Lý thuyết: Công thức tính góc trong không gian Oxyz
THUẬT NGỮ: Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
• Vận dụng kiến thức về góc vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
Tình huống mở đầu:
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (Hình 5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $7\text{ m}, 6\text{ m}, 5\text{ m}$. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài $4\text{ m}$.
Hỏi mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?
(Lời giải chi tiết bài toán thực tế này sẽ được giải quyết trọn vẹn trong phần Vận dụng bằng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng).
HĐ1 (Tìm mối quan hệ của góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương). Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ tương ứng có các vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c), \vec{u}' = (a'; b'; c')$ (Hình 5.34).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $(\Delta, \Delta')$ và $(\vec{u}, \vec{u}')$.
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\cos(\Delta, \Delta')$ và $|\cos(\vec{u}, \vec{u}')|$?
a) Theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong hình học không gian, góc $(\Delta, \Delta')$ là góc nhọn hoặc góc vuông ($0^\circ \le (\Delta, \Delta') \le 90^\circ$). Do đó:
• Nếu $(\vec{u}, \vec{u}') \le 90^\circ$ thì $(\Delta, \Delta') = (\vec{u}, \vec{u}')$.
• Nếu $(\vec{u}, \vec{u}') > 90^\circ$ thì $(\Delta, \Delta') = 180^\circ - (\vec{u}, \vec{u}')$.
b) Vì $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ nên trong mọi trường hợp ta luôn có: $$\cos(\Delta, \Delta') = |\cos(\vec{u}, \vec{u}')|.$$
CÔNG THỨC TÍNH CÔSIN GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c), \vec{u}' = (a'; b'; c')$. Khi đó: $$\cos(\Delta, \Delta') = |\cos(\vec{u}, \vec{u}')| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{u}'|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{u}'|} = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$$
Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng: $$\Delta: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta': \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = -2 + 2s \\ z = 4 + s \end{cases}$$
Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ tương ứng có các vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{u}' = (2; 2; 1)$.
Khi đó: $$\cos(\Delta, \Delta') = |\cos(\vec{u}, \vec{u}')| = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$
Suy ra: $(\Delta, \Delta') \approx 19{,}5^\circ$.
Luyện tập 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và đường thẳng $\Delta: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-2}$.
• Trục $Oz$ có vectơ chỉ phương là $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
• Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 2; -2)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: $$\cos(Oz, \Delta) = \frac{|\vec{k} \cdot \vec{u}|}{|\vec{k}| \cdot |\vec{u}|} = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2|}{1 \cdot \sqrt{9}} = \frac{2}{3}.$$
Suy ra: $(Oz, \Delta) = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48{,}2^\circ$.
HĐ2 (Tìm mối quan hệ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến tương ứng). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Xét $\vec{u} = (a; b; c)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\vec{n} = (A; B; C)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ (Hình 5.35).
a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $(\Delta, (P))$ và $(\Delta, \Delta')$ (với giá $\Delta'$ của $\vec{n}$).
b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\sin(\Delta, (P))$ và $|\cos(\vec{u}, \vec{n})|$?
a) Gọi $\Delta'$ là đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{n}$ (tức $\Delta' \perp (P)$). Trong tam giác vuông tạo bởi đường thẳng $\Delta$, hình chiếu của $\Delta$ trên $(P)$ và đường thẳng vuông góc $\Delta'$, hai góc $(\Delta, (P))$ và $(\Delta, \Delta')$ là hai góc phụ nhau:
$$(\Delta, (P)) + (\Delta, \Delta') = 90^\circ \implies (\Delta, (P)) = 90^\circ - (\Delta, \Delta').$$
b) Vì hai góc phụ nhau nên: $$\sin(\Delta, (P)) = \cos(\Delta, \Delta') = |\cos(\vec{u}, \vec{n})|.$$
CÔNG THỨC TÍNH SIN GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$. Khi đó: $$\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi trục $Ox$ và mặt phẳng $(P): \sqrt{2}x - y + z + 2 = 0$.
Trục $Ox$ có vectơ chỉ phương $\vec{i} = (1; 0; 0)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (\sqrt{2}; -1; 1)$.
