Theo định nghĩa chuẩn SGK Toán 11 (trang 62), số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $$\bar{x} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_k x_k}{n}$$ Trong đó $n = \sum_{i=1}^k m_i$ là cỡ mẫu và $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện (trung bình cộng hai đầu mút) của nhóm $[a_i; a_{i+1})$. Do đó đáp án chính xác là **A**.

Theo quy tắc tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm (SGK Toán 11 trang 64): $$M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - (m_1 + \dots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$$ Trong đó nhóm $p$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$. Do đó đáp án chính xác là **A**.

**Bước 1:** Xác định nhóm chứa mốt: Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm $[3; 3,5)$ với tần số $m_3 = 14$ ($j = 3$). **Bước 2:** Xác định các thông số: - Đầu mút trái: $a_3 = 3$. - Độ dài nhóm: $h = 3,5 - 3 = 0,5$. - Tần số nhóm chứa mốt: $m_3 = 14$. - Tần số nhóm liền trước: $m_2 = 9$. - Tần số nhóm liền sau: $m_4 = 11$. **Bước 3:** Áp dụng công thức tính mốt: $$M_o = a_j + \frac{m_j - m_{j-1}}{(m_j - m_{j-1}) + (m_j - m_{j+1})} \cdot h$$ $$M_o = 3 + \frac{14 - 9}{(14 - 9) + (14 - 11)} \cdot 0,5 = 3 + \frac{5}{5 + 3} \cdot 0,5 = 3 + \frac{2,5}{8} = 3 + 0,3125 = 3,3125 \text{ (năm)}.$$ Ý nghĩa: Số bình ắc quy có tuổi thọ khoảng $3,3125$ năm là nhiều nhất. Do đó đáp án chính xác là **A**.

Giá trị đại diện $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ cho từng nhóm: - Nhóm $[2; 2,5)$: $x_1 = 2,25$ - Nhóm $[2,5; 3)$: $x_2 = 2,75$ - Nhóm $[3; 3,5)$: $x_3 = 3,25$ - Nhóm $[3,5; 4)$: $x_4 = 3,75$ - Nhóm $[4; 4,5)$: $x_5 = 4,25$ - Nhóm $[4,5; 5)$: $x_6 = 4,75$ Tổng số bình ắc quy: $n = 4 + 9 + 14 + 11 + 7 + 5 = 50$. Tuổi thọ trung bình: $$\bar{x} = \frac{4 \cdot 2,25 + 9 \cdot 2,75 + 14 \cdot 3,25 + 11 \cdot 3,75 + 7 \cdot 4,25 + 5 \cdot 4,75}{50}$$ $$\bar{x} = \frac{9 + 24,75 + 45,5 + 41,25 + 29,75 + 23,75}{50} = \frac{174}{50} = 3,48 \text{ (năm)}.$$ Do đó đáp án chính xác là **A**.

Ta phân loại $40$ giá trị vào các khoảng có độ dài $5$ bắt đầu từ $[0; 5)$: - $[0; 5)$: gồm các giá trị $2, 2, 3, 3, 3 \implies$ tần số $m_1 = 5$. - $[5; 10)$: gồm $5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9 \implies$ tần số $m_2 = 11$. - $[10; 15)$: gồm $10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 14 \implies$ tần số $m_3 = 11$. - $[15; 20)$: gồm $15, 15, 15, 16, 17, 17, 18, 18, 19 \implies$ tần số $m_4 = 9$. - $[20; 25)$: gồm $20 \implies$ tần số $m_5 = 1$. - $[25; 30)$: gồm $25 \implies$ tần số $m_6 = 1$. - $[30; 35)$: gồm $31, 32 \implies$ tần số $m_7 = 2$. Tổng số quan sát: $5 + 11 + 11 + 9 + 1 + 1 + 2 = 40$. Tần số lớn nhất trong mẫu số liệu là $11$, đạt được tại cả hai nhóm liên tiếp là $[5; 10)$ và $[10; 15)$. Do đó đáp án đúng là **A**.

