Toàn bộ lý thuyết Bài 11 theo SGK Toán 10 Kết nối tri thức: Góc giữa hai vectơ, tích vô hướng, biểu thức toạ độ, các tính chất và công trong Vật lí.
Toán học cung cấp ngôn ngữ và công cụ cho nhiều ngành khoa học. Trong các bài học trước, ta đã dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng lực, vận tốc và dùng phép toán vectơ để tính hợp lực và tổng hợp vận tốc. Bài học này tiếp tục xây dựng khái niệm tích vô hướng giữa hai vectơ – đối tượng toán học còn được dùng để định nghĩa khái niệm công sinh bởi một lực trong Vật lí.
Trong Hình 4.39, số đo góc \(BAC\) cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) (H.4.40). Hãy tìm số đo các góc giữa \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{DA}\) và \(\overrightarrow{DB}\).
Lời giải:
• Góc giữa \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BD}\) chính là góc \(\widehat{CBD}\). Theo hình vẽ, số đo góc này bằng \(30^\circ\).
• Quan sát tam giác \(BCD\), góc ngoài tại đỉnh \(C\) là góc \(\widehat{ACB} = 80^\circ\). Do đó:
\[\widehat{BDC} = \widehat{ACB} - \widehat{CBD} = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ\]
Vì điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(D\) nên tia \(DC\) trùng với tia \(DA\), suy ra góc \(\widehat{BDA} = \widehat{BDC} = 50^\circ\).
Vậy số đo góc giữa \(\overrightarrow{DA}\) và \(\overrightarrow{DB}\) là \(50^\circ\).
Cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) khác \(\vec{0}\). Từ một điểm \(A\) tuỳ ý, vẽ các vectơ \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) và \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\) (H.4.40). Khi đó, số đo của góc \(BAC\) được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) hay đơn giản là góc giữa hai vectơ \(\vec{u}, \vec{v}\), kí hiệu là \((\vec{u}, \vec{v})\).
Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng \(0^\circ\), bằng \(180^\circ\)?
• Góc giữa hai vectơ bằng \(0^\circ\) khi và chỉ khi hai vectơ đó cùng hướng.
• Góc giữa hai vectơ bằng \(180^\circ\) khi và chỉ khi hai vectơ đó ngược hướng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(\widehat{B} = 30^\circ\). Tính \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\), \((\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})\), \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})\).
Giải (H.4.41):
Ta có: \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 90^\circ\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(\widehat{B} = 30^\circ\) nên \(\widehat{C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Do đó \((\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = \widehat{ACB} = 60^\circ\).
Vẽ tia \(BD\) sao cho \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB}\) (kéo dài cạnh \(AB\) về phía \(B\)). Khi đó:
\[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{DBC} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.\]
Cho tam giác đều \(ABC\). Tính \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})\).
Lời giải:
Vì tam giác \(ABC\) đều nên góc trong \(\widehat{ABC} = 60^\circ\).
Vẽ tia \(BD\) sao cho \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB}\) (tia \(BD\) là phần kéo dài của đoạn thẳng \(AB\) qua điểm \(B\)).
Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là:
\[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{DBC} = 180^\circ - \widehat{ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.\]
Trong Vật lí, nếu lực \(\vec{F}\) không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ \(M\) tới \(N\), thì công \(A\) của lực \(\vec{F}\) được tính theo công thức:
trong đó:
Toán học gọi giá trị \(A\) (không kể đơn vị đo) trong biểu thức nói trên là tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{F}\) và \(\overrightarrow{MN}\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là một số, kí hiệu \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), được xác định bởi công thức sau:
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không \(\vec{u}, \vec{v}\) là một số dương? Là một số âm?
Vì \(|\vec{u}| > 0\) và \(|\vec{v}| > 0\) nên dấu của tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) cùng dấu với \(\cos(\vec{u}, \vec{v})\):
• Tích vô hướng là một số dương (\(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\)) khi \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) > 0 \iff 0^\circ \le (\vec{u}, \vec{v}) < 90^\circ\) (tức là góc giữa hai vectơ là góc nhọn hoặc bằng \(0^\circ\)).