Ta có: $$\sin(Ox, (P)) = \frac{|1 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{2}}{1 \cdot \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Vì $0^\circ \le (Ox, (P)) \le 90^\circ$ nên trục $Ox$ tạo với $(P)$ một góc bằng $45^\circ$.
Luyện tập 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, với: $$\Delta: \frac{x + 2}{-1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 1}{1}, \quad (P): x - y + z - 1 = 0.$$
• Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-1; 2; 1)$.
• Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; -1; 1)$.
Áp dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $$\sin(\Delta, (P)) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-1 - 2 + 1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.$$
Suy ra: $(\Delta, (P)) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 28{,}1^\circ$.
HĐ3 (Tìm mối quan hệ của góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai vectơ pháp tuyến). Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P), (Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n}' = (A'; B'; C')$. Lấy các đường thẳng $\Delta, \Delta'$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{n}, \vec{n}'$ (Hình 5.36).
a) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ và góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ có mối quan hệ gì?
b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
a) Theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Vì $\Delta \perp (P)$ và $\Delta' \perp (Q)$ nên: $$((P), (Q)) = (\Delta, \Delta').$$
b) Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng: $$\cos((P), (Q)) = \cos(\Delta, \Delta') = |\cos(\vec{n}, \vec{n}')|.$$
CÔNG THỨC TÍNH CÔSIN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P), (Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n}' = (A'; B'; C')$. Khi đó, góc giữa $(P)$ và $(Q)$, kí hiệu là $((P), (Q))$, được tính theo công thức: $$\cos((P), (Q)) = |\cos(\vec{n}, \vec{n}')| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}'|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n}'|} = \frac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}}$$
Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z - 1 = 0$ và $(Q): x + y - z + 1 = 0$.
Các mặt phẳng $(P), (Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 2), \vec{n}' = (1; 1; -1)$.
Ta có: $$\cos((P), (Q)) = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}.$$
Do đó: $((P), (Q)) \approx 78{,}9^\circ$.
Luyện tập 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x - \sqrt{2}y + z - 2 = 0$ và $(Oxz): y = 0$.
• Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1; -\sqrt{2}; 1)$.
• Mặt phẳng toạ độ $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{j} = (0; 1; 0)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: $$\cos((P), (Oxz)) = \frac{|\vec{n}_P \cdot \vec{j}|}{|\vec{n}_P| \cdot |\vec{j}|} = \frac{|1 \cdot 0 + (-\sqrt{2}) \cdot 1 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Suy ra: $((P), (Oxz)) = 45^\circ$.
Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0; 0; 4), B(0; -3; 0), C(0; 3; 0), D(3; 0; 0)$ (Hình 5.37). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(ACD)$.
• Mặt phẳng $(ABD)$ có cặp VTCP là $\overrightarrow{BD} = (3; 3; 0)$ và $\overrightarrow{AD} = (3; 0; -4)$.
Vectơ pháp tuyến của $(ABD)$ là $[\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{AD}] = (-12; 12; -9)$. Chọn $\vec{n} = (-4; 4; -3)$.
• Mặt phẳng $(ACD)$ có cặp VTCP là $\overrightarrow{AC} = (0; 3; -4)$ và $\overrightarrow{AD} = (3; 0; -4)$.
Vectơ pháp tuyến của $(ACD)$ là $[\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = (-12; -12; -9)$. Chọn $\vec{m} = (4; 4; 3)$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(ACD)$. Khi đó: $$\cos\varphi = |\cos(\vec{n}, \vec{m})| = \frac{|(-4) \cdot 4 + 4 \cdot 4 + (-3) \cdot 3|}{\sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{4^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{|-16 + 16 - 9|}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{41}} = \frac{9}{41}.$$
Vậy $\varphi \approx 77{,}3^\circ$.
Vận dụng (Giải trọn vẹn bài toán mở đầu).
Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu (Hình 5.33):
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà có độ cao lần lượt là $7\text{ m}, 6\text{ m}, 5\text{ m}$. Ba chân cột là ba đỉnh của tam giác đều cạnh $4\text{ m}$. Hỏi mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?
Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ như Hình 5.33:
• Gốc toạ độ $O$ là trung điểm cạnh $AC$ trên mặt sàn $(Oxy)$.
• Trục $Oy$ chứa đường thẳng $AC$, chiều dương từ $A$ đến $C$.
