Lý thuyết: Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
THUẬT NGỮ: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng; Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng; Phương trình tổng quát của mặt phẳng; Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Nhận biết phương trình mặt phẳng.
• Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp: qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến, qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương, qua ba điểm không thẳng hàng.
• Nhận biết hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Vận dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
Tình huống mở đầu:
Một vật thể chuyển động trong không gian $Oxyz$. Tại mỗi thời điểm $t$, vật thể ở vị trí điểm $M(\cos t - \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$. Hỏi vật thể có luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?
Lời giải chi tiết của bài toán chuyển động này sẽ được khám phá qua các tính chất của phương trình mặt phẳng trong phần Vận dụng 2.
HĐ1 (Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến). Khi một vật được đặt trên mặt bàn phẳng, mặt bàn sẽ tác động lên vật một phản lực pháp tuyến $\vec{n}$, giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\vec{n}$ có phương gì? (Hình 5.1)
Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, do đó $\vec{n}$ có phương thẳng đứng.
ĐỊNH NGHĨA VECTƠ PHÁP TUYẾN
Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$.
Chú ý:
• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
• Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ (với $k$ là một số khác $0$) cũng là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (Hình 5.3). Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?
a) $\vec{AA'}$ và $2\vec{BB'}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.
b) $\overrightarrow{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$.
c) $\vec{A'C'}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.
• Vì các đường thẳng $AA', BB'$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên $\vec{AA'}, 2\vec{BB'}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD) \implies$ Khẳng định a đúng.
• Đường thẳng $BD$ vuông góc với hai đường thẳng $AC$ và $AA'$ (trong hình lập phương) nên vuông góc với mặt phẳng $(ACC'A')$. Vậy $\overrightarrow{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A') \implies$ Khẳng định b đúng.
• Đường thẳng $A'C'$ không vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ (mà song song) nên $\vec{A'C'}$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD) \implies$ Khẳng định c sai.
Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.
Luyện tập 1. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1; -2; 3)$, $B(-3; 0; 1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
Mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $AB$, do đó nó nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có: $$\overrightarrow{AB} = (-3 - 1;\ 0 - (-2);\ 1 - 3) = (-4;\ 2;\ -2).$$
Ta cũng có thể chọn vectơ $\vec{n} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2;\ -1;\ 1)$ làm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
HĐ2 (Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a'; b'; c')$.
a) Vectơ $\vec{n} = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay không?
b) $\vec{n} = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có mối quan hệ gì?
a) Xét tích vô hướng của $\vec{n}$ với $\vec{u}$ và $\vec{v}$:
$$\vec{n} \cdot \vec{u} = a(bc' - b'c) + b(ca' - c'a) + c(ab' - a'b) = abc' - ab'c + bca' - abc' + cab' - ca'b = 0 \implies \vec{n} \perp \vec{u}.$$
$$\vec{n} \cdot \vec{v} = a'(bc' - b'c) + b'(ca' - c'a) + c'(ab' - a'b) = a'bc' - a'b'c + b'ca' - b'c'a + c'ab' - c'a'b = 0 \implies \vec{n} \perp \vec{v}.$$
Vậy vectơ $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
b) $\vec{n} = \vec{0} \iff bc' - b'c = 0,\ ca' - c'a = 0,\ ab' - a'b = 0 \iff$ các toạ độ của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ tỉ lệ với nhau $\iff \vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai vectơ cùng phương.
ĐỊNH NGHĨA TÍCH CÓ HƯỚNG
Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a'; b'; c')$. Khi đó vectơ: $$\vec{n} = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b)$$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$, được gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$, kí hiệu là $[\vec{u}, \vec{v}]$.
Chú ý:
• $[\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.
• Với bốn số $x, y, x', y'$, định thức cấp hai kí hiệu là: $\begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y$. Khi đó:
$$[\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} c & a \\ c' & a' \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}\right)$$
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u} = (1; -2; 0)$ và $\vec{v} = (3; 1; -4)$. Tính $[\vec{u}, \vec{v}]$.
Áp dụng công thức tính toạ độ tích có hướng: $$[\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -4 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\right) = (8 - 0;\ 0 - (-4);\ 1 - (-6)) = (8;\ 4;\ 7).$$
Luyện tập 2. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u} = (2; 3; 1)$ và $\vec{v} = (4; 6; 2)$. Tính $[\vec{u}, \vec{v}]$.
Nhận thấy $\vec{v} = (4; 6; 2) = 2(2; 3; 1) = 2\vec{u}$, nghĩa là hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương.
Do đó: $$[\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0} = (0;\ 0;\ 0).$$
HĐ3 (Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng). Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng $(P)$.
a) Vectơ $[\vec{u}, \vec{v}]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\vec{u}, \vec{v}$ hay không?
b) Mặt phẳng $(P)$ có nhận $[\vec{u}, \vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?
a) Vì $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương nên theo định nghĩa tích có hướng, $[\vec{u}, \vec{v}] \ne \vec{0}$ và giá của nó vuông góc với cả hai giá của $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
b) Vì giá của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cắt nhau hoặc chéo nhau và song song/nằm trong mặt phẳng $(P)$, nên đường thẳng có vectơ chỉ phương $[\vec{u}, \vec{v}]$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$. Do đó giá của $[\vec{u}, \vec{v}]$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Vậy mặt phẳng $(P)$ nhận $[\vec{u}, \vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến.
CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG
• Trong không gian $Oxyz$, hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng $(P)$.
• Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ thì $[\vec{u}, \vec{v}]$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$.
Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec{u} = (2; -1; 0)$, $\vec{v} = (1; -1; 2)$. Gọi $(\alpha)$ là một mặt phẳng song song với các giá của $\vec{u}, \vec{v}$. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
Do $(\alpha)$ song song với các giá của $\vec{u}, \vec{v}$ và $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương, nên $\vec{u}, \vec{v}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(\alpha)$.
Ta có vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là: $$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\right) = (-2;\ -4;\ -1) \ne \vec{0}.$$
Ta cũng có thể chọn $\vec{n}' = -\vec{n} = (2;\ 4;\ 1)$ làm một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
Luyện tập 3. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(1; -2; 1)$, $B(-2; 1; 0)$, $C(-2; 3; 2)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.
Ta có hai vectơ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ là: $$\overrightarrow{AB} = (-2 - 1;\ 1 - (-2);\ 0 - 1) = (-3;\ 3;\ -1),$$ $$\overrightarrow{AC} = (-2 - 1;\ 3 - (-2);\ 2 - 1) = (-3;\ 5;\ 1).$$
Vì $A, B, C$ không thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là: $$\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}\right) = (3 - (-5);\ 3 - 3;\ -15 - (-9)) = (8;\ 0;\ -6).$$
Ta có thể chọn vectơ cùng phương đơn giản hơn: $\vec{n}' = \frac{1}{2}\vec{n} = (4;\ 0;\ -3)$.
Vận dụng 1 (Vật lí: Mômen lực).
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo độ dài là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí $P$ một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở vị trí $O$ (Hình 5.6) thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức:
$$\vec{M} = [\overrightarrow{OP}, \vec{F}]$$
a) Cho $\overrightarrow{OP} = (x; y; z)$, $\vec{F} = (a; b; c)$. Tính $\vec{M}$.
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\vec{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ $P$ sang $P'$ sao cho $\vec{OP'} = 2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
a) Áp dụng công thức tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OP} = (x; y; z)$ và $\vec{F} = (a; b; c)$:
$$\vec{M} = [\overrightarrow{OP}, \vec{F}] = \left(\begin{vmatrix} y & z \\ b & c \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} z & x \\ c & a \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} x & y \\ a & b \end{vmatrix}\right) = (yc - zb;\ za - xc;\ xb - ya).$$
b) Khi thay đổi điểm đặt lực thành $P'$ sao cho $\vec{OP'} = 2\overrightarrow{OP}$, ta có: $$\vec{M'} = [\vec{OP'}, \vec{F}] = [2\overrightarrow{OP}, \vec{F}] = 2[\overrightarrow{OP}, \vec{F}] = 2\vec{M}.$$
Do đó độ lớn của mômen lực tăng gấp 2 lần: $|\vec{M'}| = 2|\vec{M}|$.
Kết luận thực tiễn: Để vặn ốc đỡ tốn sức (cùng một mômen lực quay cần thiết nhưng dùng lực $\vec{F}$ nhỏ hơn), ta nên cầm tay vào phía cuối cán mỏ lết (càng xa con ốc $O$ càng tốt) hoặc sử dụng mỏ lết có cán dài hơn.
HĐ4 (Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng). Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$. Gọi $\vec{n} = (A; B; C)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ và $M_0(x_0; y_0; z_0)$ là một điểm thuộc $(\alpha)$.
a) Một điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{n}$ và $\vec{M_0M}$ có mối quan hệ gì?
b) Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?
a) Điểm $M \in (\alpha)$ khi và chỉ khi đoạn $M_0M$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$. Do $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$ nên $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{M_0M}$, tức là $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.
b) Ta có $\vec{M_0M} = (x - x_0;\ y - y_0;\ z - z_0)$ và $\vec{n} = (A; B; C)$. Do đó: $$\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0 \iff A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \iff Ax + By + Cz + D = 0$$ (trong đó đặt $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$).
ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Trong không gian $Oxyz$, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ trong đó $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$ ($A^2 + B^2 + C^2 > 0$), được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Chú ý: Ngược lại, mỗi phương trình bậc nhất ba ẩn $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$) luôn xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?
a) $x + 2y - 3z^2 + 1 = 0$;
b) $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0$;
c) $y + 1 = 0$.
Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình $y + 1 = 0$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ và thoả mãn $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$ (cụ thể là $A = 0, B = 1, C = 0, D = 1$). Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình $y + 1 = 0$ là phương trình mặt phẳng.
Luyện tập 4. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?
a) $x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 1 = 0$;
b) $\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0$;
c) $xy + 5 = 0$.
Chỉ có phương trình ở câu b) $\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0$ là phương trình bậc nhất đối với $x, y, z$ (với $A = \frac{1}{2}, B = -1, C = \frac{1}{3}, D = 5$), nên nó là phương trình tổng quát của một mặt phẳng. Các phương trình ở câu a và c chứa bậc hai và tích $xy$ nên không phải là phương trình mặt phẳng.
Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - z + 1 = 0$.
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
b) Vectơ $\vec{m} = (2; 4; -2)$ có là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ hay không?
c) Trong hai điểm $A(1; 3; 2)$, $B(1; 1; 4)$, điểm nào thuộc mặt phẳng $(\alpha)$?
a) Mặt phẳng $(\alpha)$ nhận $\vec{n} = (1; 2; -1)$ làm một vectơ pháp tuyến.
b) Do $\vec{m} = 2(1; 2; -1) = 2\vec{n}$ mà $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ nên $\vec{m}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
c) Thay toạ độ các điểm vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$:
• Với điểm $A(1; 3; 2)$: $1 + 2(3) - 2 + 1 = 6 \ne 0 \implies A \notin (\alpha)$.
