Bài 18: Xác suất có điều kiện

Lời giải:
Nếu biết biến cố "Sơn đã lấy được chiếc bút bi đen" đã xảy ra, thì trong hộp lúc này còn lại $11$ chiếc bút, trong đó có nguyên vẹn $7$ chiếc bút bi xanh và $4$ chiếc bút bi đen.
Vì Tùng lấy ngẫu nhiên 1 chiếc trong 11 chiếc bút còn lại, nên xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh trong điều kiện này là: $$\frac{7}{11}$$

Lời giải:

Cách 1: Tính bằng định nghĩa
Nếu biến cố $B$ xảy ra (tức là Bình đã lấy được viên bi trắng), khi đó trong hộp còn lại $29$ viên bi gồm $19$ viên bi trắng và $10$ viên bi đen.
Do An lấy ngẫu nhiên một viên từ 29 viên còn lại, xác suất để An lấy được viên bi trắng là: $$P(A \mid B) = \frac{19}{29}$$

Cách 2: Tính bằng công thức
- Không gian mẫu $\Omega$ là số cách để lần lượt Bình lấy 1 viên và An lấy 1 viên: $n(\Omega) = 30 \cdot 29$.
- Biến cố $B$: Bình lấy 1 viên bi trắng trong 20 viên (có 20 cách), sau đó An lấy 1 viên trong 29 viên còn lại (có 29 cách).
Do đó $n(B) = 20 \cdot 29 \implies P(B) = \dfrac{n(B)}{n(\Omega)} = \dfrac{20 \cdot 29}{30 \cdot 29} = \dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$.
- Biến cố $AB$ là "Bình và An cùng lấy được viên bi trắng": Bình có 20 cách chọn bi trắng, An có 19 cách chọn bi trắng trong số bi trắng còn lại.
Do đó $n(AB) = 20 \cdot 19 \implies P(AB) = \dfrac{n(AB)}{n(\Omega)} = \dfrac{20 \cdot 19}{30 \cdot 29}$.
Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện: $$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\dfrac{20 \cdot 19}{30 \cdot 29}}{\dfrac{20 \cdot 29}{30 \cdot 29}} = \frac{20 \cdot 19}{20 \cdot 29} = \frac{19}{29}$$ Cả hai cách đều cho cùng một kết quả.

Lời giải:
$\overline{B}$ là biến cố: "Bình không lấy được viên bi trắng" (nghĩa là Bình lấy được viên bi đen).

Cách 1: Bằng định nghĩa
Nếu $\overline{B}$ xảy ra (Bình lấy được viên bi đen), trong hộp còn lại $29$ viên bi gồm nguyên vẹn $20$ viên bi trắng và $9$ viên bi đen.
Xác suất để An lấy được viên bi trắng là: $$P(A \mid \overline{B}) = \frac{20}{29}$$

Cách 2: Bằng công thức
- Xác suất của biến cố $\overline{B}$: $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{20}{30} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$. Hoặc số kết quả thuận lợi $n(\overline{B}) = 10 \cdot 29$.
- Biến cố $A\overline{B}$ là: "Bình lấy được viên bi đen và An lấy được viên bi trắng".
Bình lấy 1 viên bi đen có 10 cách; An lấy 1 viên bi trắng trong 20 viên có 20 cách $\implies n(A\overline{B}) = 10 \cdot 20$.
Do đó: $P(A\overline{B}) = \dfrac{10 \cdot 20}{30 \cdot 29}$.
Áp dụng công thức: $$P(A \mid \overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{\dfrac{10 \cdot 20}{30 \cdot 29}}{\dfrac{10 \cdot 29}{30 \cdot 29}} = \frac{10 \cdot 20}{10 \cdot 29} = \frac{20}{29}$$