• Tích vô hướng là một số âm (\(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\)) khi \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) < 0 \iff 90^\circ < (\vec{u}, \vec{v}) \le 180^\circ\) (tức là góc giữa hai vectơ là góc tù hoặc bằng \(180^\circ\)).
• Đặc biệt, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff (\vec{u}, \vec{v}) = 90^\circ\) (hai vectơ vuông góc).
Khi nào thì \((\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \vec{u}^2 \cdot \vec{v}^2\)?
Theo công thức tích vô hướng:
\[(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \big(|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})\big)^2 = |\vec{u}|^2 \cdot |\vec{v}|^2 \cdot \cos^2(\vec{u}, \vec{v}) = \vec{u}^2 \cdot \vec{v}^2 \cdot \cos^2(\vec{u}, \vec{v})\]
Do đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\[\cos^2(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \iff \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \pm 1 \iff (\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ \text{ hoặc } (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ\]
Điều này có nghĩa là hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng phương (hoặc ít nhất một trong hai vectơ là \(\vec{0}\)).
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tính các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}\).
Giải:
Vì \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = 90^\circ\) nên \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\).
Hình vuông có cạnh bằng \(a\) nên có đường chéo bằng \(a\sqrt{2}\).
Mặt khác, \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 45^\circ\), \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 135^\circ\), do đó:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2;\]
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = AB \cdot BD \cdot \cos 135^\circ = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -a^2.\]
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a, CA = b, AB = c\). Hãy tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) theo \(a, b, c\).
Lời giải:
Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \implies bc \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}\]
Mặt khác, theo định nghĩa tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = c \cdot b \cdot \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}.\]
Cho hai vectơ cùng phương \(\vec{u} = (x; y)\) và \(\vec{v} = (kx; ky)\). Hãy kiểm tra công thức \(\vec{u} \cdot \vec{v} = k(x^2 + y^2)\) theo từng trường hợp sau:
a) \(\vec{u} = \vec{0}\);
b) \(\vec{u} \ne \vec{0}\) và \(k \ge 0\);
c) \(\vec{u} \ne \vec{0}\) và \(k < 0\).
Lời giải:
a) Nếu \(\vec{u} = \vec{0}\) thì \(x = 0, y = 0\). Khi đó \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) và \(k(x^2 + y^2) = k(0^2 + 0^2) = 0\). Công thức đúng.
b) Nếu \(\vec{u} \ne \vec{0}\) và \(k \ge 0\): Hai vectơ cùng hướng nên \((\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ \implies \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1\). Ta có:
\[|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} = |k|\sqrt{x^2 + y^2} = k\sqrt{x^2 + y^2}\]
\[\implies \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos 0^\circ = \sqrt{x^2 + y^2} \cdot k\sqrt{x^2 + y^2} = k(x^2 + y^2).\]
c) Nếu \(\vec{u} \ne \vec{0}\) và \(k < 0\): Hai vectơ ngược hướng nên \((\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ \implies \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1\). Ta có:
\[|\vec{v}| = |k|\sqrt{x^2 + y^2} = -k\sqrt{x^2 + y^2}\]
\[\implies \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos 180^\circ = \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \big(-k\sqrt{x^2 + y^2}\big) \cdot (-1) = k(x^2 + y^2).\]
Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có \(\vec{u} \cdot \vec{v} = k(x^2 + y^2)\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{u} = (x; y)\) và \(\vec{v} = (x'; y')\).
a) Xác định toạ độ của các điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(\overrightarrow{OA} = \vec{u}, \overrightarrow{OB} = \vec{v}\).
b) Tính \(AB^2, OA^2, OB^2\) theo toạ độ của \(A\) và \(B\).
c) Tính \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\) theo toạ độ của \(A, B\).
