Bài 17: Phương trình mặt cầu trong không gian
Toàn bộ lý thuyết trọng tâm, phương trình chính tắc và tổng quát của mặt cầu, ứng dụng thực tiễn toạ độ địa lí Trái Đất, vệ tinh GPS và lời giải chi tiết tất cả các bài tập 5.25 - 5.30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
THUẬT NGỮ: Phương trình mặt cầu; Tâm và bán kính của mặt cầu.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Nhận biết phương trình mặt cầu.
• Xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình.
• Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
• Vận dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn (khoảng cách trên bề mặt Trái Đất, định vị GPS vệ tinh).
Tình huống mở đầu:
Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí $10^\circ\text{N}, 15^\circ\text{E}$ đến vị trí $80^\circ\text{N}, 70^\circ\text{E}$ ta sẽ được khoảng cách $8\,271{,}74\text{ km}$ (Hình 5.40).
Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?
(Lời giải chi tiết bài toán ứng dụng thực tiễn toàn cầu này sẽ được giải thích qua mô hình toạ độ mặt cầu trong Mục 2).
ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CỦA MẶT CẦU
Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ ($R > 0$) là tập hợp các điểm trong không gian cách $I$ một khoảng bằng $R$. Kí hiệu là $S(I; R)$.
• Một điểm $M$ được gọi là nằm trong mặt cầu nếu $IM < R$.
• Một điểm $M$ được gọi là nằm ngoài mặt cầu nếu $IM > R$.
Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là một đường kính của mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu ($2R$).
HĐ (Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính). Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ (Hình 5.41). Khi đó, một điểm $M(x; y; z)$ thuộc mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện gì?
Điểm $M(x; y; z) \in (S) \iff IM = R \iff IM^2 = R^2$.
Vì $IM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2}$ nên điều kiện cần và đủ là: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2.$$
PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA MẶT CẦU
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$
Chú ý:
• Điểm $M(x; y; z)$ nằm trong mặt cầu $(S) \iff (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 < R^2$.
• Điểm $M(x; y; z)$ nằm ngoài mặt cầu $(S) \iff (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 > R^2$.
Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 5$.
a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.
b) Hỏi gốc toạ độ $O(0; 0; 0)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$?
a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu $(S)$ dưới dạng: $$(x - 1)^2 + [y - (-3)]^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{5})^2.$$ Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; -3; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$.
b) Thay toạ độ gốc $O(0; 0; 0)$ vào vế trái phương trình $(S)$:
$$(0 - 1)^2 + (0 + 3)^2 + 0^2 = 1 + 9 + 0 = 10 > 5 = R^2.$$ Do đó khoảng cách $IO = \sqrt{10} > R = \sqrt{5}$. Vậy gốc toạ độ $O(0; 0; 0)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
Luyện tập 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình:
$$(x + 2)^2 + y^2 + \left(z + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}.$$
a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.
b) Hỏi điểm $M(2; 0; 1)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$?
a) Viết lại phương trình: $[x - (-2)]^2 + (y - 0)^2 + \left[z - \left(-\frac{1}{2}\right)\right]^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$.
Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(-2;\ 0;\ -\frac{1}{2}\right)$ và bán kính $R = \frac{3}{2}$.
b) Thay toạ độ $M(2; 0; 1)$ vào vế trái phương trình $(S)$:
$$(2 + 2)^2 + 0^2 + \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 4^2 + 0 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 16 + \frac{9}{4} = \frac{73}{4} > \frac{9}{4}.$$
Do đó điểm $M(2; 0; 1)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:
a) Tâm $I\left(\frac{3}{2};\ 0;\ -3\right)$, bán kính $R = \frac{9}{4}$.
b) Đường kính $AB$, với $A(1; 2; 1)$ và $B(3; 1; 5)$.
