Lý thuyết: Định nghĩa và các tính chất của tích phân
THUẬT NGỮ: Tích phân; Cận tích phân; Hàm số dưới dấu tích phân.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:
• Nhận biết định nghĩa và các tính chất của tích phân.
• Tính tích phân trong những trường hợp đơn giản.
• Vận dụng tích phân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
Tình huống mở đầu:
Một ô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -40t + 20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Bài toán này liên quan chặt chẽ đến việc tính diện tích hình thang cong và là nguồn gốc dẫn đến khái niệm tích phân trong giải tích.
a) Diện tích hình thang cong
ĐỊNH NGHĨA HÌNH THANG CONG
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ ($a < b$), trong đó $f(x)$ là hàm liên tục không âm trên đoạn $[a; b]$, gọi là một hình thang cong.
Ví dụ 1. Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không?
• Hình 4.3a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$.
• Hình 4.3b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$.
HĐ1 (Diện tích của hình thang). Kí hiệu $T$ là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y = x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = t$ ($1 \le t \le 4$) (Hình 4.4).
a) Tính diện tích $S$ của $T$ khi $t = 4$.
b) Tính diện tích $S(t)$ của $T$ khi $t \in [1; 4]$.
c) Chứng minh rằng $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t) = t + 1, t \in [1; 4]$ và diện tích $S = S(4) - S(1)$.
a) Khi $t = 4$, hình thang $T$ có đáy nhỏ bằng $y(1) = 1 + 1 = 2$, đáy lớn bằng $y(4) = 4 + 1 = 5$, và chiều cao $h = 4 - 1 = 3$.
Diện tích của $T$ là: $$S = \frac{(2 + 5) \cdot 3}{2} = \frac{21}{2}.$$ b) Với mỗi $t \in [1; 4]$, hai đáy là $2$ và $t + 1$, chiều cao là $t - 1$. Diện tích $S(t)$ là: $$S(t) = \frac{[2 + (t + 1)](t - 1)}{2} = \frac{(t + 3)(t - 1)}{2} = \frac{t^2 + 2t - 3}{2} = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{3}{2}.$$ c) Ta có: $$S'(t) = \left(\frac{1}{2}t^2 + t - \frac{3}{2}\right)' = t + 1 = f(t).$$ Do đó $S(t)$ là một nguyên hàm của $f(t)$ trên $[1; 4]$.
Mặt khác: $S(4) = \frac{1}{2}(4^2) + 4 - \frac{3}{2} = \frac{21}{2}$, $S(1) = \frac{1}{2}(1^2) + 1 - \frac{3}{2} = 0$.
Vậy diện tích $S = S(4) - S(1) = \frac{21}{2}$.
HĐ2 (Diện tích của hình thang cong). Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$. Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.
a) Với mỗi $x \in [1; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ và $x$ (Hình 4.5). Cho $h > 0$ sao cho $x + h < 2$. So sánh hiệu $S(x+h) - S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật $MNPQ$ và $MNEF$ (Hình 4.6). Từ đó suy ra:
$$0 \le \frac{S(x+h) - S(x)}{h} - x^2 \le 2xh + h^2.$$
b) Cho $h < 0$ sao cho $x+h > 1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S(x) - S(x+h)$ và từ đó suy ra:
$$2xh + h^2 \le \frac{S(x+h) - S(x)}{h} - x^2 \le 0.$$
c) Từ kết quả phần a và b, suy ra với mọi $h \neq 0$, ta có:
$$\left|\frac{S(x+h) - S(x)}{h} - x^2\right| \le 2x|h| + h^2.$$
Từ đó chứng minh $S'(x) = x^2, x \in (1; 2)$ và $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $[1; 2]$.
d) Từ kết quả trên, ta có $S(x) = \frac{x^3}{3} + C$. Hãy tính diện tích $S = S(2)$ và so sánh với $F(2) - F(1)$ với $F(x)$ là nguyên hàm tuỳ ý của $f(x) = x^2$.
a) Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là $x^2 \cdot h$, diện tích hình chữ nhật $MNEF$ là $(x+h)^2 \cdot h$.