**1. Số trung bình của mẫu số liệu gốc (chính xác tuyệt đối):** $$\sum_{i=1}^{40} x_i = 476 \implies \bar{x}_{\text{gốc}} = \frac{476}{40} = 11,9 \text{ (km)}.$$ **2. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm (xấp xỉ):** Các giá trị đại diện lần lượt là $2,5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5$. $$\bar{x}_{\text{ghép}} = \frac{5 \cdot 2,5 + 11 \cdot 7,5 + 11 \cdot 12,5 + 9 \cdot 17,5 + 1 \cdot 22,5 + 1 \cdot 27,5 + 2 \cdot 32,5}{40}$$ $$\bar{x}_{\text{ghép}} = \frac{12,5 + 82,5 + 137,5 + 157,5 + 22,5 + 27,5 + 65}{40} = \frac{505}{40} = 12,625 \text{ (km)}.$$ Số trung bình của mẫu không ghép nhóm tính trực tiếp từ toàn bộ dữ liệu gốc nên chính xác tuyệt đối, trong khi số trung bình ghép nhóm là giá trị ước lượng xấp xỉ. Do đó đáp án chính xác là **A**.

**Bước 1: Hiệu chỉnh bảng số liệu rời rạc:** Nhóm $k_1 - k_2$ được hiệu chỉnh thành $[k_1 - 0,5; k_2 + 0,5)$. - Nhóm 0 – 9: $[-0,5; 9,5)$ có tần số 1 - Nhóm 10 – 19: $[9,5; 19,5)$ có tần số 2 - Nhóm 20 – 29: $[19,5; 29,5)$ có tần số 4 - Nhóm 30 – 39: $[29,5; 39,5)$ có tần số 6 - Nhóm 40 – 49: $[39,5; 49,5)$ có tần số 15 - $\dots$ Độ dài mỗi nhóm sau hiệu chỉnh là $h = 10$. **Bước 2: Tìm vị trí nhóm chứa $Q_1$:** Cỡ mẫu $n = 60 \implies \frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15$. Tần số tích lũy của các nhóm: - Nhóm 1: $1$ - Nhóm 2: $1 + 2 = 3$ - Nhóm 3: $3 + 4 = 7$ - Nhóm 4: $7 + 6 = 13 < 15$ - Nhóm 5: $13 + 15 = 28 \ge 15$. Do đó, nhóm chứa $Q_1$ là nhóm thứ 5: $[39,5; 49,5)$ ($p = 5$). **Bước 3: Tính $Q_1$:** Ta có: $a_5 = 39,5; m_5 = 15; m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 13; h = 10$. $$Q_1 = 39,5 + \frac{15 - 13}{15} \cdot 10 = 39,5 + \frac{20}{15} = 39,5 + 1,333\dots \approx 40,83 \text{ (điểm)}.$$ Do đó đáp án chính xác là **A**.

**Bước 1: Tìm nhóm chứa $Q_3$:** Cỡ mẫu $n = 60 \implies \frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 60}{4} = 45$. Tần số tích lũy: - Đến nhóm 5 ($[39,5; 49,5)$): $28$ thí sinh - Đến nhóm 6 ($[49,5; 59,5)$): $28 + 12 = 40 < 45$ - Đến nhóm 7 ($[59,5; 69,5)$): $40 + 10 = 50 \ge 45$. Vậy nhóm chứa $Q_3$ là nhóm thứ 7: $[59,5; 69,5)$ ($p = 7$). **Bước 2: Tính $Q_3$:** Ta có: $a_7 = 59,5; m_7 = 10; \sum_{i=1}^6 m_i = 40; h = 10$. $$Q_3 = 59,5 + \frac{45 - 40}{10} \cdot 10 = 59,5 + 5 = 64,5 \text{ (điểm)}.$$ **Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$:** $$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 64,5 - 40,833\dots \approx 23,67 \text{ (điểm)}.$$ Ý nghĩa: Có khoảng 50% số thí sinh đạt mức điểm nằm tập trung trong khoảng từ $40,83$ đến $64,5$ điểm. Do đó đáp án chính xác là **A**.