Lời giải:

a) Chứng minh theo công thức:
Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên theo định nghĩa đã học ở lớp 11 ta có: $$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$$ Với $P(A) > 0, P(B) > 0$, ta có: $$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$$ Tương tự: $$P(B \mid A) = \frac{P(BA)}{P(A)} = \frac{P(B) \cdot P(A)}{P(A)} = P(B)$$

b) Giải thích theo định nghĩa:
- Theo định nghĩa, $P(A \mid B)$ là xác suất của $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra.
Vì $A$ và $B$ độc lập nên việc biến cố $B$ xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của $A$. Do đó: $$P(A \mid B) = P(A)$$ - Tương tự, $P(B \mid A)$ là xác suất của $B$, tính trong điều kiện biết rằng $A$ đã xảy ra. Vì $A$ và $B$ độc lập nên việc $A$ xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của $B$. Do đó: $$P(B \mid A) = P(B)$$

Lời giải:
Theo tính chất của các biến cố độc lập (chương trình Toán 11): Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau cũng độc lập với nhau:

• $\overline{A}$ và $B$;
• $A$ và $\overline{B}$;
• $\overline{A}$ và $\overline{B}$.

Áp dụng kết quả đã chứng minh ở Ví dụ 2:
- Do $\overline{A}$ và $B$ độc lập nên việc $B$ xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất của $\overline{A}$, suy ra: $$P(\overline{A} \mid B) = P(\overline{A})$$ - Do $A$ và $\overline{B}$ độc lập nên việc $\overline{B}$ xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất của $A$, suy ra: $$P(A \mid \overline{B}) = P(A)$$

Lời giải:
Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp gồm $577\,006$ người lái xe xảy ra tai nạn giao thông $\implies n(\Omega) = 577\,006$.
Gọi $A$ là biến cố: "Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông";
Gọi $B$ là biến cố: "Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông".
Khi đó biến cố giao $AB$ là: "Người lái xe đó tử vong và không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông".

---

a) Tính xác suất người lái xe tử vong khi không thắt dây an toàn, tức là $P(A \mid B)$:
Tổng số người không thắt dây an toàn là:
$$n(B) = 162\,527 + 1\,601 = 164\,128 \implies P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{164\,128}{577\,006}$$ Số người không thắt dây an toàn và tử vong là: $n(AB) = 1\,601 \implies P(AB) = \dfrac{1\,601}{577\,006}$.
Do đó xác suất có điều kiện là: $$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1\,601}{164\,128} \approx 9{,}755 \cdot 10^{-3} = 0{,}009755$$

---

b) Tính xác suất người lái xe tử vong khi có thắt dây an toàn, tức là $P(A \mid \overline{B})$:
$\overline{B}$ là biến cố người lái xe đó có thắt dây an toàn.
Tổng số người có thắt dây an toàn là:
$$n(\overline{B}) = 412\,368 + 510 = 412\,878 \implies P(\overline{B}) = \frac{412\,878}{577\,006}$$ Số người có thắt dây an toàn và tử vong là: $n(A\overline{B}) = 510 \implies P(A\overline{B}) = \dfrac{510}{577\,006}$.
Do đó: $$P(A \mid \overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{510}{412\,878} \approx 1{,}235 \cdot 10^{-3} = 0{,}001235$$

---

c) So sánh và rút ra kết luận:
Tỉ số giữa hai xác suất: $$\frac{P(A \mid B)}{P(A \mid \overline{B})} \approx \frac{9{,}755 \cdot 10^{-3}}{1{,}235 \cdot 10^{-3}} \approx 7{,}9 \implies P(A \mid B) \approx 7{,}9 \cdot P(A \mid \overline{B})$$ Kết luận: Xác suất tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông của người lái xe không thắt dây an toàn cao gấp khoảng 7,9 lần so với người có thắt dây an toàn. Điều này minh chứng tầm quan trọng sống còn của việc luôn thắt dây an toàn khi tham gia giao thông bằng ô tô!