Lời giải:
a) Vì \(\overrightarrow{OA} = \vec{u} = (x; y)\) và \(\overrightarrow{OB} = \vec{v} = (x'; y')\) nên toạ độ các điểm là \(A(x; y)\) và \(B(x'; y')\).
b) Theo công thức khoảng cách:
\[OA^2 = x^2 + y^2; \quad OB^2 = x'^2 + y'^2; \quad AB^2 = (x' - x)^2 + (y' - y)^2\]
c) Khai triển \(AB^2 = x'^2 - 2xx' + x^2 + y'^2 - 2yy' + y^2\). Áp dụng gợi ý định lí côsin:
\[\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2} = \frac{(x^2+y^2) + (x'^2+y'^2) - \big[x^2+y^2+x'^2+y'^2 - 2(xx' + yy')\big]}{2} = xx' + yy'.\]
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u} = (x; y)\) và \(\vec{v} = (x'; y')\) được tính theo công thức:
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:
a) \(\vec{u} = (2; -3)\) và \(\vec{v} = (5; 3)\);
b) Hai vectơ đơn vị \(\vec{i}\) và \(\vec{j}\) tương ứng của các trục \(Ox, Oy\).
Giải:
a) Ta có: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 = 10 - 9 = 1\).
b) Vì \(\vec{i} = (1; 0)\) và \(\vec{j} = (0; 1)\) nên \(\vec{i} \cdot \vec{j} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0\).
Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ \(\vec{u} = (0; -5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)\).
Lời giải:
Ta có: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot \sqrt{3} + (-5) \cdot 1 = -5\).
Độ dài của các vectơ là:
\[|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5; \quad |\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.\]
Suy ra:
\[\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{-5}{5 \cdot 2} = -\frac{1}{2}.\]
Do đó \((\vec{u}, \vec{v}) = 120^\circ\).
Cho ba vectơ \(\vec{u} = (x_1; y_1), \vec{v} = (x_2; y_2), \vec{w} = (x_3; y_3)\).
a) Tính \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})\), \(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) theo toạ độ của các vectơ \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\).
b) So sánh \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})\) và \(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\).
c) So sánh \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) và \(\vec{v} \cdot \vec{u}\).
Lời giải:
a) Ta có \(\vec{v} + \vec{w} = (x_2 + x_3; y_2 + y_3)\). Suy ra:
\[\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = x_1(x_2 + x_3) + y_1(y_2 + y_3) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + y_1 y_2 + y_1 y_3.\]
Mặt khác: \(\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} = (x_1 x_2 + y_1 y_2) + (x_1 x_3 + y_1 y_3) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + y_1 y_2 + y_1 y_3\).
b) Từ câu a ta thấy: \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\).
c) Ta có \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\) và \(\vec{v} \cdot \vec{u} = x_2 x_1 + y_2 y_1 = x_1 x_2 + y_1 y_2\). Do đó \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\).
Với ba vectơ \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) bất kì và mọi số thực \(k\), ta có:
Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{B} = 60^\circ\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Trên các cạnh \(AB, AC\) lần lượt lấy các điểm \(P, Q\). Chứng minh rằng \(\widehat{PMQ} = 90^\circ\) khi và chỉ khi \(BP + \sqrt{3} CQ = BC\).
Giải (H.4.44):
Đặt \(MB = MC = a\).
Ta có \(\widehat{PMQ} = 90^\circ \iff \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ} = 0\)
\[\iff (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BP}) \cdot (\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CQ}) = 0\]
\[\iff \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CQ} + \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} = 0. \quad (1)\]
Mặt khác,
• \(\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MB \cdot MC \cdot \cos 180^\circ = -a^2\);
• \(\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CQ} = MB \cdot CQ \cdot \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a \cdot CQ\);
• \(\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{MC} = BP \cdot MC \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} a \cdot BP\);
• \(\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{CQ} = BP \cdot CQ \cdot \cos 90^\circ = 0\) (vì \(AB \perp AC\)).
Do đó:
\[(1) \iff -a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot CQ + \frac{1}{2} a \cdot BP = 0\]
\[\iff \frac{\sqrt{3}}{2} CQ + \frac{1}{2} BP - a = 0 \iff \sqrt{3} CQ + BP = 2a \iff \sqrt{3} CQ + BP = BC.\]
Ta có điều phải chứng minh.
Cho tam giác \(ABC\) với \(A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8)\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\) và \(\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = 0\).
b) Tìm toạ độ của \(H\).
c) Giải tam giác \(ABC\).