Do $x^2 \cdot h \le S(x+h) - S(x) \le (x+h)^2 \cdot h$, chia cho $h > 0$ ta được: $$x^2 \le \frac{S(x+h) - S(x)}{h} \le (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \implies 0 \le \frac{S(x+h) - S(x)}{h} - x^2 \le 2xh + h^2.$$ b) Hoàn toàn tương tự với $h < 0$, ta có: $$2xh + h^2 \le \frac{S(x+h) - S(x)}{h} - x^2 \le 0.$$ c) Khi $h \to 0$, $2x|h| + h^2 \to 0$, theo nguyên lí kẹp ta có: $$\lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h} = x^2 \implies S'(x) = x^2.$$ Do đó $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên đoạn $[1; 2]$.
d) Vì $S(1) = 0$ nên $\frac{1^3}{3} + C = 0 \implies C = -\frac{1}{3}$.
Vậy $S(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}$. Diện tích cần tính là: $$S = S(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$ Với mọi nguyên hàm $F(x) = \frac{x^3}{3} + C_0$ tuỳ ý, ta luôn có: $$F(2) - F(1) = \left(\frac{8}{3} + C_0\right) - \left(\frac{1}{3} + C_0\right) = \frac{7}{3} = S.$$
ĐỊNH LÍ DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$, thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là: $$S = F(b) - F(a)$$ trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm bất kì của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$.
Ví dụ 2. Tính diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$.
Một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3$ là $F(x) = \frac{x^4}{4}$.
Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là: $$S = F(2) - F(1) = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$$
b) Định nghĩa tích phân
HĐ3 (Nhận biết khái niệm tích phân). Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$, $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm tuỳ ý của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Chứng minh rằng: $$F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$$
Vì $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a; b]$ nên tồn tại hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x \in [a; b]$.
Do đó: $$G(b) - G(a) = [F(b) + C] - [F(a) + C] = F(b) - F(a).$$ Như vậy hiệu số $F(b) - F(a)$ hoàn toàn độc lập với việc chọn nguyên hàm $F(x)$.
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ thì hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$, kí hiệu là $\int_a^b f(x)dx$:
a) Hiệu $F(b) - F(a)$ thường được kí hiệu là $F(x)\Big|_a^b$. Như vậy: $$\int_a^b f(x)dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$$ b) Ta gọi $\int$ là dấu tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f(x)dx$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.
c) Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến: $$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(u)du$$ d) Quy ước về cận: Trong trường hợp $a = b$ hoặc $a > b$, ta quy ước: $$\int_a^a f(x)dx = 0; \quad \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$$
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{-1}^3 x^2 dx$;
b) $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos t dt$;
c) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{\cos^2 u}$;
d) $\int_1^2 2^x dx$.
a) $\int_{-1}^3 x^2 dx = \frac{x^3}{3}\Big|_{-1}^3 = \frac{1}{3}[3^3 - (-1)^3] = \frac{1}{3}[27 - (-1)] = \frac{28}{3}$.
b) $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos t dt = \sin t\Big|_0^{\frac{\pi}{6}} = \sin\frac{\pi}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
c) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u\Big|_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
d) $\int_1^2 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}\Big|_1^2 = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{4 - 2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}$.
Luyện tập 1. Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^1 e^x dx$;
b) $\int_1^4 \frac{1}{x}dx$;
c) $\int_0^\pi \sin x dx$;
d) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x}$.
a) $\int_0^1 e^x dx = e^x\Big|_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.
b) $\int_1^4 \frac{1}{x}dx = \ln|x|\Big|_1^4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln(2^2) = 2\ln 2$.
c) $\int_0^\pi \sin x dx = -\cos x\Big|_0^\pi = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2$.
d) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x\Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\cot\frac{\pi}{3} - \left(-\cot\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
c) Ý nghĩa hình học của tích phân
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$, thì tích phân $\int_a^b f(x)dx$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ (Hình 4.9): $$S = \int_a^b f(x)dx$$
Ví dụ 4. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) $\int_0^1 (x+1)dx$;
b) $\int_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2}dx$.