Lời giải:
Không gian mẫu gồm $4\,000$ bệnh nhân thử nghiệm, $n(\Omega) = 4\,000$.

a) Tính xác suất uống thuốc M biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh:
- Gọi $M$ là biến cố: "Bệnh nhân uống thuốc M".
- Gọi $K$ là biến cố: "Bệnh nhân khỏi bệnh".
Từ bảng số liệu, tổng số bệnh nhân khỏi bệnh là: $$n(K) = 1\,600 + 1\,200 = 2\,800$$ Số bệnh nhân vừa uống thuốc M vừa khỏi bệnh là: $$n(MK) = 1\,600$$ Do đó xác suất để bệnh nhân uống thuốc M khi biết bệnh nhân đó đã khỏi bệnh là: $$P(M \mid K) = \frac{n(MK)}{n(K)} = \frac{1\,600}{2\,800} = \frac{4}{7} \approx 0{,}5714 \ (57{,}14\%)$$

---

b) Tính xác suất uống thuốc N biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh:
- Gọi $N$ là biến cố: "Bệnh nhân uống thuốc N".
- Biến cố $\overline{K}$ là: "Bệnh nhân không khỏi bệnh".
Từ bảng số liệu, tổng số bệnh nhân không khỏi bệnh là: $$n(\overline{K}) = 800 + 400 = 1\,200$$ Số bệnh nhân uống thuốc N và không khỏi bệnh là: $$n(N\overline{K}) = 400$$ Do đó xác suất cần tìm là: $$P(N \mid \overline{K}) = \frac{n(N\overline{K})}{n(\overline{K})} = \frac{400}{1\,200} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \ (33{,}33\%)$$

Lời giải:
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, với $P(B) > 0$, ta có: $$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$ Nhân cả hai vế với $P(B) > 0$, ta suy ra: $$P(AB) = P(B) \cdot P(A \mid B)$$

Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố: "Bạn Sơn lấy được bút bi đen";
Gọi $B$ là biến cố: "Bạn Tùng lấy được bút bi xanh".
Biến cố cần tính xác suất là biến cố giao $AB$: "Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh".
- Ban đầu hộp có $7 + 5 = 12$ chiếc bút bi gồm 5 chiếc bút đen, do đó xác suất để Sơn lấy được bút đen là: $$P(A) = \frac{5}{12}$$ - Nếu biến cố $A$ xảy ra (tức là Sơn đã lấy được 1 chiếc bút đen), thì trong hộp còn lại $11$ chiếc bút, trong đó có nguyên vẹn $7$ chiếc bút bi xanh. Do đó: $$P(B \mid A) = \frac{7}{11}$$ - Áp dụng công thức nhân xác suất: $$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{11} = \frac{35}{132}$$

Lời giải:

a) Tính xác suất Sơn lấy bút bi xanh và Tùng lấy bút bi đen:
Đây chính là kết quả theo đường nhánh $O \to X \to Đ$ trên sơ đồ hình cây:
- Xác suất Sơn lấy bút xanh: $P(X) = \dfrac{7}{12}$.
- Khi Sơn đã lấy 1 bút xanh, trong hộp còn 11 chiếc gồm 5 bút đen và 6 bút xanh. Xác suất Tùng lấy bút đen là: $P(Đ \mid X) = \dfrac{5}{11}$.
Theo công thức nhân xác suất: $$P(XĐ) = P(X) \cdot P(Đ \mid X) = \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{35}{132}$$

---

b) Tính xác suất hai chiếc bút lấy ra có cùng màu:
Biến cố "Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu" xảy ra khi cả hai bạn cùng lấy được bút đen ($ĐĐ$) hoặc cả hai bạn cùng lấy được bút xanh ($XX$).
- Xác suất cả 2 lấy bút đen (nhánh $O \to Đ \to Đ$): $$P(ĐĐ) = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = \frac{20}{132}$$ - Xác suất cả 2 lấy bút xanh (nhánh $O \to X \to X$): $$P(XX) = \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{42}{132}$$ Vì hai biến cố $ĐĐ$ và $XX$ là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất: $$P(\text{cùng màu}) = P(ĐĐ) + P(XX) = \frac{20}{132} + \frac{42}{132} = \frac{62}{132} = \frac{31}{66} \approx 0{,}4697$$