• Với điểm $B(1; 1; 4)$: $1 + 2(1) - 4 + 1 = 0 \implies B \in (\alpha)$.
Vậy điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$, điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
Luyện tập 5. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): x + 2 = 0$.
a) Điểm $A(-2; 1; 0)$ có thuộc $(\alpha)$ hay không?
b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
a) Thay toạ độ điểm $A(-2; 1; 0)$ vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ ta có: $(-2) + 2 = 0$ (thoả mãn). Do đó điểm $A \in (\alpha)$.
b) Phương trình $x + 2 = 0$ tương đương với $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 2 = 0$, do đó một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\vec{n} = (1;\ 0;\ 0)$ (chính là vectơ đơn vị $\vec{i}$ của trục $Ox$, tức $(\alpha) \perp Ox$).
1. Mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \iff Ax + By + Cz + D = 0$$ (với $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$).
Ví dụ 6. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(2; -1; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; -4; 6)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là: $$3(x - 2) - 4[y - (-1)] + 6(z - 0) = 0 \iff 3x - 4y + 6z - 10 = 0.$$
Luyện tập 6. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1; 2; -4)$ và vuông góc với trục $Oz$.
Do mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với trục $Oz$ nên nhận vectơ đơn vị $\vec{k} = (0; 0; 1)$ của trục $Oz$ làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1; 2; -4)$ và có VTPT $\vec{k} = (0; 0; 1)$ có phương trình: $$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1[z - (-4)] = 0 \iff z + 4 = 0.$$
2. Mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
Trong không gian $Oxyz$, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$.
• Bước 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $M$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
Ví dụ 7. Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ với $A(1; 2; 3)$, $B(4; 3; 5)$, $C(2; 3; 2)$, $A'(1; 1; 1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(A'B'C')$.
Mặt phẳng $(A'B'C')$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ nên nhận $\overrightarrow{AB} = (3; 1; 2)$ và $\overrightarrow{AC} = (1; 1; -1)$ làm cặp vectơ chỉ phương.
Do đó $(A'B'C')$ có vectơ pháp tuyến là: $$\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right) = (-3;\ 5;\ 2).$$
Mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua $A'(1; 1; 1)$ và nhận $\vec{n} = (-3; 5; 2)$ làm VTPT nên có phương trình: $$-3(x - 1) + 5(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \iff -3x + 5y + 2z - 4 = 0 \iff 3x - 5y - 2z + 4 = 0.$$
Luyện tập 7. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1; -2; -1)$, $B(4; 1; 2)$, $C(2; 3; 1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1; -2; -1)$ đồng thời song song với trục $Oy$ và đường thẳng $BC$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với trục $Oy$ và đường thẳng $BC$ nên nhận vectơ đơn vị $\vec{j} = (0; 1; 0)$ của trục $Oy$ và vectơ $\overrightarrow{BC} = (2 - 4;\ 3 - 1;\ 1 - 2) = (-2;\ 2;\ -1)$ làm cặp vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là: $$\vec{n} = [\vec{j}, \overrightarrow{BC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix}\right) = (-1;\ 0;\ 2).$$
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(1; -2; -1)$ và nhận $\vec{n} = (-1; 0; 2)$ làm VTPT có phương trình: $$-1(x - 1) + 0[y - (-2)] + 2[z - (-1)] = 0 \iff -x + 1 + 2z + 2 = 0 \iff x - 2z - 3 = 0.$$
3. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Trong không gian $Oxyz$, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ có thể thực hiện theo các bước sau:
• Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$.
• Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$.
• Bước 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
Ví dụ 8. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 1; -1)$, $B(3; 2; 1)$, $C(3; 1; 4)$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.
a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 2)$, $\overrightarrow{AC} = (1; 0; 5)$. Vì các toạ độ không tỉ lệ $\left(\frac{1}{1} \ne \frac{1}{0}\right)$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.
b) Mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ làm cặp vectơ chỉ phương, do đó có VTPT là: $$\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}\right) = (5;\ -3;\ -1).$$
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2; 1; -1)$ và có VTPT $\vec{n} = (5; -3; -1)$ nên có phương trình: $$5(x - 2) - 3(y - 1) - 1[z - (-1)] = 0 \iff 5x - 3y - z - 8 = 0.$$
Luyện tập 8 (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ không đi qua gốc toạ độ và cắt ba trục $Ox, Oy, Oz$ tương ứng tại các điểm $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ ($a, b, c \ne 0$) (Hình 5.8). Chứng minh rằng mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$ (Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).
Ta có $\overrightarrow{AB} = (-a; b; 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (-a; 0; c)$.
Mặt phẳng $(\alpha) = (ABC)$ nhận $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ làm cặp vectơ chỉ phương, do đó có VTPT là: $$\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \left(\begin{vmatrix} b & 0 \\ 0 & c \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & -a \\ c & -a \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -a & b \\ -a & 0 \end{vmatrix}\right) = (bc;\ ca;\ ab).$$
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(a; 0; 0)$ và nhận $\vec{n} = (bc; ca; ab)$ làm VTPT nên có phương trình: $$bc(x - a) + ca(y - 0) + ab(z - 0) = 0 \iff bc x + ca y + ab z - abc = 0 \iff bc x + ca y + ab z = abc.$$
Chia cả hai vế cho tích $abc \ne 0$, ta thu được: $$\frac{bc x}{abc} + \frac{ca y}{abc} + \frac{ab z}{abc} = 1 \iff \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$$ Đó chính là điều phải chứng minh.