a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông $OABC$, có đáy nhỏ $OC = 1$, đáy lớn $AB = 2$ và đường cao $OA = 1$ (Hình 4.10). Do đó: $$\int_0^1 (x+1)dx = S_{OABC} = \frac{1}{2}(OC + AB) \cdot OA = \frac{1}{2}(1 + 2) \cdot 1 = \frac{3}{2}.$$ b) Ta có $y = \sqrt{1 - x^2}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ $O$ bán kính $R = 1$. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa hình tròn tương ứng (Hình 4.11): $$\int_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2}dx = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}.$$
Luyện tập 2. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) $\int_1^3 (2x + 1)dx$;
b) $\int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2}dx$.
a) Tích phân là diện tích hình thang vuông giới hạn bởi $y = 2x+1$ trên đoạn $[1; 3]$: đáy nhỏ $y(1) = 3$, đáy lớn $y(3) = 7$, chiều cao $h = 3 - 1 = 2$. $$\int_1^3 (2x + 1)dx = S = \frac{(3 + 7) \cdot 2}{2} = 10.$$ b) Phương trình $y = \sqrt{4 - x^2} \iff x^2 + y^2 = 4$ ($y \ge 0$) là nửa trên hình tròn tâm $O$ bán kính $R = 2$. $$\int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2}dx = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 2^2 = 2\pi.$$
Vận dụng 1 (Giải bài toán trong tình huống mở đầu).
Ô tô dừng hẳn khi vận tốc tức thời triệt tiêu: $$v(t) = 0 \iff -40t + 20 = 0 \iff t = 0{,}5\text{ (giây)}.$$ Vì $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn chính là tích phân của hàm vận tốc trên đoạn $[0; 0{,}5]$: $$s = \int_0^{0{,}5} v(t)dt = \int_0^{0{,}5} (-40t + 20)dt = \left(-20t^2 + 20t\right)\Big|_0^{0{,}5} = -20(0{,}5)^2 + 20(0{,}5) - 0 = -5 + 10 = 5\text{ (m)}.$$ Vậy ô tô còn di chuyển được $5\text{ mét}$ kể từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn.
HĐ4 (Nhận biết tính chất của tích phân). Tính và so sánh:
a) $\int_0^1 2x dx$ và $2\int_0^1 x dx$;
b) $\int_0^1 (x^2 + x)dx$ và $\int_0^1 x^2 dx + \int_0^1 x dx$;
c) $\int_0^3 x dx$ và $\int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx$.
a) $\int_0^1 2x dx = x^2\Big|_0^1 = 1$; và $2\int_0^1 x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = 1$. Vậy $\int_0^1 2x dx = 2\int_0^1 x dx$.
b) $\int_0^1 (x^2 + x)dx = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$; và $\int_0^1 x^2 dx + \int_0^1 x dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$. Hai biểu thức bằng nhau.
c) $\int_0^3 x dx = \frac{x^2}{2}\Big|_0^3 = \frac{9}{2}$; và $\int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx = \frac{1}{2} + \left(\frac{9}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2}$. Hai biểu thức bằng nhau.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Cho $f(x), g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$. Khi đó:
1) Đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân: $$\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx \quad (k \text{ là hằng số})$$
2) Tích phân của tổng: $$\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$$
3) Tích phân của hiệu: $$\int_a^b [f(x) - g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx - \int_a^b g(x)dx$$
4) Tính chất chèn cận: $$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx \quad (a < c < b)$$
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a) $\int_1^4 (x^3 + 3\sqrt{x})dx$;
b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (e^x - 2\cos x)dx$;
c) $\int_1^4 \left(2^x - \frac{3}{x^2}\right)dx$.
a) Áp dụng tính chất tổng và nhân hằng số:
$$\int_1^4 (x^3 + 3\sqrt{x})dx = \int_1^4 x^3 dx + 3\int_1^4 x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^4}{4}\Big|_1^4 + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Big|_1^4 = \frac{1}{4}(4^4 - 1) + 2(4^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{255}{4} + 14 = \frac{311}{4}.$$
b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (e^x - 2\cos x)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x dx - 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = e^x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - 2\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = (e^{\frac{\pi}{2}} - 1) - 2(1 - 0) = e^{\frac{\pi}{2}} - 3$.
c) $\int_1^4 \left(2^x - \frac{3}{x^2}\right)dx = \int_1^4 2^x dx - 3\int_1^4 x^{-2}dx = \frac{2^x}{\ln 2}\Big|_1^4 + 3 \cdot \frac{1}{x}\Big|_1^4 = \frac{1}{\ln 2}(2^4 - 2^1) + 3\left(\frac{1}{4} - 1\right) = \frac{14}{\ln 2} - \frac{9}{4}$.