a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(\frac{3}{2};\ 0;\ -3\right)$ và bán kính $R = \frac{9}{4}$ có phương trình là: $$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + (y - 0)^2 + [z - (-3)]^2 = \left(\frac{9}{4}\right)^2 \iff \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = \frac{81}{16}.$$
b) Tâm của mặt cầu $(S)$ là trung điểm $J$ của đoạn thẳng $AB$: $$x_J = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_J = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}, \quad z_J = \frac{1 + 5}{2} = 3 \implies J\left(2;\ \frac{3}{2};\ 3\right).$$ Bán kính của mặt cầu là: $$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 1 + 16} = \frac{\sqrt{21}}{2}.$$ Do đó phương trình mặt cầu $(S)$ là: $$(x - 2)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + (z - 3)^2 = \frac{21}{4}.$$
Luyện tập 2. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính $R = 1$.
b) Đường kính $AB$, với $A(1; -1; 2), B(2; -3; -1)$.
a) Mặt cầu tâm $O(0; 0; 0)$ bán kính $R = 1$ có phương trình: $$x^2 + y^2 + z^2 = 1.$$
b) Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của $AB$: $$I = \left(\frac{1 + 2}{2};\ \frac{-1 - 3}{2};\ \frac{2 - 1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2};\ -2;\ \frac{1}{2}\right).$$ Bán kính mặt cầu là: $$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{1 + 4 + 9} = \frac{\sqrt{14}}{2}.$$ Phương trình mặt cầu $(S)$ là: $$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + (y + 2)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}.$$
Dạng khai triển của phương trình mặt cầu
Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0.$$ Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Ta nhóm các số hạng thành các bình phương hoàn chỉnh: $$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) - 1 - 4 - 9 - 2 = 0$$ $$\iff (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 = 4^2.$$ Vậy $(S)$ là một mặt cầu có tâm $I(1; -2; 3)$ và bán kính $R = 4$.
Luyện tập 3. Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x; y; z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình: $$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 12 = 0.$$ Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Biến đổi phương trình về dạng chính tắc: $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 - 4 - 9 - 12 = 0$$ $$\iff (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 25 = 5^2.$$ Vậy $(S)$ là một mặt cầu có tâm $I(2; -3; 0)$ và bán kính $R = 5$.
ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH KHAI TRIỂN LÀ MẶT CẦU
Với $a, b, c, d$ là các hằng số, phương trình: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$$ có thể viết lại thành $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d$ và là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi: $$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$$
Khi đó, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.
a) $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 3y - 8z + 100 = 0$;
b) $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 5y - 2z - \frac{3}{4} = 0$;
c) $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 6y - 9z + 10 = 0$.
a) Phương trình có $a = 1, b = -\frac{3}{2}, c = 4, d = 100$.
Ta có: $a^2 + b^2 + c^2 - d = 1 + \frac{9}{4} + 16 - 100 = \frac{77}{4} - 100 = -\frac{323}{4} < 0$.
Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.
b) Phương trình có $a = 2, b = -\frac{5}{2}, c = 1, d = -\frac{3}{4}$.
Ta có: $a^2 + b^2 + c^2 - d = 4 + \frac{25}{4} + 1 - \left(-\frac{3}{4}\right) = 5 + \frac{28}{4} = 5 + 7 = 12 > 0$.
Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm $I\left(2;\ -\frac{5}{2};\ 1\right)$ và bán kính $R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
c) Phương trình không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện số hạng $-2xy$.
Luyện tập 4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $$x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 5y + 6z + \frac{25}{4} = 0.$$ Xác định tâm và bán kính của $(S)$.
Phương trình tương ứng với: $a = -2, b = \frac{5}{2}, c = -3, d = \frac{25}{4}$.
Ta có: $$a^2 + b^2 + c^2 - d = (-2)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 + (-3)^2 - \frac{25}{4} = 4 + \frac{25}{4} + 9 - \frac{25}{4} = 13 > 0.$$
Vậy $(S)$ là phương trình mặt cầu có tâm $I\left(-2;\ \frac{5}{2};\ -3\right)$ và bán kính $R = \sqrt{13}$.
