• $F(0; 100) = 3{,}5(0) + 2(100) = 200$;
• $F(20; 80) = 3{,}5(20) + 2(80) = 70 + 160 = \mathbf{230}$;
• $F(60; 0) = 3{,}5(60) + 2(0) = 210$.
Bước 3. So sánh: Giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ là $230$ tại đỉnh $B(20; 80)$.
⇒ Cửa hàng cần nhập 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để thu được lợi nhuận lớn nhất là 230 triệu đồng.
Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính $A$ và $B$, giá mỗi chiếc lần lượt là $10$ triệu đồng và $20$ triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá $4$ tỉ đồng ($4\,000$ triệu đồng). Loại máy $A$ mang lại lợi nhuận $2{,}5$ triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy $B$ mang lại lợi nhuận $4$ triệu đồng cho mỗi máy bán được. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá $250$ máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại $A$ là $x$ và số máy tính loại $B$ là $y$.
a) Điều kiện: $x \ge 0, y \ge 0$.
• Tổng số máy không vượt quá $250$: $x + y \le 250$.
• Tổng vốn không quá $4$ tỉ đồng ($4\,000$ triệu đồng): $10x + 20y \le 4\,000 \iff x + 2y \le 400$.
Hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 250 \\ x + 2y \le 400 \end{cases}$$
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác $OABC$ với các đỉnh:
• $O(0; 0)$;
• $A(0; 200)$ (giao điểm của $x + 2y = 400$ với trục $Oy$);
• $B(100; 150)$ (nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y = 250 \\ x + 2y = 400 \end{cases}$);
• $C(250; 0)$ (giao điểm của $x + y = 250$ với trục $Ox$).
b) Biểu thức lợi nhuận: $F(x; y) = 2{,}5x + 4y$ (triệu đồng).
c) Tính giá trị của $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền tứ giác $OABC$:
• $F(0; 0) = 0$;
• $F(0; 200) = 2{,}5(0) + 4(200) = 800$;
• $F(100; 150) = 2{,}5(100) + 4(150) = 250 + 600 = \mathbf{850}$;
• $F(250; 0) = 2{,}5(250) + 4(0) = 625$.
⇒ Kết luận: Giá trị lớn nhất của lợi nhuận là $850$ triệu đồng, đạt được khi $x = 100$ và $y = 150$. Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy tính loại A và 150 máy tính loại B.
Hệ này gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $1 \cdot x + 0 \cdot y < 0$ và $0 \cdot x + 1 \cdot y \ge 0$.
⇒ Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình đầu tiên $x + y^2 < 0$ chứa ẩn $y$ với số mũ $2$ (bậc hai đối với $y$), không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
⇒ Đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình $x + y + z < 0$ có ba ẩn số là $x, y, z$.
⇒ Đây không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (mà là ba ẩn).
Ta có $3^2 = 9$ và $4^2 = 16$. Khi đó hệ viết lại thành: $$\begin{cases} -2x + y < 9 \\ 16x + 3y < 1 \end{cases}$$ Cả hai bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$.
⇒ Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch, giới hạn bởi đường thẳng $x - y = 1$, trục $Ox$ và trục $Oy$ (không chứa các đường biên).
Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền tam giác $OAB$ (kể cả ba cạnh của tam giác) với $O(0; 0), A(2; 0), B(0; 4)$.
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 0 \end{cases} \implies M(2{,}5; 2{,}5)$.
Miền nghiệm là góc mở vô hạn đỉnh $M(2{,}5; 2{,}5)$, giới hạn bởi tia trên của $d_1$ và tia trên của $d_2$ (không kể hai đường biên).
| Loại thực phẩm | Protein (đơn vị/kg) | Lipid (đơn vị/kg) | Lượng mua tối đa | Đơn giá (nghìn đồng/kg) |
|---|---|---|---|---|
| Thịt bò ($x\text{ kg}$) | $800$ | $200$ | $\le 1{,}6\text{ kg}$ | $250$ |
| Thịt lợn ($y\text{ kg}$) | $600$ | $400$ | $\le 1{,}1\text{ kg}$ | $160$ |
| Yêu cầu dinh dưỡng | $\ge 900$ đơn vị | $\ge 400$ đơn vị | - | $F = 250x + 160y \to \text{Min}$ |
Vì gia đình mua tối đa $1{,}6\text{ kg}$ thịt bò và $1{,}1\text{ kg}$ thịt lợn, và lượng thịt không âm nên: $$0 \le x \le 1{,}6 \quad \text{và} \quad 0 \le y \le 1{,}1$$
Hệ bất phương trình ràng buộc là: $$\begin{cases} 0 \le x \le 1{,}6 \\ 0 \le y \le 1{,}1 \\ 4x + 3y \ge 4{,}5 \\ x + 2y \ge 2 \end{cases}$$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng toạ độ, ta được miền nghiệm là miền tứ giác $ABCD$ với toạ độ các đỉnh:
Giá $1\text{ kg}$ thịt bò là $250$ nghìn đồng, giá $1\text{ kg}$ thịt lợn là $160$ nghìn đồng. Do đó tổng chi phí (nghìn đồng) phải trả để mua $x\text{ kg}$ bò và $y\text{ kg}$ lợn là: $$F(x; y) = 250x + 160y \quad (\text{nghìn đồng})$$
Theo định lí tối ưu tuyến tính, chi phí nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y)$ đạt được tại một trong các đỉnh của miền tứ giác $ABCD$.
| Đỉnh của tứ giác | Toạ độ $(x; y)$ | Giá trị $F(x; y) = 250x + 160y$ (nghìn đồng) |
|---|---|---|
| A | $(0{,}6; 0{,}7)$ | $250(0{,}6) + 160(0{,}7) = 150 + 112 = 262$ |
| B | $(1{,}6; 0{,}2)$ | $250(1{,}6) + 160(0{,}2) = 400 + 32 = 432$ |
| C | $(1{,}6; 1{,}1)$ | $250(1{,}6) + 160(1{,}1) = 400 + 176 = 576$ |
| D (Tối ưu) | $(0{,}3; 1{,}1)$ | $250(0{,}3) + 160(1{,}1) = 75 + 176 = \mathbf{251}$ (Nhỏ nhất) |