Luyện tập 3. Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^{2\pi} (2x + \cos x)dx$;
b) $\int_1^3 \left(3^x - \frac{3}{x}\right)dx$;
c) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}\right)dx$.
a) $\int_0^{2\pi} (2x + \cos x)dx = (x^2 + \sin x)\Big|_0^{2\pi} = (4\pi^2 + \sin 2\pi) - (0 + \sin 0) = 4\pi^2$.
b) $\int_1^3 \left(3^x - \frac{3}{x}\right)dx = \left(\frac{3^x}{\ln 3} - 3\ln|x|\right)\Big|_1^3 = \left(\frac{27}{\ln 3} - 3\ln 3\right) - \left(\frac{3}{\ln 3} - 0\right) = \frac{24}{\ln 3} - 3\ln 3$.
c) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}\right)dx = (\tan x + \cot x)\Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \left(\tan\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{3}\right) - \left(\tan\frac{\pi}{6} + \cot\frac{\pi}{6}\right) = \left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}\right) = 0$.
Ví dụ 6. Tính $\int_0^3 |x - 2|dx$.
Nhận thấy $x - 2 = 0 \iff x = 2 \in [0; 3]$. Ta tách tích phân tại $c = 2$:
• Với $x \in [0; 2]$, $x - 2 \le 0 \implies |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
• Với $x \in [2; 3]$, $x - 2 \ge 0 \implies |x - 2| = x - 2$.
Áp dụng tính chất chèn cận: $$\int_0^3 |x - 2|dx = \int_0^2 (2 - x)dx + \int_2^3 (x - 2)dx = \left(2x - \frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^2 + \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right)\Big|_2^3$$ $$= [(4 - 2) - 0] + \left[\left(\frac{9}{2} - 6\right) - (2 - 4)\right] = 2 + \left(-\frac{3}{2} + 2\right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$
Luyện tập 4. Tính $\int_0^3 |2x - 3|dx$.
Nghiệm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là $2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2} \in [0; 3]$. Ta chia tích phân thành hai phần: $$\int_0^3 |2x - 3|dx = \int_0^{\frac{3}{2}} (3 - 2x)dx + \int_{\frac{3}{2}}^3 (2x - 3)dx$$ $$= (3x - x^2)\Big|_0^{\frac{3}{2}} + (x^2 - 3x)\Big|_{\frac{3}{2}}^3 = \left[3\left(\frac{3}{2}\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 0\right] + \left[(9 - 9) - \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right)\right]$$ $$= \left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) + \frac{9}{4} = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2} = 4{,}5.$$
Vận dụng 2 (Giá trị trung bình của hàm số).
Giá trị trung bình của hàm số liên tục $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$ được định nghĩa là: $$\bar{y} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)dx$$ Giả sử nhiệt độ (tính bằng $^\circ\text{C}$) tại thời điểm $t$ giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hoá bởi hàm số: $$T(t) = 20 + 1{,}5(t - 6), \quad 6 \le t \le 12.$$ Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ($6 \le t \le 12$) là: $$\bar{T} = \frac{1}{12 - 6}\int_6^{12} [20 + 1{,}5(t - 6)]dt = \frac{1}{6}\left[20t + 1{,}5 \cdot \frac{(t - 6)^2}{2}\right]\Big|_6^{12}$$ $$= \frac{1}{6}\left[\left(20 \cdot 12 + 0{,}75 \cdot 6^2\right) - \left(20 \cdot 6 + 0\right)\right] = \frac{1}{6}[(240 + 27) - 120] = \frac{147}{6} = 24{,}5^\circ\text{C}.$$ Vậy nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian trên là $24{,}5^\circ\text{C}$.
Bài 4.8.
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) $\int_1^2 (2x + 1)dx$;
b) $\int_{-3}^3 \sqrt{9 - x^2}dx$.
a) Tích phân $\int_1^2 (2x + 1)dx$ biểu thị diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y = 2x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1, x = 2$.