• Trục $Ox$ vuông góc với $AC$ tại $O$, hướng về phía đỉnh $B$.
• Trục $Oz$ vuông góc với mặt sàn $(Oxy)$, hướng lên trên.
Vì tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $4\text{ m}$:
• $OA = OC = 2\text{ m} \implies A(0; -2; 0)$ và $C(0; 2; 0)$.
• Chiều cao tam giác đều là $OB = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{ m} \implies B(2\sqrt{3}; 0; 0)$.
Ba đỉnh của các cột trụ đặt mái nhà là:
• $A'(0; -2; 7)$ (cột cao $7\text{ m}$ tại $A$).
• $B'(2\sqrt{3}; 0; 6)$ (cột cao $6\text{ m}$ tại $B$).
• $C'(0; 2; 5)$ (cột cao $5\text{ m}$ tại $C$).
Mái nhà nằm trong mặt phẳng $(A'B'C')$. Ta tìm vectơ pháp tuyến của $(A'B'C')$:
• $\vec{A'C'} = (0 - 0;\ 2 - (-2);\ 5 - 7) = (0; 4; -2)$.
• $\vec{A'B'} = (2\sqrt{3} - 0;\ 0 - (-2);\ 6 - 7) = (2\sqrt{3}; 2; -1)$.
Tích có hướng: $$\vec{n} = [\vec{A'C'}, \vec{A'B'}] = \left(\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 2\sqrt{3} \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix}\right) = (0;\ -4\sqrt{3};\ -8\sqrt{3}).$$
Chọn vectơ cùng phương đơn giản: $\vec{n}_1 = \frac{1}{-4\sqrt{3}}\vec{n} = (0; 1; 2)$.
Mặt sàn nhà $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, nhận vectơ $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Gọi $\alpha$ là góc nghiêng của mái nhà so với mặt sàn. Ta có: $$\cos\alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$$
Suy ra: $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 26{,}6^\circ$.
Kết luận: Mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc xấp xỉ $26{,}6^\circ$.
Bài 5.20.
Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng: $$\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \frac{x - 2}{-1} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}.$$
Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (2; -1; 3)$, của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (-1; 1; 2)$.
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: $$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|2(-1) + (-1)(1) + 3(2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-2 - 1 + 6|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{14}.$$
Suy ra: $(\Delta_1, \Delta_2) = \arccos\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right) \approx 70{,}9^\circ$.
Bài 5.21.
Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $(P): x + 2y - z - 1 = 0$.
Trục $Oz$ có VTCP $\vec{k} = (0; 0; 1)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (1; 2; -1)$.
Áp dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $$\sin(Oz, (P)) = \frac{|\vec{k} \cdot \vec{n}|}{|\vec{k}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)|}{1 \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}.$$
Suy ra: $(Oz, (P)) = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \approx 24{,}1^\circ$.
Bài 5.22.
Tính góc giữa đường thẳng $\Delta: \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P): x + y + z + 3 = 0$.
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (-1; 2; 3)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (1; 1; 1)$.
Ta có: $$\sin(\Delta, (P)) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 2 + 3|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}}.$$
Suy ra: $(\Delta, (P)) = \arcsin\left(\frac{4}{\sqrt{42}}\right) \approx 38{,}1^\circ$.
Bài 5.23 (Góc giữa hai mặt bên kề nhau của Kim tự tháp Kheops).
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông với cạnh dài $230\text{ m}$, các cạnh bên bằng nhau và dài $219\text{ m}$ (theo britannica.com) (Hình 5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$.
Gọi $O$ là tâm đáy hình vuông $ABCD$, chọn hệ toạ độ $Oxyz$ với $O$ là gốc toạ độ, trục $Ox, Oy$ song song với các cạnh của hình vuông đáy và trục $Oz$ trùng với đường cao $SO$.
Đáy hình vuông có cạnh $a = 230\text{ m} \implies$ nửa cạnh đáy là $115\text{ m}$. Toạ độ các đỉnh đáy:
• $A(-115; -115; 0)$, $B(115; -115; 0)$, $C(115; 115; 0)$, $D(-115; 115; 0)$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $OB = \sqrt{115^2 + (-115)^2} = 115\sqrt{2}\text{ m}$.