Lời giải & Phân tích chi tiết:

a) Xác định các xác suất cơ sở:
- Ban đầu ô tô được xếp ngẫu nhiên và đồng khả năng vào 1 trong 3 cánh cửa, nên: $$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$$ - Nếu $E_1$ xảy ra (ô tô nằm sau cánh cửa số 1 mà người chơi đã chọn), khi đó sau cả hai cánh cửa số 2 và số 3 đều là con lừa. Người quản trò sẽ chọn ngẫu nhiên mở một trong hai cánh cửa 2 hoặc 3 với khả năng như nhau, do đó: $$P(H \mid E_1) = \frac{1}{2}$$ - Nếu $E_2$ xảy ra (ô tô nằm sau cánh cửa số 2): Người quản trò không được mở cửa số 1 (vì người chơi đã chọn) và không được mở cửa số 2 (vì có ô tô). Do đó người quản trò bắt buộc $100\%$ phải mở cửa số 3. Vì vậy: $$P(H \mid E_2) = 1$$ - (Nếu $E_3$ xảy ra thì cửa số 3 có ô tô, người quản trò không bao giờ mở cửa số 3 để lộ ô tô, nên $P(H \mid E_3) = 0$).

---

b) Áp dụng định nghĩa và công thức nhân:
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất: $$P(E_1 \mid H) = \frac{P(E_1 H)}{P(H)} = \frac{P(E_1) \cdot P(H \mid E_1)}{P(H)}$$ $$P(E_2 \mid H) = \frac{P(E_2 H)}{P(H)} = \frac{P(E_2) \cdot P(H \mid E_2)}{P(H)}$$ (Đây cũng chính là dạng sơ khai của Công thức Bayes mà ta sẽ học ở Bài 19).

---

c) So sánh và Lời khuyên vàng cho người chơi:
Lập tỉ số giữa hai xác suất có điều kiện: $$\frac{P(E_2 \mid H)}{P(E_1 \mid H)} = \frac{\dfrac{P(E_2) \cdot P(H \mid E_2)}{P(H)}}{\dfrac{P(E_1) \cdot P(H \mid E_1)}{P(H)}} = \frac{P(E_2) \cdot P(H \mid E_2)}{P(E_1) \cdot P(H \mid E_1)} = \frac{\dfrac{1}{3} \cdot 1}{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}} = 2$$ Suy ra: $$P(E_2 \mid H) = 2P(E_1 \mid H)$$ Vì sau khi mở cửa 3 thấy lừa thì ô tô chỉ có thể ở cửa 1 hoặc cửa 2, nên $P(E_1 \mid H) + P(E_2 \mid H) = 1$.
Từ đó ta tính được chính xác: $$P(E_1 \mid H) = \frac{1}{3} \approx 33{,}33\%, \qquad P(E_2 \mid H) = \frac{2}{3} \approx 66{,}67\%$$

Lời giải:
- Gọi $B$ là biến cố: "Thẻ rút ra mang số chẵn".
Các số chẵn từ 1 đến 20 là: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$, có tất cả 10 số, do đó $n(B) = 10$.
- Gọi $A$ là biến cố: "Rút được tấm thẻ số 10".
Trong các tấm thẻ mang số chẵn, chỉ có duy nhất 1 tấm thẻ mang số 10, nên $n(AB) = 1$.
Do các tấm thẻ có cùng khả năng rút như nhau, xác suất để người đó rút được thẻ số 10 trong điều kiện biết thẻ rút ra mang số chẵn là: $$P(A \mid B) = \frac{n(AB)}{n(B)} = \frac{1}{10} = 0{,}1$$

Lời giải:
Áp dụng công thức nhân xác suất: $$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16$$ Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$: $$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0{,}16}{0{,}51} = \frac{16}{51} \approx 0{,}3137$$

Lời giải:
Gieo 2 con xúc xắc đồng chất, không gian mẫu $\Omega$ gồm $6 \cdot 6 = 36$ phần tử.
- Gọi $A$ là biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7".
Các kết quả thuận lợi cho $A$ là: $$A = \{(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)\} \implies n(A) = 6$$ - Gọi $B$ là biến cố: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm".
Các kết quả thuận lợi cho $B$ là: $$B = \{(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (1; 5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (6; 5)\} \implies n(B) = 11$$ - Biến cố giao $AB$ là: Vừa có tổng bằng 7 vừa có ít nhất một mặt 5 chấm: $$AB = \{(2; 5), (5; 2)\} \implies n(AB) = 2$$