Vận dụng 2 (Giải bài toán mở đầu).
Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra:
a) Xác định toạ độ của vị trí $M_1, M_2, M_3$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0, t = \frac{\pi}{2}, t = \pi$.
b) Chứng minh rằng $M_1, M_2, M_3$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$.
c) Vị trí $M(\cos t - \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ hay không?
a) Thay các giá trị thời điểm $t$ vào toạ độ của điểm $M$:
• Với $t = 0$: $M_1(\cos 0 - \sin 0;\ \cos 0 + \sin 0;\ \cos 0) = M_1(1;\ 1;\ 1)$.
• Với $t = \frac{\pi}{2}$: $M_2\left(\cos\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2};\ \cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2};\ \cos\frac{\pi}{2}\right) = M_2(-1;\ 1;\ 0)$.
• Với $t = \pi$: $M_3(\cos\pi - \sin\pi;\ \cos\pi + \sin\pi;\ \cos\pi) = M_3(-1;\ -1;\ -1)$.
b) Ta có $\vec{M_1M_2} = (-2; 0; -1)$ và $\vec{M_1M_3} = (-2; -2; -2)$.
Vì các toạ độ không tỉ lệ nên $\vec{M_1M_2}$ và $\vec{M_1M_3}$ không cùng phương, do đó ba điểm $M_1, M_2, M_3$ không thẳng hàng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ là: $$\vec{n} = [\vec{M_1M_2}, \vec{M_1M_3}] = \left(\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}\right) = (-2;\ -2;\ 4).$$
Chọn $\vec{n}' = -\frac{1}{2}\vec{n} = (1;\ 1;\ -2)$. Mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$ đi qua $M_1(1; 1; 1)$ có phương trình: $$1(x - 1) + 1(y - 1) - 2(z - 1) = 0 \iff x + y - 2z = 0.$$
c) Xét toạ độ của điểm $M(\cos t - \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$ tại thời điểm $t$ bất kì:
Thay vào vế trái phương trình mặt phẳng $(M_1M_2M_3)$: $$(\cos t - \sin t) + (\cos t + \sin t) - 2(\cos t) = 2\cos t - 2\cos t = 0.$$
Đẳng thức này luôn đúng với mọi $t \in \mathbb{R}$.
Kết luận: Vật thể luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định có phương trình $x + y - 2z = 0$.
HĐ8 (Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau). Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng:
$$(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0, \quad (\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$$
với hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\vec{n} = (A; B; C)$, $\vec{n}' = (A'; B'; C')$.
a) Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ và góc giữa hai giá của $\vec{n}, \vec{n}'$ có mối quan hệ gì?
b) Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\vec{n}, \vec{n}'$ có mối quan hệ gì?
a) Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó. Do giá của $\vec{n}, \vec{n}'$ tương ứng vuông góc với $(\alpha), (\beta)$ nên góc giữa $(\alpha)$ và $(\beta)$ bằng góc giữa hai giá của $\vec{n}$ và $\vec{n}'$.
b) Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của $\vec{n}$ và $\vec{n}'$ vuông góc với nhau, tức là $\vec{n} \perp \vec{n}' \iff \vec{n} \cdot \vec{n}' = 0$.
ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0, \quad (\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$$ với hai vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n}' = (A'; B'; C')$. Khi đó: $$(\alpha) \perp (\beta) \iff \vec{n} \perp \vec{n}' \iff AA' + BB' + CC' = 0$$
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.
Ví dụ 9. Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau: $$(\alpha): x - 3y + 2z + 1 = 0, \quad (\beta): 5x + y - z + 2 = 0.$$
Hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\vec{n} = (1; -3; 2)$ và $\vec{n}' = (5; 1; -1)$.
Ta có tích vô hướng: $$\vec{n} \cdot \vec{n}' = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 5 - 3 - 2 = 0.$$
Do đó $\vec{n} \perp \vec{n}'$, suy ra mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$.
Luyện tập 9. Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không? $$(\alpha): 3x + y - z + 1 = 0, \quad (\beta): 9x + 3y - 3z + 3 = 0.$$
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\vec{n} = (3; 1; -1)$ và $\vec{n}' = (9; 3; -3)$.
Ta tính tích vô hướng: $$\vec{n} \cdot \vec{n}' = 3 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot (-3) = 27 + 3 + 3 = 33 \ne 0.$$
Do đó $\vec{n}$ không vuông góc với $\vec{n}'$, vậy hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ không vuông góc với nhau.
(Lưu ý: Vì $\vec{n}' = 3\vec{n}$ và $D' = 3D$ nên thực chất hai mặt phẳng này trùng nhau).
Ví dụ 10. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1; 2; -2), B(2; 4; 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + 3y + z - 1 = 0$.
Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (1; 3; 1)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và vuông góc với $(Q)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{AB} = (2 - 1;\ 4 - 2;\ 1 - (-2)) = (1; 2; 3)$ và vectơ $\vec{n}_Q = (1; 3; 1)$ làm cặp vectơ chỉ phương.
Do đó $(P)$ có vectơ pháp tuyến là: $$\vec{n}_P = [\overrightarrow{AB}, \vec{n}_Q] = \left(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\right) = (-7;\ 2;\ 1).$$
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1; 2; -2)$ và có VTPT $\vec{n}_P = (-7; 2; 1)$ nên có phương trình: $$-7(x - 1) + 2(y - 2) + 1[z - (-2)] = 0 \iff -7x + 2y + z + 5 = 0 \iff 7x - 2y - z - 5 = 0.$$
Vận dụng 3 (Không gian phòng học Oxyz).