Lời giải:
a) Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AH \perp BC \implies \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\) và \(BH \perp CA \implies \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = 0\).
b) Gọi toạ độ của \(H\) là \((x; y)\). Ta có:
\[\overrightarrow{AH} = (x + 1; y - 2); \quad \overrightarrow{BC} = (8 - 8; 8 - (-1)) = (0; 9)\]
\[\overrightarrow{BH} = (x - 8; y + 1); \quad \overrightarrow{CA} = (-1 - 8; 2 - 8) = (-9; -6)\]
Theo câu a, ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (x + 1) \cdot 0 + (y - 2) \cdot 9 = 0 \\ (x - 8) \cdot (-9) + (y + 1) \cdot (-6) = 0 \end{cases}\]
\[\iff \begin{cases} 9(y - 2) = 0 \\ -9x + 72 - 6y - 6 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 2 \\ -9x - 6(2) + 66 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}\]
Vậy toạ độ trực tâm là \(H(6; 2)\).
c) Giải tam giác \(ABC\):
• Độ dài các cạnh:
\[AB = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\]
\[BC = \sqrt{(8 - 8)^2 + (8 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9\]
\[CA = \sqrt{(-1 - 8)^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\]
• Số đo các góc (áp dụng định lí côsin):
\[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 AB \cdot AC} = \frac{90 + 117 - 81}{2 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{13}} = \frac{126}{18\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}} \approx 0{,}6139 \implies \widehat{A} \approx 52^\circ 8'\]
\[\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 AB \cdot BC} = \frac{90 + 81 - 117}{2 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 9} = \frac{54}{54\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}3162 \implies \widehat{B} \approx 71^\circ 34'\]
\[\widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) \approx 180^\circ - (52^\circ 8' + 71^\circ 34') = 56^\circ 18'.\]
Một lực \(\vec{F}\) không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ \(A\) đến \(B\). Lực \(\vec{F}\) được phân tích thành hai lực thành phần là \(\vec{F}_1\) và \(\vec{F}_2\) (\(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\)).
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực \(\vec{F}\) (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực \(\vec{F}_1\) và \(\vec{F}_2\).
b) Giả sử các lực thành phần \(\vec{F}_1, \vec{F}_2\) tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực \(\vec{F}\) và lực \(\vec{F}_1\).
Lời giải:
a) Công sinh bởi lực \(\vec{F}\) khi vật dịch chuyển từ \(A\) đến \(B\) là:
\[A = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}\]
Vì \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\), áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng vectơ, ta có:
\[A = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \cdot \overrightarrow{AB} = \vec{F}_1 \cdot \overrightarrow{AB} + \vec{F}_2 \cdot \overrightarrow{AB} = A_1 + A_2\]
trong đó \(A_1 = \vec{F}_1 \cdot \overrightarrow{AB}\) và \(A_2 = \vec{F}_2 \cdot \overrightarrow{AB}\) lần lượt là công sinh bởi lực \(\vec{F}_1\) và \(\vec{F}_2\). Vậy công sinh bởi lực \(\vec{F}\) bằng tổng công sinh bởi các lực thành phần.
b) Vì lực thành phần \(\vec{F}_2\) vuông góc với phương chuyển động (\(\vec{F}_2 \perp \overrightarrow{AB}\)) nên:
\[A_2 = \vec{F}_2 \cdot \overrightarrow{AB} = 0\]
Suy ra \(A = A_1 + 0 = A_1\). Nghĩa là công sinh bởi lực \(\vec{F}\) đúng bằng công sinh bởi lực thành phần \(\vec{F}_1\) có phương cùng phương chuyển động.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0\]
Vì \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) nên hai vectơ vuông góc với nhau, tức là \((\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ\).
b) Ta có:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6 + 4 = 10\]
\[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}; \quad |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
Suy ra:
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies (\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ.\]
c) Ta có:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - \sqrt{2} = -3\sqrt{2}\]
\[|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}; \quad |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}\]
Suy ra:
\[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1 \implies (\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ.\]
Vậy kết quả các câu là: a) \(90^\circ\); b) \(45^\circ\); c) \(180^\circ\).
Lời giải chi tiết:
Theo công thức tích vô hướng:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})\]
• Nếu có ít nhất một trong hai vectơ là \(\vec{0}\), thì hai vế của cả hai đẳng thức a) và b) đều bằng \(0\), do đó đẳng thức luôn đúng.