---

a) Tính xác suất tổng bằng 7 biết có ít nhất một mặt 5 chấm: $$P(A \mid B) = \frac{n(AB)}{n(B)} = \frac{2}{11}$$

---

b) Tính xác suất có ít nhất một mặt 5 chấm biết tổng bằng 7: $$P(B \mid A) = \frac{n(AB)}{n(A)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Lời giải:
- Gọi $B$ là biến cố: "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm". Như đã tính ở Bài 6.3, ta có: $n(B) = 11$.
- Gọi $C$ là biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không nhỏ hơn 10" (tức là tổng số chấm $\ge 10$, nhận các giá trị $10, 11, 12$).
- Biến cố giao $CB$ là các kết quả có ít nhất một mặt 5 chấm và có tổng $\ge 10$: $$CB = \{(5; 5), (5; 6), (6; 5)\} \implies n(CB) = 3$$ (Lưu ý: cặp $(6; 6)$ có tổng bằng 12 nhưng không có mặt 5 chấm, còn cặp $(4; 6), (6; 4)$ có tổng bằng 10 nhưng cũng không có mặt 5 chấm).
Do đó xác suất cần tìm là: $$P(C \mid B) = \frac{n(CB)}{n(B)} = \frac{3}{11}$$

Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố: "Thí nghiệm thứ nhất thành công" $\implies P(A) = 0{,}7$ và $P(\overline{A}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.
Gọi $B$ là biến cố: "Thí nghiệm thứ hai thành công".
Theo giả thiết đề bài:

• Xác suất TN2 thành công khi TN1 thành công: $P(B \mid A) = 0{,}9 \implies P(\overline{B} \mid A) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.
• Xác suất TN2 thành công khi TN1 thất bại: $P(B \mid \overline{A}) = 0{,}4 \implies P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

---

a) Xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công (biến cố $AB$): $$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = 0{,}7 \cdot 0{,}9 = 0{,}63$$

---

b) Xác suất cả hai thí nghiệm đều không thành công (biến cố $\overline{A}\,\overline{B}$): $$P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B} \mid \overline{A}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$$

---

c) Xác suất thí nghiệm 1 thành công và thí nghiệm 2 không thành công (biến cố $A\overline{B}$): $$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B} \mid A) = 0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}07$$

Lời giải:
Gọi $n$ là tổng số cái kẹo ban đầu có trong túi ($n \in \mathbb{N}^*, n > 6$).
- Gọi $C_1$ là biến cố: "Hà lấy được kẹo màu cam ở lần thứ nhất".
Vì ban đầu trong túi có 6 cái kẹo màu cam trên tổng số $n$ cái kẹo, nên: $$P(C_1) = \frac{6}{n}$$ - Gọi $C_2$ là biến cố: "Hà lấy được kẹo màu cam ở lần thứ hai".
Khi biến cố $C_1$ đã xảy ra (tức là Hà đã lấy 1 cái kẹo màu cam và không trả lại), trong túi lúc này còn lại $n - 1$ cái kẹo, trong đó có $6 - 1 = 5$ cái kẹo màu cam.
Do đó xác suất để lần thứ hai lấy được kẹo màu cam là: $$P(C_2 \mid C_1) = \frac{5}{n - 1}$$ - Áp dụng công thức nhân xác suất, xác suất để Hà lấy được cả hai cái kẹo đều màu cam là: $$P(C_1 C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2 \mid C_1) = \frac{6}{n} \cdot \frac{5}{n - 1} = \frac{30}{n(n - 1)}$$ - Theo đề bài, xác suất này bằng $\dfrac{1}{3}$, nên ta có phương trình: $$\frac{30}{n(n - 1)} = \frac{1}{3} \iff n(n - 1) = 90 \iff n^2 - n - 90 = 0$$ Phân tích đa thức thành nhân tử: $$(n - 10)(n + 9) = 0 \iff \begin{cases} n = 10 \quad (\text{thoả mãn điều kiện } n > 6) \\ n = -9 \quad (\text{loại}) \end{cases}$$ Kết luận: Ban đầu trong túi có tất cả 10 cái kẹo (gồm 6 cái kẹo màu cam và 4 cái kẹo màu vàng).