TOẠ ĐỘ ĐỊA LÍ VÀ TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN CỦA TRÁI ĐẤT
Trong mô hình toán học, bề mặt Trái Đất là mặt cầu với bán kính xấp xỉ $6\,371\text{ km}$ (theo science.nasa.gov/earth/facts/). Kinh tuyến gốc đi qua Đài Thiên văn Greenwich ở London. Xích đạo là đường tròn lớn vuông góc với trục Trái Đất.
• Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ là tâm Trái Đất, tia $Oz$ chứa điểm cực Bắc $N$, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông.
• Lấy $1\text{ đơn vị dài}$ trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6\,371\text{ km}$ trên thực tế. Khi đó, bề mặt Trái Đất có phương trình: $$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$
CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỔI TOẠ ĐỘ ĐỊA LÍ SANG TOẠ ĐỘ OXYZ
Một vị trí $P$ có vĩ độ $\alpha^\circ\text{N}$, kinh độ $\beta^\circ\text{E}$ ($0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 180$) có toạ độ trong hệ $Oxyz$ là: $$P(\cos\alpha^\circ \cos\beta^\circ;\ \cos\alpha^\circ \sin\beta^\circ;\ \sin\alpha^\circ)$$
Vị trí $Q$ có vĩ độ $\alpha^\circ\text{N}$, kinh độ $\beta^\circ\text{W}$ ($0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 180$) có toạ độ: $$Q(\cos\alpha^\circ \cos\beta^\circ;\ -\cos\alpha^\circ \sin\beta^\circ;\ \sin\alpha^\circ)$$
Ví dụ 5 (Khoảng cách giữa hai điểm trên bề mặt Trái Đất - Giải bài toán mở đầu).
Biết rằng nếu vị trí $M$ có vĩ độ và kinh độ tương ứng là $\alpha^\circ\text{N}, \beta^\circ\text{E}$ ($0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 90$) thì có toạ độ $M(\cos\alpha^\circ\cos\beta^\circ;\ \cos\alpha^\circ\sin\beta^\circ;\ \sin\alpha^\circ)$. Tính khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí $P: 10^\circ\text{N}, 15^\circ\text{E}$ đến vị trí $Q: 80^\circ\text{N}, 70^\circ\text{E}$.
Ta có toạ độ các điểm trên mặt cầu đơn vị ($R = 1$):
• $P(\cos 10^\circ \cos 15^\circ;\ \cos 10^\circ \sin 15^\circ;\ \sin 10^\circ)$,
• $Q(\cos 80^\circ \cos 70^\circ;\ \cos 80^\circ \sin 70^\circ;\ \sin 80^\circ)$.
Tính tích vô hướng của hai vectơ bán kính $\overrightarrow{OP}$ và $\overrightarrow{OQ}$:
$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = \cos 10^\circ \cos 15^\circ \cos 80^\circ \cos 70^\circ + \cos 10^\circ \sin 15^\circ \cos 80^\circ \sin 70^\circ + \sin 10^\circ \sin 80^\circ \approx 0{,}2691.$$
Vì $P, Q$ thuộc mặt cầu đơn vị nên $|\overrightarrow{OP}| = |\overrightarrow{OQ}| = 1$. Do đó: $$\cos\widehat{POQ} = \frac{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}| \cdot |\overrightarrow{OQ}|} \approx 0{,}2691 \implies \widehat{POQ} \approx 74{,}3893^\circ.$$
Đường tròn lớn tâm $O$ đi qua $P, Q$ có bán kính $R = 1$ và chu vi $C = 2\pi \approx 6{,}2832$.