Giá trị đại diện các nhóm thời gian ngủ: $x_1 = 4,5; \, x_2 = 5,5; \, x_3 = 6,5; \, x_4 = 7,5; \, x_5 = 8,5$. **1. Học sinh nam:** Cỡ mẫu nam: $n_{\text{nam}} = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45$. $$\bar{x}_{\text{nam}} = \frac{6 \cdot 4,5 + 10 \cdot 5,5 + 13 \cdot 6,5 + 9 \cdot 7,5 + 7 \cdot 8,5}{45}$$ $$\bar{x}_{\text{nam}} = \frac{27 + 55 + 84,5 + 67,5 + 59,5}{45} = \frac{293,5}{45} \approx 6,522 \text{ (giờ)}.$$ **2. Học sinh nữ:** Cỡ mẫu nữ: $n_{\text{nữ}} = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41$. $$\bar{x}_{\text{nữ}} = \frac{4 \cdot 4,5 + 8 \cdot 5,5 + 10 \cdot 6,5 + 11 \cdot 7,5 + 8 \cdot 8,5}{41}$$ $$\bar{x}_{\text{nữ}} = \frac{18 + 44 + 65 + 82,5 + 68}{41} = \frac{277,5}{41} \approx 6,768 \text{ (giờ)}.$$ Vì $6,77 > 6,52$ nên các bạn học sinh nữ có thời gian ngủ trung bình nhiều hơn các bạn học sinh nam khoảng $0,25$ giờ (tức khoảng $15$ phút). Do đó đáp án chính xác là **A**.

**Bước 1: Lập bảng số liệu gộp cho toàn bộ học sinh khối 11:** Tổng số học sinh từng nhóm ($m_i = m_{i,\text{nam}} + m_{i,\text{nữ}}$): - $[4; 5)$: $6 + 4 = 10$ học sinh - $[5; 6)$: $10 + 8 = 18$ học sinh - $[6; 7)$: $13 + 10 = 23$ học sinh - $[7; 8)$: $9 + 11 = 20$ học sinh - $[8; 9)$: $7 + 8 = 15$ học sinh Tổng số học sinh toàn khối khảo sát: $n = 45 + 41 = 86$. **Bước 2: Phân tích ý nghĩa phân vị:** Để có $75\%$ học sinh ngủ từ $T$ giờ trở lên, nghĩa là có tối đa $25\%$ số học sinh ngủ dưới $T$ giờ. Do đó, ngưỡng thời gian $T$ chính là **tứ phân vị thứ nhất $Q_1$** của toàn khối! **Bước 3: Xác định nhóm chứa $Q_1$:** Ta có $\frac{n}{4} = \frac{86}{4} = 21,5$. Tần số tích lũy: - Nhóm $[4; 5)$: có $10 < 21,5$ - Nhóm $[5; 6)$: có $10 + 18 = 28 \ge 21,5$. Do đó, nhóm chứa $Q_1$ là nhóm $[5; 6)$ ($p = 2$). **Bước 4: Tính $Q_1$:** Ta có $a_2 = 5; m_2 = 18; m_1 = 10; h = 1$. $$Q_1 = 5 + \frac{21,5 - 10}{18} \cdot 1 = 5 + \frac{11,5}{18} \approx 5 + 0,6389 = 5,6389 \text{ (giờ)}.$$ Đổi phần thập phân: $0,6389 \times 60 \approx 38$ phút $\implies$ Khoảng **5 giờ 38 phút**. Kết luận: Có khoảng $75\%$ học sinh khối 11 ngủ ít nhất $5,64$ giờ (khoảng 5 giờ 38 phút) mỗi tối. Do đó đáp án chính xác là **A**.