Bài 2: Công thức lượng giác

Thuật ngữ

Công thức cộng
Công thức nhân đôi
Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tổng thành tích

Kiến thức, kĩ năng

Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.

Tình huống mở đầu: Thiết bị trễ kĩ thuật số & Sóng âm kết hợp

Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần $f_1(t) = 5\sin t$ và phát lại được nốt thuần $f_2(t) = 5\cos t$ thì âm kết hợp là:

$$f(t) = f_1(t) + f_2(t) = 5\sin t + 5\cos t$$

trong đó $t$ là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng $f(t) = k\sin(t + \varphi)$, tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm $k$ và pha ban đầu $\varphi$ ($-\pi \le \varphi \le \pi$) của sóng âm.

Bài toán này sẽ được giải quyết trọn vẹn ở Vận dụng 1 sau khi ta khám phá Công thức cộng!

1 Công thức cộng

HĐ1 Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a = \dfrac{\pi}{3}$ và $b = \dfrac{\pi}{6}$, hãy chứng tỏ $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

b) Bằng cách viết $a + b = a - (-b)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos(a + b)$.

c) Bằng cách viết $\sin(a - b) = \cos\left[\dfrac{\pi}{2} - (a - b)\right] = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) + b\right]$ và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin(a - b)$.

Xem lời giải HĐ1

a) $a - b = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} \implies \cos(a - b) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác: $\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

b) $\cos(a + b) = \cos[a - (-b)] = \cos a\cos(-b) + \sin a\sin(-b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

c) $\sin(a - b) = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) + b\right] = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right)\cos b - \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right)\sin b = \sin a\cos b - \cos a\sin b$.

Công thức cộng đối với các giá trị lượng giác:

• Công thức cosin

$$\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$$

$$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$$

• Công thức sin

$$\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$$

$$\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$

• Công thức tang

$$\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}$$

$$\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$$

(Giả thiết các biểu thức trên đều có nghĩa).

Ví dụ 1 Không dùng máy tính, tính giá trị lượng giác bằng công thức cộng

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính: a) $\cos 75^\circ$; b) $\tan\dfrac{\pi}{12}$.

Xem lời giải Ví dụ 1

a) Ta tách $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$:

$$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$$

b) Ta tách $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$:

$$\tan\dfrac{\pi}{12} = \tan\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\tan\frac{\pi}{3} - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = 2 - \sqrt{3}.$$

Ví dụ 2 Chứng minh đẳng thức lượng giác dạng $a\sin x + b\cos x$

Chứng minh rằng: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Xem lời giải Ví dụ 2

Biến đổi vế phải:

$$\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin x + \cos x.$$

Đẳng thức được chứng minh.

Luyện tập 1 Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh rằng:
a) $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
b) $\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \quad \left(x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi, x \ne \dfrac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right)$.

Xem lời giải Luyện tập 1

a) Biến đổi vế phải:

$$\sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4} - \cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin x - \cos x.$$

b) Áp dụng công thức cộng cho tang với góc $\dfrac{\pi}{4}$ và $x$ (nhớ rằng $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$):

$$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan x} = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}.$$

Vận dụng 1 Giải bài toán tình huống mở đầu về sóng âm kết hợp

Cho âm kết hợp $f(t) = f_1(t) + f_2(t) = 5\sin t + 5\cos t$. Hãy xác định biên độ âm $k$ và pha ban đầu $\varphi$ ($-\pi \le \varphi \le \pi$) khi viết $f(t) = k\sin(t + \varphi)$.

Xem lời giải Vận dụng 1

Ta có:

$$f(t) = 5\sin t + 5\cos t = 5(\sin t + \cos t).$$

Áp dụng kết quả đã chứng minh ở Ví dụ 2: $\sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right)$, ta được:

$$f(t) = 5\sqrt{2}\sin\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right).$$

So sánh với dạng $f(t) = k\sin(t + \varphi)$, ta kết luận:

Biên độ âm: $k = 5\sqrt{2}$.
Pha ban đầu: $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$ (thỏa mãn điều kiện $-\pi \le \varphi \le \pi$).

2 Công thức nhân đôi

HĐ2 Xây dựng công thức nhân đôi

Lấy $b = a$ trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: $\sin 2a; \cos 2a; \tan 2a$.