Độ dài cung tròn nhỏ nối $P$ và $Q$ là: $$\text{độ dài cung } PQ \approx \frac{74{,}3893}{360} \cdot 6{,}2832 \approx 1{,}2983\text{ đơn vị toạ độ}.$$
Do $1\text{ đơn vị}$ tương ứng với $6\,371\text{ km}$, khoảng cách thực tế trên mặt đất giữa hai vị trí $P, Q$ là: $$d \approx 1{,}2983 \cdot 6\,371 = 8\,271{,}4693\text{ km} \approx 8\,271{,}74\text{ km}.$$ Con số này hoàn toàn khớp với kết quả đo thực tế của phần mềm Google Maps!
Luyện tập 5.
Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $A$ là giao điểm giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí $B: 45^\circ\text{N}, 30^\circ\text{E}$.
• Điểm $A$ là giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo ($0^\circ\text{N}, 0^\circ\text{E}$), có toạ độ: $$A(1;\ 0;\ 0) \implies \overrightarrow{OA} = (1;\ 0;\ 0).$$
• Điểm $B$ có toạ độ địa lí $45^\circ\text{N}, 30^\circ\text{E}$, có toạ độ không gian: $$\overrightarrow{OB} = (\cos 45^\circ \cos 30^\circ;\ \cos 45^\circ \sin 30^\circ;\ \sin 45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{4};\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$
Góc ở tâm $\widehat{AOB}$ thoả mãn: $$\cos\widehat{AOB} = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} = 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} + 0 + 0 = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0{,}61237 \implies \widehat{AOB} \approx 52{,}2388^\circ.$$
Độ dài cung tròn lớn $AB$ trên mặt cầu Trái Đất bán kính $R = 6\,371\text{ km}$ là: $$d = R \cdot \widehat{AOB}\text{ (radian)} = 6\,371 \cdot \left(52{,}2388^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\right) \approx 6\,371 \cdot 0{,}91174 \approx 5\,808{,}7\text{ km}.$$
Bài 5.25.
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$. Xác định tâm và bán kính của $(S)$.
Phương trình mặt cầu có dạng $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + [y - (-1)]^2 + (z - 0)^2 = 3^2$.
Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(\frac{1}{2};\ -1;\ 0\right)$ và bán kính $R = 3$.
Bài 5.26.
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2; 0; 5)$ và bán kính $R = 2$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(-2; 0; 5)$ bán kính $R = 2$ là: $$[x - (-2)]^2 + (y - 0)^2 + (z - 5)^2 = 2^2 \iff (x + 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 4.$$
Bài 5.27.
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0; 3; -1)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P): 3x + 2y - z = 0$.
Bán kính của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm $I(0; 3; -1)$ đến mặt phẳng $(P)$:
$$R = d(I, (P)) = \frac{|3(0) + 2(3) - (-1)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 + 1|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{2}.$$
Khi đó: $R^2 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là: $$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + [z - (-1)]^2 = \frac{7}{2} \iff x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = \frac{7}{2}.$$
Bài 5.28.
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 8z - 18 = 0$. Xác định tâm và bán kính của $(S)$.
Phương trình có các hệ số: $a = -1, b = 1, c = -4, d = -18$.
Ta có: $$a^2 + b^2 + c^2 - d = (-1)^2 + 1^2 + (-4)^2 - (-18) = 1 + 1 + 16 + 18 = 36 > 0.$$
Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1; 1; -4)$ và bán kính $R = \sqrt{36} = 6$.
Bài 5.29.
Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.
a) $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 5z + 30 = 0$;
b) $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z = 0$;
c) $x^3 + y^3 + z^3 - 2x + 6y - 9z - 10 = 0$;
d) $x^2 + y^2 + z^2 + 5 = 0$.
• a) Phương trình có $a = 1, b = 0, c = \frac{5}{2}, d = 30$.
Ta có: $a^2 + b^2 + c^2 - d = 1^2 + 0^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 30 = 1 + \frac{25}{4} - 30 = -\frac{91}{4} < 0$.
Do đó phương trình a không phải là phương trình mặt cầu.
• b) Phương trình có $a = 2, b = -1, c = 1, d = 0$.