• Nếu cả hai vectơ đều khác vectơ \(\vec{0}\) (tức \(|\vec{u}| > 0, |\vec{v}| > 0\)):
a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \iff \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \iff (\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng hướng.
b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \iff \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1 \iff (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) ngược hướng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có toạ độ của hai vectơ:
\[\overrightarrow{AM} = (t - 1; 0 - 2) = (t - 1; -2)\]
\[\overrightarrow{BM} = (t - (-4); 0 - 3) = (t + 4; -3)\]
Tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t - 1)(t + 4) + (-2)(-3) = (t^2 + 3t - 4) + 6 = t^2 + 3t + 2.\]
b) Ta có tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) khi và chỉ khi:
\[\widehat{AMB} = 90^\circ \iff \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BM} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0\]
\[\iff t^2 + 3t + 2 = 0 \iff (t + 1)(t + 2) = 0 \iff \left[\begin{aligned} t &= -1 \\ t &= -2 \end{aligned}\right.\]
Vậy có hai điểm thoả mãn là \(M_1(-1; 0)\) và \(M_2(-2; 0)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giải tam giác \(ABC\):
• Toạ độ các vectơ cạnh:
\[\overrightarrow{AB} = (2 - (-4); 4 - 1) = (6; 3) \implies AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]
\[\overrightarrow{AC} = (2 - (-4); -2 - 1) = (6; -3) \implies AC = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]
\[\overrightarrow{BC} = (2 - 2; -2 - 4) = (0; -6) \implies BC = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6\]
Vì \(AB = AC = 3\sqrt{5}\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
• Tính các góc:
\[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 AB \cdot AC} = \frac{45 + 45 - 36}{2 \cdot 45} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \implies \widehat{A} \approx 53^\circ 8'\]
\[\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} \approx \frac{180^\circ - 53^\circ 8'}{2} = 63^\circ 26'.\]
b) Tìm toạ độ trực tâm \(H\):
Gọi \(H(x; y)\). Ta có:
\[\overrightarrow{AH} = (x + 4; y - 1); \quad \overrightarrow{BC} = (0; -6)\]
\[\overrightarrow{BH} = (x - 2; y - 4); \quad \overrightarrow{AC} = (6; -3)\]
Vì \(H\) là trực tâm nên:
\[\begin{cases} \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (x + 4) \cdot 0 + (y - 1) \cdot (-6) = 0 \\ (x - 2) \cdot 6 + (y - 4) \cdot (-3) = 0 \end{cases}\]
\[\iff \begin{cases} -6(y - 1) = 0 \\ 6x - 12 - 3y + 12 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 1 \\ 6x - 3(1) = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases}\]
Vậy trực tâm tam giác là \(H\left(\dfrac{1}{2}; 1\right)\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích tam giác \(ABC\) được tính theo công thức:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A\]
Vì \(0^\circ < \widehat{A} < 180^\circ\) nên \(\sin A > 0\), do đó:
\[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\]
Thay vào công thức diện tích, ta có:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sqrt{1 - \cos^2 A} = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 \cdot AC^2 (1 - \cos^2 A)} = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 \cdot AC^2 - AB^2 \cdot AC^2 \cos^2 A}\]
Mặt khác, theo định nghĩa tích vô hướng:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A \implies (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = AB^2 \cdot AC^2 \cos^2 A\]
Thay kết quả này vào biểu thức diện tích, ta được:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 \cdot AC^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}.\]
Ta có điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Với mọi điểm \(M\), ta xen điểm \(G\) vào các vectơ:
\[\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\]
\[\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\]
\[\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\]
Sử dụng hằng đẳng thức bình phương vô hướng của vectơ:
\[MA^2 = \overrightarrow{MA}^2 = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 = MG^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GA} + GA^2\]
\[MB^2 = \overrightarrow{MB}^2 = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2 = MG^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GB} + GB^2\]
\[MC^2 = \overrightarrow{MC}^2 = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})^2 = MG^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{GC} + GC^2\]
Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên, ta được:
\[MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})\]
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).
Suy ra \(2\overrightarrow{MG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 2\overrightarrow{MG} \cdot \vec{0} = 0\).
Do đó:
\[MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2.\]
Ta có điều phải chứng minh.