Xem lời giải HĐ2

• $\sin 2a = \sin(a + a) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a$.

• $\cos 2a = \cos(a + a) = \cos a\cos a - \sin a\sin a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$.

• $\tan 2a = \tan(a + a) = \dfrac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a\tan a} = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$.

Công thức nhân đôi:

Sin góc nhân đôi $$\sin 2a = 2\sin a\cos a$$

Cosin góc nhân đôi (3 dạng) $$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$$ $$= 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$$

Tang góc nhân đôi $$\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$$

Ví dụ 3 Áp dụng công thức nhân đôi

Cho $\cos a = -\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{\pi}{2} < a < \pi\right)$. Tính $\sin 2a$.

Xem lời giải Ví dụ 3

Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ (góc phần tư thứ II) nên $\sin a > 0$. Do đó:

$$\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

$$\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{4\sqrt{2}}{9}.$$

Luyện tập 2 Không dùng máy tính, tính $\cos\dfrac{\pi}{8}$

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính $\cos\dfrac{\pi}{8}$.

Xem lời giải Luyện tập 2

Từ công thức nhân đôi: $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \implies \cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$.

Áp dụng với $a = \dfrac{\pi}{8}$ (khi đó $2a = \dfrac{\pi}{4}$):

$$\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

Vì $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ (góc nhọn) nên $\cos\dfrac{\pi}{8} > 0$. Suy ra:

$$\cos\dfrac{\pi}{8} = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}.$$

Công thức hạ bậc từ $\cos 2a$

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

HĐ3 Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

a) Từ các công thức cộng $\cos(a + b)$ và $\cos(a - b)$, hãy tìm: $\cos a\cos b; \sin a\sin b$.
b) Từ các công thức cộng $\sin(a + b)$ và $\sin(a - b)$, hãy tìm: $\sin a\cos b$.

Xem lời giải HĐ3

a) Cộng vế với vế: $\cos(a - b) + \cos(a + b) = 2\cos a\cos b \implies \cos a\cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$.
Trừ vế với vế: $\cos(a - b) - \cos(a + b) = 2\sin a\sin b \implies \sin a\sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$.

b) Cộng vế với vế: $\sin(a - b) + \sin(a + b) = 2\sin a\cos b \implies \sin a\cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a - b) + \sin(a + b)]$.

Công thức biến đổi tích thành tổng:

Tích cos và cos $$\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$$

Tích sin và sin $$\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$$

Tích sin và cos $$\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a - b) + \sin(a + b)]$$

Ví dụ 4 Tính giá trị của biểu thức bằng công thức biến đổi tích thành tổng

Tính giá trị của các biểu thức: $$A = \cos\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12}; \qquad B = \cos 75^\circ\sin 15^\circ.$$

Xem lời giải Ví dụ 4

• Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho $A$:

$$A = \cos\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{7\pi}{12}\right) + \cos\left(\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{7\pi}{12}\right)\right]$$ $$= \dfrac{1}{2}\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\pi\right] = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{4}.$$

• Áp dụng cho $B$:

$$B = \sin 15^\circ\cos 75^\circ = \dfrac{1}{2}[\sin(15^\circ - 75^\circ) + \sin(15^\circ + 75^\circ)]$$ $$= \dfrac{1}{2}[\sin(-60^\circ) + \sin 90^\circ] = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}.$$

Luyện tập 3 Thực hành biến đổi tích thành tổng

Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức: $$A = \cos 75^\circ\cos 15^\circ; \qquad B = \sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12}.$$

Xem lời giải Luyện tập 3

• $A = \cos 75^\circ\cos 15^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos(75^\circ - 15^\circ) + \cos(75^\circ + 15^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 60^\circ + \cos 90^\circ] = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} + 0\right) = \dfrac{1}{4}$.

• $B = \sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1}{2}\left[\sin\left(\dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{7\pi}{12}\right) + \sin\left(\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{7\pi}{12}\right)\right] = \dfrac{1}{2}\left[\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \sin\pi\right] = \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2} + 0\right) = -\dfrac{1}{4}$.

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

HĐ4 Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u = a - b, v = a + b$ và viết các công thức nhận được.