Ta có: $a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 - 0 = 4 + 1 + 1 = 6 > 0$.
Vậy phương trình b là phương trình mặt cầu với tâm $I(2; -1; 1)$ và bán kính $R = \sqrt{6}$.
• c) Chứa các luỹ thừa bậc ba $x^3, y^3, z^3$ nên không phải là phương trình mặt cầu.
• d) Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = -5$ vô nghiệm vì vế trái $\ge 0$ còn vế phải âm, nên không phải là phương trình mặt cầu.
Bài 5.30 (Vùng phủ sóng thiết bị phát sóng).
Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(2; 0; 0)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng $1$. Hỏi vị trí $M(2; 1; 1)$ có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Vùng phủ sóng của thiết bị là khối cầu tâm $A(2; 0; 0)$ bán kính $R = 1$, gồm các điểm $M$ thoả mãn $AM \le 1$.
Khoảng cách từ vị trí phát sóng $A$ đến điểm $M(2; 1; 1)$ là: $$AM = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}414.$$
Vì $AM = \sqrt{2} > R = 1$ nên điểm $M$ nằm ngoài vùng phủ sóng.
Kết luận: Vị trí $M(2; 1; 1)$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
Em có biết? Toán học và Hệ thống định vị toàn cầu GPS
Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) hoạt động bằng cách truyền tín hiệu từ mạng lưới các vệ tinh bay quanh Trái Đất (độ cao khoảng $20\,200\text{ km}$) đến máy thu GPS trên mặt đất. Bộ thu GPS đo thời gian truyền tín hiệu và tính ra khoảng cách từ thiết bị đến từng vệ tinh.
Về mặt toán học, khoảng cách từ thiết bị đến vệ tinh thứ $i$ xác định một mặt cầu có tâm là toạ độ của vệ tinh đó. Vị trí chính xác của thiết bị trên Trái Đất chính là giao điểm của các mặt cầu này!
Giả sử tại một thời điểm, thiết bị GPS xác định được khoảng cách tới ba vệ tinh $A, B, C$ tương ứng là $\sqrt{5}, \sqrt{2}, 2$.
Toạ độ ba vệ tinh là $A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C\left(0; \frac{11}{4}; \frac{\sqrt{7}}{4}\right)$.
Thiết bị ở vị trí $P(x; y; z)$ thuộc bề mặt Trái Đất ($x^2 + y^2 + z^2 = 1$). Ta có hệ phương trình mặt cầu:
1. $PA = \sqrt{5} \implies (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 5 \iff (x^2 + y^2 + z^2) - 4x + 4 = 5 \implies 1 - 4x + 4 = 5 \implies 4x = 0 \iff x = 0$.
2. $PB = \sqrt{2} \implies x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 2 \implies 1 - 4y + 4 = 2 \implies 4y = 3 \iff y = \frac{3}{4}$.
3. Thay $x = 0, y = \frac{3}{4}$ vào phương trình Trái Đất $x^2 + y^2 + z^2 = 1$: $$0^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + z^2 = 1 \iff z^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies z = \frac{\sqrt{7}}{4} \quad (\text{vì kiểm tra điều kiện } PC = 2).$$
Vậy vị trí của thiết bị GPS là $P\left(0;\ \frac{3}{4};\ \frac{\sqrt{7}}{4}\right)$.
Quy đổi ra toạ độ địa lí:
• $\sin\alpha^\circ = z = \frac{\sqrt{7}}{4} \implies \alpha^\circ \approx 41{,}4096^\circ\text{N}$ (Vĩ độ Bắc).
• $\cos\alpha^\circ \cos\beta^\circ = x = 0 \implies \cos\beta^\circ = 0 \implies \beta^\circ = 90^\circ\text{E}$ (Kinh độ Đông).
Toạ độ GPS của thiết bị: xấp xỉ $41{,}4096^\circ\text{N},\ 90^\circ\text{E}$.