Trong không gian $Oxyz$, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh $O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), C(0; 2\sqrt{2}; 0)$. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
Sàn nhà nằm trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm VTPT.
Vì các bức tường đều vuông góc với sàn nhà nên VTPT của mỗi bức tường vuông góc với $\vec{k} \implies$ dạng tổng quát của mặt phẳng tường là $Ax + By + D = 0$.
a) Phương trình 4 bức tường:
• Bức tường qua $O(0; 0; 0)$ và $A(2; 0; 0)$: chính là mặt phẳng $(Oxz)$ chứa trục $Ox$, có phương trình: $y = 0$.
• Bức tường qua $A(2; 0; 0)$ và $B(2; 3; 0)$: song song với trục $Oy$, đi qua $x = 2$, có phương trình: $x - 2 = 0$.
• Bức tường qua $O(0; 0; 0)$ và $C(0; 2\sqrt{2}; 0)$: chính là mặt phẳng $(Oyz)$ chứa trục $Oy$, có phương trình: $x = 0$.
• Bức tường qua $B(2; 3; 0)$ và $C(0; 2\sqrt{2}; 0)$: vectơ $\overrightarrow{CB} = (2;\ 3 - 2\sqrt{2};\ 0)$. Vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\overrightarrow{CB}, \vec{k}] = (3 - 2\sqrt{2};\ -2;\ 0)$. Đi qua $C(0; 2\sqrt{2}; 0)$, phương trình là:
$$(3 - 2\sqrt{2})x - 2y + 4\sqrt{2} = 0.$$
b) Các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau:
• Mặt phẳng tường $x = 0$ và mặt phẳng tường $y = 0$ vuông góc với nhau (vì hai trục toạ độ $Ox \perp Oy$).
• Mặt phẳng tường $x - 2 = 0$ và mặt phẳng tường $y = 0$ vuông góc với nhau (vì vectơ pháp tuyến $(1; 0; 0) \perp (0; 1; 0)$).
HĐ9 (Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau). Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0, \quad (\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n}' = (A'; B'; C')$ tương ứng. Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến $\vec{n}, \vec{n}'$ có mối quan hệ gì? (Hình 5.11)
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó, các vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và $\vec{n}'$ phải là hai vectơ cùng phương (tức là $\vec{n}' = k\vec{n}$ với $k \ne 0$).
ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG SONG SONG HOẶC TRÙNG NHAU
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0, \quad (\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n}' = (A'; B'; C')$. Khi đó: $$(\alpha) \parallel (\beta) \iff \begin{cases} \vec{n}' = k\vec{n} \\ D' \ne kD \end{cases} \quad \text{với } k \ne 0 nào đó.$$
Chú ý:
• Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.
• Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số $k \ne 0$ sao cho:
$$A' = kA, \quad B' = kB, \quad C' = kC, \quad D' = kD.$$
Ví dụ 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): 3x - y + z + \sqrt{2} = 0 \quad \text{và} \quad (\beta): 3\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + \sqrt{2}z + 1 = 0.$$ Hỏi $(\alpha)$ và $(\beta)$ có song song với nhau hay không?
Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là: $$\vec{n}_\alpha = (3; -1; 1), \quad \vec{n}_\beta = (3\sqrt{2}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}).$$
Do $\vec{n}_\beta = \sqrt{2}\vec{n}_\alpha$ và hệ số tự do $D_\beta = 1 \ne \sqrt{2} D_\alpha = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, nên hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau.
Luyện tập 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng:
$$(\alpha): 5x + 2y - 4z + 6 = 0 \quad \text{và} \quad (\beta): 10x + 4y - 2z + 12 = 0.$$
a) Hỏi $(\alpha)$ và $(\beta)$ có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm $M(1; -3; 5)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ nhưng thuộc mặt phẳng $(\beta)$.
c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; -3; 5)$ và song song với $(\alpha)$.
a) Ta có các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (5; 2; -4)$ và $\vec{n}_\beta = (10; 4; -2)$.
Xét tỉ lệ giữa các toạ độ: $\frac{10}{5} = \frac{4}{2} = 2 \ne \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.
Vì hai vectơ $\vec{n}_\alpha$ và $\vec{n}_\beta$ không cùng phương nên hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ không song song với nhau (chúng cắt nhau).
b) Thay toạ độ điểm $M(1; -3; 5)$ vào phương trình $(\alpha)$ và $(\beta)$:
• Với $(\alpha)$: $5(1) + 2(-3) - 4(5) + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = -15 \ne 0 \implies M \notin (\alpha)$.
• Với $(\beta)$: $10(1) + 4(-3) - 2(5) + 12 = 10 - 12 - 10 + 12 = 0 \implies M \in (\beta)$.
c) Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ nên nhận vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (5; 2; -4)$ làm VTPT.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; -3; 5)$ là: $$5(x - 1) + 2[y - (-3)] - 4(z - 5) = 0 \iff 5x + 2y - 4z + 21 = 0.$$
Vận dụng 4 (Toán học trong tuyển sinh đại học).
Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh. Trong không gian $Oxyz$, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó (Hình 5.12).
a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.
a) Gọi điểm biểu diễn kết quả thi của một thí sinh là $M(x; y; z)$, trong đó $x, y, z$ lần lượt là điểm thi ba môn Toán, Văn, Anh.