• Đáy nhỏ có độ dài: $y(1) = 2(1) + 1 = 3$.
• Đáy lớn có độ dài: $y(2) = 2(2) + 1 = 5$.
• Chiều cao là: $h = 2 - 1 = 1$.
Do đó: $$\int_1^2 (2x + 1)dx = S = \frac{(3 + 5) \cdot 1}{2} = 4.$$
b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt{9 - x^2}$ là nửa trên của đường tròn tâm tại gốc toạ độ $O(0; 0)$ bán kính $R = 3$.
Tích phân $\int_{-3}^3 \sqrt{9 - x^2}dx$ chính là diện tích nửa hình tròn này:
$$\int_{-3}^3 \sqrt{9 - x^2}dx = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2}.$$
Bài 4.9.
Cho $\int_0^3 f(x)dx = 5$ và $\int_0^3 g(x)dx = 2$. Tính:
a) $\int_0^3 [f(x) + g(x)]dx$;
b) $\int_0^3 [f(x) - g(x)]dx$;
c) $\int_0^3 3f(x)dx$;
d) $\int_0^3 [2f(x) - 3g(x)]dx$.
Áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân:
a) $\int_0^3 [f(x) + g(x)]dx = \int_0^3 f(x)dx + \int_0^3 g(x)dx = 5 + 2 = 7$.
b) $\int_0^3 [f(x) - g(x)]dx = \int_0^3 f(x)dx - \int_0^3 g(x)dx = 5 - 2 = 3$.
c) $\int_0^3 3f(x)dx = 3\int_0^3 f(x)dx = 3 \cdot 5 = 15$.
d) $\int_0^3 [2f(x) - 3g(x)]dx = 2\int_0^3 f(x)dx - 3\int_0^3 g(x)dx = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 10 - 6 = 4$.
Bài 4.10.
Tính các tích phân sau:
a) $\int_0^3 (3x - 1)^2 dx$;
b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin x)dx$;
c) $\int_0^1 (e^{2x} + 3x^2)dx$;
d) $\int_{-1}^2 |2x + 1|dx$.
a) Khai triển biểu thức: $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$.
$$\int_0^3 (3x - 1)^2 dx = \int_0^3 (9x^2 - 6x + 1)dx = \left(3x^3 - 3x^2 + x\right)\Big|_0^3 = (3 \cdot 27 - 3 \cdot 9 + 3) - 0 = 81 - 27 + 3 = 57.$$
b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin x)dx = (x - \cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{2}\right) - (0 - \cos 0) = \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) - (-1) = \frac{\pi}{2} + 1$.
c) $\int_0^1 (e^{2x} + 3x^2)dx = \left(\frac{1}{2}e^{2x} + x^3\right)\Big|_0^1 = \left(\frac{1}{2}e^2 + 1\right) - \left(\frac{1}{2}e^0 + 0\right) = \frac{1}{2}e^2 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{e^2 + 1}{2}$.
d) Xét dấu $2x + 1$: $2x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{2} \in [-1; 2]$. Ta tách tích phân: $$\int_{-1}^2 |2x + 1|dx = \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} -(2x + 1)dx + \int_{-\frac{1}{2}}^2 (2x + 1)dx$$ $$= \left(-x^2 - x\right)\Big|_{-1}^{-\frac{1}{2}} + \left(x^2 + x\right)\Big|_{-\frac{1}{2}}^2$$ $$= \left[\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - (-1 + 1)\right] + \left[(4 + 2) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)\right] = \frac{1}{4} + \left(6 + \frac{1}{4}\right) = \frac{13}{2} = 6{,}5.$$
Bài 4.11 (Chuyển động thẳng biến đổi).
Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t) = t^2 - t - 6$ (m/s).
a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, tức là tính $\int_1^4 v(t)dt$.