Xem lời giải HĐ4

Từ hệ $\begin{cases} u = a - b \\ v = a + b \end{cases} \implies a = \dfrac{u + v}{2}$ và $b = \dfrac{v - u}{2}$.

Thay vào các công thức tích thành tổng, ta thu được các công thức biến đổi tổng các hàm lượng giác của $u$ và $v$ thành tích.

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Tổng hai cosin $$\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u - v}{2}$$

Hiệu hai cosin $$\cos u - \cos v = -2\sin\dfrac{u + v}{2}\sin\dfrac{u - v}{2}$$

Tổng hai sin $$\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u - v}{2}$$

Hiệu hai sin $$\sin u - \sin v = 2\cos\dfrac{u + v}{2}\sin\dfrac{u - v}{2}$$

💡 Khẩu quyết ghi nhớ: "Cos cộng cos bằng 2 cos cos; Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; Sin cộng sin bằng 2 sin cos; Sin trừ sin bằng 2 cos sin"

Ví dụ 5 Rút gọn biểu thức bằng công thức biến đổi tổng thành tích

Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức: $$A = \sin\dfrac{\pi}{9} - \sin\dfrac{4\pi}{9} + \sin\dfrac{7\pi}{9}.$$

Xem lời giải Ví dụ 5

Nhóm hai số hạng đầu và cuối để áp dụng công thức $\sin u + \sin v$:

$$A = \left(\sin\dfrac{\pi}{9} + \sin\dfrac{7\pi}{9}\right) - \sin\dfrac{4\pi}{9} = 2\sin\dfrac{\frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\frac{\pi}{9} - \frac{7\pi}{9}}{2} - \sin\dfrac{4\pi}{9}$$ $$= 2\sin\dfrac{4\pi}{9}\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) - \sin\dfrac{4\pi}{9} = 2\sin\dfrac{4\pi}{9} \cdot \dfrac{1}{2} - \sin\dfrac{4\pi}{9} = \sin\dfrac{4\pi}{9} - \sin\dfrac{4\pi}{9} = 0.$$

Luyện tập 4 Tính giá trị của biểu thức

Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức: $$B = \cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9} + \cos\dfrac{11\pi}{9}.$$

Xem lời giải Luyện tập 4

• Nhóm hai số hạng đầu tiên:

$$\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9} = 2\cos\dfrac{\frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9}}{2}\cos\dfrac{\frac{\pi}{9} - \frac{5\pi}{9}}{2} = 2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left(-\dfrac{2\pi}{9}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2}\cos\dfrac{2\pi}{9} = \cos\dfrac{2\pi}{9}.$$

• Xét số hạng thứ ba: $\cos\dfrac{11\pi}{9} = \cos\left(2\pi - \dfrac{7\pi}{9}\right) = \cos\dfrac{7\pi}{9} = \cos\left(\pi - \dfrac{2\pi}{9}\right) = -\cos\dfrac{2\pi}{9}$.

Do đó:

$$B = \cos\dfrac{2\pi}{9} + \left(-\cos\dfrac{2\pi}{9}\right) = 0.$$

Vận dụng 2 Mô hình hóa âm thanh bàn phím điện thoại cảm ứng

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp $f_1$ và tần số cao $f_2$ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm:

$$y = \sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t)$$

ở đó $t$ là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Hình 1.13: Tần số âm phím bấm

Xem lời giải Vận dụng 2

a) Nhìn vào Hình 1.13, phím 4 nằm ở hàng thứ hai (tần số thấp $f_1 = 770\text{ Hz}$) và cột thứ nhất (tần số cao $f_2 = 1209\text{ Hz}$).
Hàm số mô hình hoá âm thanh khi nhấn phím 4 là:

$$y = \sin(2\pi \cdot 770 t) + \sin(2\pi \cdot 1209 t) = \sin(1540\pi t) + \sin(2418\pi t).$$

b) Biến đổi tổng thành tích theo công thức $\sin u + \sin v = 2\sin\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u - v}{2}$:

$$y = \sin(2418\pi t) + \sin(1540\pi t) = 2\sin\left(\dfrac{2418\pi + 1540\pi}{2}t\right)\cos\left(\dfrac{2418\pi - 1540\pi}{2}t\right)$$ $$= 2\sin(1979\pi t)\cos(439\pi t).$$

Sử dụng $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$, hãy tính các giá trị lượng giác $\sin 15^\circ, \cos 15^\circ, \tan 15^\circ, \cot 15^\circ$. Bộ giá trị lượng giác nào dưới đây là đúng?