Tổng số điểm ba môn thi bằng 27 nghĩa là: $$x + y + z = 27 \iff x + y + z - 27 = 0.$$ Đẳng thức này chứng tỏ toạ độ của điểm $M$ thoả mãn phương trình mặt phẳng $x + y + z - 27 = 0$. Do đó các thí sinh có tổng điểm 27 đều nằm trên mặt phẳng này.
b) Xét các thí sinh có cùng tổng điểm thi ba môn là $S$ (với $0 \le S \le 30$). Khi đó toạ độ $(x; y; z)$ của các thí sinh này đều thoả mãn phương trình: $$x + y + z - S = 0.$$ Đây là phương trình của mặt phẳng $(\alpha_S)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1)$.
Với các giá trị tổng điểm $S$ khác nhau ($S_1 \ne S_2$), các mặt phẳng $(\alpha_{S_1})$ và $(\alpha_{S_2})$ có cùng VTPT $\vec{n} = (1; 1; 1)$ nhưng hệ số tự do khác nhau ($-S_1 \ne -S_2$), do đó chúng đôi một song song với nhau.
Vậy hai thí sinh có cùng tổng điểm sẽ luôn thuộc cùng một mặt phẳng trong họ các mặt phẳng song song này.
HĐ10 (Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$ (Hình 5.13).
a) Giải thích vì sao tồn tại số $k$ để $\overrightarrow{MN} = k\vec{n}$. Tính toạ độ của $N$ theo $k$, toạ độ của $M$ và các hệ số $A, B, C, D$.
b) Thay toạ độ của $N$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ để từ đó tính $k$ theo toạ độ của $M$ và các hệ số $A, B, C, D$.
c) Từ $|\overrightarrow{MN}| = |k||\vec{n}|$, hãy tính độ dài của đoạn thẳng $MN$. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$.
a) Vì $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ nên đường thẳng $MN \perp (P)$. Do $\vec{n} \perp (P)$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\vec{n}$ cùng phương, do đó tồn tại số $k$ sao cho $\overrightarrow{MN} = k\vec{n}$.
Từ $\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MN}$, ta có toạ độ của $N$ là: $$x_N = x_0 + kA, \quad y_N = y_0 + kB, \quad z_N = z_0 + kC.$$
b) Vì $N \in (P)$ nên toạ độ $N$ thoả mãn phương trình $(P)$:
$$A(x_0 + kA) + B(y_0 + kB) + C(z_0 + kC) + D = 0 \iff k(A^2 + B^2 + C^2) + (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) = 0$$ $$\implies k = -\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}.$$
c) Khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ là độ dài đoạn $MN$:
$$d(M, (P)) = |\overrightarrow{MN}| = |k||\vec{n}| = \left|-\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}\right| \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$
CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bằng công thức: $$d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Ví dụ 12. Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 5 = 0$.
Áp dụng công thức tính khoảng cách: $$d(M, (P)) = \frac{|1 + 2(2) - 2(-1) + 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 2 + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4.$$
Luyện tập 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + 3y + z + 2 = 0$ và $(Q): x + 3y + z + 5 = 0$.
a) Chứng minh rằng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc $(P)$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
a) Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 3; 1)$ và hệ số tự do $D_P = 2 \ne D_Q = 5$. Do đó $(P) \parallel (Q)$.
b) Chọn một điểm $M \in (P)$: cho $y = 0, z = 0 \implies x + 2 = 0 \iff x = -2$. Vậy $M(-2; 0; 0) \in (P)$.
Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(Q)$ là: $$d(M, (Q)) = \frac{|-2 + 3(0) + 0 + 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{11}.$$
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ chính bằng khoảng cách từ điểm $M \in (P)$ đến $(Q)$:
$$d((P), (Q)) = \frac{3\sqrt{11}}{11}.$$
Vận dụng 5 (Góc quan sát ngang của Camera an ninh).
Góc quan sát ngang của một camera là $115^\circ$ (Hình 5.14). Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $C(1; 2; 4)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z + 3 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Khoảng cách từ camera tại điểm $C(1; 2; 4)$ đến mặt phẳng quan sát $(P)$ là chiều cao của hình nón vùng quét: $$h = d(C, (P)) = \frac{|1 + 2(2) + 2(4) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 4 + 8 + 3|}{\sqrt{9}} = \frac{16}{3}.$$
Góc ở đỉnh của hình nón tạo bởi góc quan sát ngang là $2\alpha = 115^\circ \implies \alpha = \frac{115^\circ}{2} = 57{,}5^\circ$.
Bán kính hình tròn vùng quan sát trên mặt phẳng $(P)$ là: $$R = h \cdot \tan\alpha = \frac{16}{3} \cdot \tan 57{,}5^\circ \approx \frac{16}{3} \cdot 1{,}5697 \approx 8{,}37 \approx 8{,}4\text{ (đơn vị độ dài)}.$$
Vậy bán kính vùng quan sát xấp xỉ $8{,}4$.
Bài 5.1.
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1; 2; -1)$ và vuông góc với trục $Ox$.
Mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ nên nhận vectơ đơn vị $\vec{i} = (1; 0; 0)$ của trục $Ox$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng đi qua $M(1; 2; -1)$ và có VTPT $\vec{i} = (1; 0; 0)$ là: $$1(x - 1) + 0(y - 2) + 0[z - (-1)] = 0 \iff x - 1 = 0.$$
Bài 5.2.
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, với $A(1; -1; 3), B(0; 2; 4), D(2; -1; 1), A'(0; 1; 2)$.
a) Tính toạ độ các điểm $C, B', D'$.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(CB'D')$.
a) Trong hình bình hành đáy $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành ta có: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \implies C = B + D - A.$$ • $x_C = 0 + 2 - 1 = 1$
• $y_C = 2 + (-1) - (-1) = 2$
• $z_C = 4 + 1 - 3 = 2$
Do đó $C(1; 2; 2)$.