Chiều cao kim tự tháp là: $$h = SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{219^2 - (115\sqrt{2})^2} = \sqrt{47961 - 26450} = \sqrt{21511} \approx 146{,}67\text{ m}.$$ Do đó đỉnh $S(0; 0; h)$ với $h = \sqrt{21511}$.
• Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $S(0; 0; h)$ và chứa đoạn thẳng $AB \parallel Ox$: có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_1 = (0;\ h;\ 115)$.
• Mặt phẳng $(SBC)$ đi qua $S(0; 0; h)$ và chứa đoạn thẳng $BC \parallel Oy$: có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_2 = (h;\ 0;\ 115)$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$:
$$\cos\varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|0 \cdot h + h \cdot 0 + 115^2|}{\sqrt{h^2 + 115^2} \cdot \sqrt{h^2 + 115^2}} = \frac{115^2}{h^2 + 115^2}.$$
Ta có: $h^2 + 115^2 = 21511 + 13225 = 34736$. Do đó: $$\cos\varphi = \frac{13225}{34736} \approx 0{,}38072.$$
Suy ra: $\varphi = \arccos(0{,}38072) \approx 67{,}6^\circ$.
Vậy góc giữa hai mặt bên kề nhau của Kim tự tháp Kheops xấp xỉ $67{,}6^\circ$.
Bài 5.24 (Bể nước hình lập phương bị đặt nghiêng).
Trong một bể hình lập phương cạnh $1\text{ m}$ có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A, B, C$ đến đáy bể tương ứng là $40\text{ cm}, 44\text{ cm}, 48\text{ cm}$ (Hình 5.39).
a) Khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Chọn hệ toạ độ $Oxyz$ gắn với đáy bể lập phương có cạnh $1\text{ m} = 100\text{ cm}$:
• Đáy bể nằm trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy): z = 0$.
• Bốn góc đáy bể có toạ độ: $(0; 0; 0), (100; 0; 0), (100; 100; 0), (0; 100; 0)$.
• Các điểm trên mép mặt nước $A, B, C, D$ nằm trên 4 cạnh thẳng đứng tương ứng của bể:
$A(0; 0; 40), \quad B(100; 0; 44), \quad C(100; 100; 48), \quad D(0; 100; z_D)$.
a) Vì mặt nước là hình bình hành $ABCD$, tâm của hình bình hành là trung điểm của cả hai đường chéo $AC$ và $BD$. Do đó: $$z_A + z_C = z_B + z_D \iff 40 + 48 = 44 + z_D \iff z_D = 88 - 44 = 44\text{ cm}.$$
Vậy khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể bằng $44\text{ cm}$.
b) Mặt nước luôn luôn song song với mặt phẳng nằm ngang (theo nguyên lí bình thông nhau và trọng lực).
Do đó, góc nghiêng của đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang chính bằng góc giữa mặt phẳng đáy bể $(Oxy)$ và mặt phẳng chứa mặt nước $(ABCD)$.
• Vectơ chỉ phương của mặt nước:
$\overrightarrow{AB} = (100 - 0;\ 0 - 0;\ 44 - 40) = (100; 0; 4) = 4(25; 0; 1)$.
$\overrightarrow{AD} = (0 - 0;\ 100 - 0;\ 44 - 40) = (0; 100; 4) = 4(0; 25; 1)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mặt nước $(ABCD)$ là: $$\vec{n} = [\vec{u}_{AB}, \vec{u}_{AD}] = \left(\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 25 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & 25 \\ 1 & 0 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{vmatrix}\right) = (-25;\ -25;\ 625) = -25(1;\ 1;\ -25).$$
Chọn $\vec{n}_1 = (1; 1; -25)$.
• Mặt phẳng đáy bể $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
Gọi $\theta$ là góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang:
$$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-25) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-25)^2} \cdot 1} = \frac{25}{\sqrt{1 + 1 + 625}} = \frac{25}{\sqrt{627}} \approx 0{,}9984.$$
Suy ra: $\theta = \arccos\left(\frac{25}{\sqrt{627}}\right) \approx 3{,}2^\circ$.
Kết luận: Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc xấp xỉ $3{,}2^\circ$.