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức cộng đối với $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$:
• $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
• $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
• $\tan 15^\circ = \dfrac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{6 - 2} = \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.
• $\cot 15^\circ = \dfrac{1}{\tan 15^\circ} = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$.
Vậy đáp án đúng là A.

Tính $\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}\right)$, biết rằng $\sin a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ (góc phần tư thứ II) nên $\cos a < 0$.
- Do đó: $\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
- Áp dụng công thức cộng: $$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}\right) = \cos a\cos\dfrac{\pi}{6} - \sin a\sin\dfrac{\pi}{6}$$ $$= \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{18}}{6} - \dfrac{1}{2\sqrt{3}} = -\dfrac{3\sqrt{2}}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{6} = -\dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}.$$ Đáp án đúng là A.

Tính $\tan\left(a - \dfrac{\pi}{4}\right)$, biết rằng $\cos a = -\dfrac{1}{3}$ và $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Vì $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\sin a < 0$.
- $\sin a = -\sqrt{1 - \cos^2 a} = -\sqrt{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} = -\sqrt{\dfrac{8}{9}} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
- Suy ra: $\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$.
- Áp dụng công thức cộng cho tang: $$\tan\left(a - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\tan a - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan a\tan\frac{\pi}{4}} = \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2}} = \dfrac{(2\sqrt{2} - 1)^2}{(2\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{8 - 1} = \dfrac{9 - 4\sqrt{2}}{7}.$$ Đáp án đúng là A.

Tính $\sin 2a, \cos 2a, \tan 2a$, biết rằng $\sin a = \dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0 \implies \cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
- Áp dụng công thức nhân đôi: $$\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\dfrac{4\sqrt{2}}{9}.$$ $$\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}.$$ $$\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} = -\dfrac{4\sqrt{2}}{7}.$$ Đáp án đúng là A.

Tính $\sin 2a, \cos 2a, \tan 2a$, biết rằng $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4}$.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Bình phương hai vế của $\sin a + \cos a = \dfrac{1}{2}$: $$(\sin a + \cos a)^2 = \dfrac{1}{4} \iff \sin^2 a + \cos^2 a + 2\sin a\cos a = \dfrac{1}{4} \iff 1 + \sin 2a = \dfrac{1}{4} \implies \sin 2a = -\dfrac{3}{4}.$$ - Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \dfrac{3\pi}{4} \implies \pi < 2a < \dfrac{3\pi}{2}$ (thuộc góc phần tư thứ III), do đó $\cos 2a < 0$.
- $\cos 2a = -\sqrt{1 - \sin^2 2a} = -\sqrt{1 - \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = -\dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
- $\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}$.
Đáp án đúng là A.

Tính giá trị của biểu thức: $$A = \dfrac{\sin\dfrac{\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{10} + \sin\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{\pi}{15}}{\cos\dfrac{2\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{5} - \sin\dfrac{2\pi}{15}\sin\dfrac{\pi}{5}}.$$

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Áp dụng công thức cộng đối với tử số: $$\text{Tử số} = \sin\dfrac{\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{10} + \cos\dfrac{\pi}{15}\sin\dfrac{\pi}{10} = \sin\left(\dfrac{\pi}{15} + \dfrac{\pi}{10}\right) = \sin\left(\dfrac{2\pi + 3\pi}{30}\right) = \sin\dfrac{5\pi}{30} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}.$$ - Áp dụng công thức cộng đối với mẫu số: $$\text{Mẫu số} = \cos\dfrac{2\pi}{15}\cos\dfrac{\pi}{5} - \sin\dfrac{2\pi}{15}\sin\dfrac{\pi}{5} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{\pi}{5}\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi + 3\pi}{15}\right) = \cos\dfrac{5\pi}{15} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}.$$ - Vậy giá trị biểu thức là: $$A = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1.$$ Đáp án đúng là A.