Mặt khác, vectơ tịnh tiến giữa hai đáy là $\vec{AA'} = (0 - 1;\ 1 - (-1);\ 2 - 3) = (-1;\ 2;\ -1)$. Do đó:
• $\vec{BB'} = \vec{AA'} \implies B' = B + \vec{AA'} = (0 - 1;\ 2 + 2;\ 4 - 1) = (-1;\ 4;\ 3)$.
• $\vec{DD'} = \vec{AA'} \implies D' = D + \vec{AA'} = (2 - 1;\ -1 + 2;\ 1 - 1) = (1;\ 1;\ 0)$.
b) Lập phương trình mặt phẳng $(CB'D')$ đi qua ba điểm $C(1; 2; 2), B'(-1; 4; 3), D'(1; 1; 0)$:
Ta có: $\vec{CB'} = (-2; 2; 1)$ và $\vec{CD'} = (0; -1; -2)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(CB'D')$ là: $$\vec{n} = [\vec{CB'}, \vec{CD'}] = \left(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}\right) = (-3;\ -4;\ 2).$$
Phương trình mặt phẳng $(CB'D')$ đi qua $C(1; 2; 2)$ và có VTPT $\vec{n} = (-3; -4; 2)$ là: $$-3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \iff -3x - 4y + 2z + 7 = 0 \iff 3x + 4y - 2z - 7 = 0.$$
Bài 5.3.
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; -1; 5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q): 3x + 2y - z = 0, (R): x + y - z = 0$.
Mặt phẳng $(Q)$ có VTPT $\vec{n}_Q = (3; 2; -1)$, mặt phẳng $(R)$ có VTPT $\vec{n}_R = (1; 1; -1)$.
Vì mặt phẳng $(P)$ vuông góc với cả hai mặt phẳng $(Q)$ và $(R)$ nên nhận $\vec{n}_Q, \vec{n}_R$ làm cặp vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là: $$\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{n}_R] = \left(\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right) = (-1;\ 2;\ 1).$$
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; -1; 5)$ có phương trình: $$-1(x - 1) + 2[y - (-1)] + 1(z - 5) = 0 \iff -x + 2y + z - 2 = 0 \iff x - 2y - z + 2 = 0.$$
Bài 5.4.
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(2; 3; -1)$, song song với trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + 2y - 3z + 1 = 0$.
Mặt phẳng cần tìm song song với trục $Ox$ (có VTCP $\vec{i} = (1; 0; 0)$) và vuông góc với $(Q)$ (có VTPT $\vec{n}_Q = (1; 2; -3)$).
Do đó mặt phẳng nhận $\vec{i}$ và $\vec{n}_Q$ làm cặp vectơ chỉ phương. Vectơ pháp tuyến là: $$\vec{n} = [\vec{i}, \vec{n}_Q] = \left(\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\right) = (0;\ 3;\ 2).$$
Phương trình mặt phẳng đi qua $M(2; 3; -1)$ có VTPT $\vec{n} = (0; 3; 2)$ là: $$0(x - 2) + 3(y - 3) + 2[z - (-1)] = 0 \iff 3y + 2z - 7 = 0.$$
Bài 5.5.
Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 1 = 0$.
Gốc toạ độ là $O(0; 0; 0)$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là: $$d(O, (P)) = \frac{|2(0) + 2(0) - 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}.$$
Bài 5.6.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
• Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; 1)$ và hệ số tự do $D_P = 2 \ne D_Q = 6$. Suy ra $(P) \parallel (Q)$.
• Chọn một điểm thuộc $(P)$: cho $y = 0, z = 0 \implies x + 2 = 0 \iff x = -2$. Vậy $M(-2; 0; 0) \in (P)$.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ là: $$d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = \frac{|-2 + 0 + 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$
Bài 5.7.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + 3y - z = 0, (Q): x - y - 2z + 1 = 0$.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
a) Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\vec{n}_P = (1; 3; -1)$ và $\vec{n}_Q = (1; -1; -2)$.
Ta có tích vô hướng: $$\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1(1) + 3(-1) + (-1)(-2) = 1 - 3 + 2 = 0.$$ Vậy $\vec{n}_P \perp \vec{n}_Q \implies (P) \perp (Q)$.
b) Vì điểm $M$ thuộc trục $Ox$ nên toạ độ điểm $M$ có dạng $M(t; 0; 0)$.
Khoảng cách từ $M$ đến hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là: $$d(M, (P)) = \frac{|t + 3(0) - 0|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|t|}{\sqrt{11}},$$ $$d(M, (Q)) = \frac{|t - 0 - 2(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|t + 1|}{\sqrt{6}}.$$ Để điểm $M$ cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ thì: $$d(M, (P)) = d(M, (Q)) \iff \frac{|t|}{\sqrt{11}} = \frac{|t + 1|}{\sqrt{6}} \iff \sqrt{6}|t| = \sqrt{11}|t + 1|$$ $$\iff 6t^2 = 11(t + 1)^2 \iff 6t^2 = 11(t^2 + 2t + 1) \iff 5t^2 + 22t + 11 = 0.$$ Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm: $$t = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4(5)(11)}}{10} = \frac{-22 \pm \sqrt{484 - 220}}{10} = \frac{-22 \pm \sqrt{264}}{10} = \frac{-11 \pm \sqrt{66}}{5}.$$ Vậy có hai điểm $M$ thoả mãn yêu cầu bài toán là: $$M_1\left(\frac{-11 + \sqrt{66}}{5};\ 0;\ 0\right) \quad \text{và} \quad M_2\left(\frac{-11 - \sqrt{66}}{5};\ 0;\ 0\right).$$
Bài 5.8 (Mô hình thực tế: Mái nhà hình chóp đều).
Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau (Hình 5.15). Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Gọi hình chóp đều biểu thị mái nhà là $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, chiều cao $SO = h > 0$.
Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với $O$ là tâm đáy hình vuông, trục $Oz$ trùng với đường cao $OS$, trục $Ox, Oy$ song song với các cạnh hình vuông.
Giả sử cạnh đáy hình vuông bằng $2a$ ($a > 0$). Khi đó:
• Đỉnh $S(0; 0; h)$.
• Trung điểm cạnh $AB$ là $M(a; 0; 0)$, trung điểm cạnh $BC$ là $N(0; a; 0)$.
• Mặt phẳng mái $(SAB)$ đi qua $S(0; 0; h)$ và chứa $AB \parallel Oy$: có VTPT là $\vec{n}_1 = (h; 0; a)$.
• Mặt phẳng mái kề $(SBC)$ đi qua $S(0; 0; h)$ và chứa $BC \parallel Ox$: có VTPT là $\vec{n}_2 = (0; h; a)$.
Để hai mặt mái kề nhau vuông góc với nhau thì: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff h \cdot 0 + 0 \cdot h + a \cdot a = 0 \iff a^2 = 0.$$ Điều này là vô lí vì độ dài nửa cạnh đáy $a > 0$.
Kết luận: Ý tưởng của bác An không thể thực hiện được (trong một hình chóp tứ giác đều, hai mặt bên kề nhau không bao giờ vuông góc với nhau).
Bài 5.9.
Trong không gian $Oxyz$, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z - 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z - 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?
Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng lần lượt là:
• Mặt phẳng sàn nhà $(Oxy): z = 0$ có VTPT $\vec{n}_1 = (0; 0; 1)$.
• Mặt phẳng trần nhà tầng 1: $z - 1 = 0$ có VTPT $\vec{n}_2 = (0; 0; 1)$.
• Mặt phẳng mái nhà tầng 2: $x + y + 50z - 100 = 0$ có VTPT $\vec{n}_3 = (1; 1; 50)$.
Ta thấy $\vec{n}_1 = \vec{n}_2$ và hai mặt phẳng có hệ số tự do khác nhau ($0 \ne -1$), nên mặt phẳng chứa sàn nhà và trần tầng 1 song song với nhau.
Mặt phẳng mái tầng 2 có VTPT $\vec{n}_3$ không cùng phương với $\vec{n}_1$ nên cắt cả sàn nhà và trần tầng 1.
Bài 5.10 (Mô hình cối xay lúa cổ truyền).
Xét một cối xay lúa trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo độ dài là mét. Nếu tác động vào cối xay lúa (ở vị trí $P$) một lực $\vec{F}$ thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M} = [\overrightarrow{OP}, \vec{F}]$ (Hình 5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ $AB$ và $PQ$ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\vec{F}$ có giá song song với $AB$. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ có phương thẳng đứng.
• Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng nằm ngang là mặt phẳng $(Oxy)$ và phương thẳng đứng là trục $Oz$.
• Vì các thanh gỗ $AB$ và $PQ$ luôn có phương nằm ngang và lực $\vec{F}$ có giá song song với $AB$, nên cả hai vectơ $\overrightarrow{OP}$ và vectơ lực $\vec{F}$ đều có phương nằm ngang (nghĩa là giá của chúng song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$).
• Theo định nghĩa tích có hướng, vectơ moment lực $\vec{M} = [\overrightarrow{OP}, \vec{F}]$ vuông góc với cả $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$. Do đó giá của $\vec{M}$ vuông góc với mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$.
• Mà phương vuông góc với mặt phẳng nằm ngang chính là phương thẳng đứng (phương của trục $Oz$).
Vì vậy, giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ luôn có phương thẳng đứng (làm quay cối xay quanh trục đứng của nó).
Em có biết? Hình học giải tích và các mặt bậc hai trong không gian
Hình học giải tích là lĩnh vực toán học dùng ngôn ngữ và phương pháp đại số để nghiên cứu hình học. Trong hình học giải tích, mỗi đối tượng hình học được cho tương ứng với một đối tượng đại số: điểm cho tương ứng với toạ độ của điểm, đường cho tương ứng với phương trình của đường, mặt cho tương ứng với phương trình của mặt. Dưới đây là phương trình của một số mặt bậc hai xuất hiện nhiều trong cuộc sống và kĩ thuật:
| Tên mặt bậc hai | Phương trình chính tắc | Đặc điểm hình học tiêu biểu |
|---|---|---|
| Mặt ellipsoid (trái xoan) | $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$ | Hình dạng quả trứng, quả bóng bầu dục, các hành tinh |
| Mặt hyperboloid một tầng | $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$ | Tháp làm mát nhà máy điện nhiệt hạch, tháp truyền hình |
| Mặt hyperboloid hai tầng | $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$$ | Hai nhánh tách rời đối xứng qua gốc toạ độ |
| Mặt nón elliptic | $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$$ | Đỉnh tại gốc $O$, các vết cắt song song là elip |
| Mặt paraboloid elliptic | $$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$$ | Chảo thu sóng vệ tinh viễn thông, kính thiên văn phản xạ |
| Mặt paraboloid hyperbolic (yên ngựa) | $$z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$$ | Mái vòm sân vận động, kiến trúc vỏ mỏng bê tông hiện đại |