Tính giá trị của biểu thức: $$B = \sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}.$$

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
Áp dụng liên tiếp công thức góc nhân đôi $\sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x$:
• $\sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32} = \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{32}\right) = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{16}$.
• $B = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{16}\right)\right]\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1}{4}\sin\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{\pi}{8}$.
• $B = \dfrac{1}{4} \cdot \left[\dfrac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \dfrac{\pi}{8}\right)\right] = \dfrac{1}{8}\sin\dfrac{\pi}{4}$.
Vì $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên: $$B = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{16}.$$ Đáp án đúng là A.

Chứng minh đẳng thức lượng giác: $$\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a.$$ Phương pháp biến đổi nào dưới đây là chính xác và ngắn gọn nhất?

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $$\sin(a + b)\sin(a - b) = \dfrac{1}{2}[\cos((a - b) - (a + b)) - \cos((a - b) + (a + b))] = \dfrac{1}{2}[\cos(-2b) - \cos(2a)].$$ Vì hàm cosin là hàm chẵn nên $\cos(-2b) = \cos 2b$. Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$= \dfrac{1}{2}[(1 - 2\sin^2 b) - (1 - 2\sin^2 a)] = \dfrac{1}{2}[2\sin^2 a - 2\sin^2 b] = \sin^2 a - \sin^2 b.$$ Tiếp tục thay $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ và $\sin^2 b = 1 - \cos^2 b$: $$= (1 - \cos^2 a) - (1 - \cos^2 b) = \cos^2 b - \cos^2 a.$$ Đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Đáp án đúng là A.

Cho tam giác $ABC$. Sử dụng công thức diện tích $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ và định lí sin $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$, hãy chứng minh diện tích tam giác $ABC$ cho bởi công thức: $$S = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}.$$

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \implies b = \dfrac{a\sin B}{\sin A}.$$ - Thay biểu thức của $b$ vào công thức tính diện tích tam giác $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$: $$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\dfrac{a\sin B}{\sin A}\right) \cdot \sin C = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}.$$ Đẳng thức đã được chứng minh. Đáp án đúng là A.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^\circ, \widehat{C} = 45^\circ$ và $a = BC = 12\text{ cm}$. Sử dụng kết quả câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, diện tích $S$ của tam giác $ABC$ là:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Tính góc $A$: $\widehat{A} = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 60^\circ \implies \sin A = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Tính tích $\sin B\sin C = \sin 75^\circ\sin 45^\circ$ bằng công thức biến đổi tích thành tổng: $$\sin 75^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos(75^\circ - 45^\circ) - \cos(75^\circ + 45^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 30^\circ - \cos 120^\circ]$$ $$= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right] = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{4}.$$ - Thay vào công thức diện tích ở câu a với $a = 12\text{ cm}$: $$S = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} = \dfrac{12^2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{144 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{4}}{\sqrt{3}} = \dfrac{36(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}} = 12(3 + \sqrt{3}) = 36 + 12\sqrt{3}\text{ (cm}^2\text{)} \approx 56,78\text{ cm}^2.$$ Đáp án đúng là A.

Trong Vật lí, xét hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình: $$x_1(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right)\text{ (cm)}; \qquad x_2(t) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}.$$ Tìm phương trình dao động tổng hợp $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ và xác định biên độ $A$ cùng pha ban đầu $\varphi$ của dao động tổng hợp này.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:
- Ta có: $$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = 2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}\right)\right].$$ - Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\cos u + \cos v = 2\cos\dfrac{u + v}{2}\cos\dfrac{u - v}{2}$ với $u = \dfrac{\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{6}$ và $v = \dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{3}$:
• $\dfrac{u + v}{2} = \dfrac{\frac{2\pi}{3}t + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}$.
• $\dfrac{u - v}{2} = \dfrac{\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2} = \dfrac{\frac{\pi}{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}$.
- Do đó: $$x(t) = 2 \cdot 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right)\cos\dfrac{\pi}{4} = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t - \dfrac{\pi}{12}\right)\text{ (cm)}.$$ - Kết luận: • Biên độ dao động tổng hợp: $A = 2\sqrt{2}\text{ cm}$.
• Pha ban đầu: $\varphi = -\dfrac{\pi}{12}\text{ rad}$ (thỏa mãn $-\pi \le \varphi \le \pi$).
Đáp án đúng là A.