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, tức là tính $\int_1^4 |v(t)|dt$.
a) Độ dịch chuyển của vật là: $$\Delta s = \int_1^4 (t^2 - t - 6)dt = \left(\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t\right)\Big|_1^4$$ $$= \left(\frac{64}{3} - \frac{16}{2} - 24\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6\right) = \left(\frac{64}{3} - 32\right) - \left(-\frac{37}{6}\right) = -\frac{32}{3} + \frac{37}{6} = -\frac{9}{2} = -4{,}5\text{ (m)}.$$ (Dấu âm cho biết vật dịch chuyển theo chiều âm $4{,}5\text{ m}$ so với vị trí ban đầu).
b) Tổng quãng đường đi được là tích phân của tốc độ $|v(t)|$.
Nghiệm của $v(t) = t^2 - t - 6 = (t - 3)(t + 2) = 0 \iff t = 3$ hoặc $t = -2$.
Trên đoạn $[1; 3]$, $v(t) \le 0 \implies |v(t)| = -v(t) = -t^2 + t + 6$.
Trên đoạn $[3; 4]$, $v(t) \ge 0 \implies |v(t)| = v(t) = t^2 - t - 6$.
Do đó: $$S = \int_1^4 |v(t)|dt = \int_1^3 (-t^2 + t + 6)dt + \int_3^4 (t^2 - t - 6)dt$$ $$= \left(-\frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 6t\right)\Big|_1^3 + \left(\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t\right)\Big|_3^4$$ $$= \left[\left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 6\right)\right] + \left[\left(\frac{64}{3} - 8 - 24\right) - \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right)\right]$$ $$= \left(\frac{27}{2} - \frac{37}{6}\right) + \left(-\frac{32}{3} + \frac{27}{2}\right) = \frac{22}{3} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6} \approx 10{,}17\text{ (m)}.$$
Bài 4.12 (Bài toán kinh tế - Lợi nhuận biên).
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức:
$$P'(x) = -0{,}0005x + 12{,}2$$
Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $110$ đơn vị sản phẩm.
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $a$ lên $b$ đơn vị sản phẩm là: $$\Delta P = P(b) - P(a) = \int_a^b P'(x)dx = \int_a^b (-0{,}0005x + 12{,}2)dx = \left(-0{,}00025x^2 + 12{,}2x\right)\Big|_a^b.$$
a) Khi doanh số tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị sản phẩm: $$\Delta P = \left[-0{,}00025(101)^2 + 12{,}2(101)\right] - \left[-0{,}00025(100)^2 + 12{,}2(100)\right]$$ $$= (-2{,}55025 + 1\,232{,}2) - (-2{,}5 + 1\,220) = 1\,229{,}64975 - 1\,217{,}5 = 12{,}14975\text{ (triệu đồng)} \approx 12\,149\,750\text{ đồng}.$$
b) Khi doanh số tăng từ $100$ lên $110$ đơn vị sản phẩm: $$\Delta P = \left[-0{,}00025(110)^2 + 12{,}2(110)\right] - \left[-0{,}00025(100)^2 + 12{,}2(100)\right]$$ $$= (-3{,}025 + 1\,342) - 1\,217{,}5 = 1\,338{,}975 - 1\,217{,}5 = 121{,}475\text{ (triệu đồng)} = 121\,475\,000\text{ đồng}.$$
Bài 4.13 (Mô hình sinh học - Vận tốc dòng máu).
Giả sử vận tốc $v$ của dòng máu ở khoảng cách $r$ từ tâm của động mạch bán kính $R$ không đổi, có thể được mô hình hoá bởi công thức: $$v = k(R^2 - r^2),$$ trong đó $k$ là một hằng số dương. Tìm vận tốc trung bình (đối với $r$) của dòng máu trong khoảng $0 \le r \le R$. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Vận tốc trung bình của dòng máu trên đoạn $0 \le r \le R$ đối với biến $r$ được tính theo công thức giá trị trung bình: $$\bar{v} = \frac{1}{R - 0}\int_0^R v(r)dr = \frac{1}{R}\int_0^R k(R^2 - r^2)dr = \frac{k}{R}\left(R^2 r - \frac{r^3}{3}\right)\Big|_0^R$$ $$= \frac{k}{R}\left(R^3 - \frac{R^3}{3} - 0\right) = \frac{k}{R} \cdot \frac{2}{3}R^3 = \frac{2}{3}kR^2.$$ Vận tốc của dòng máu lớn nhất tại tâm động mạch (khi $r = 0$): $$v_{\max} = v(0) = k(R^2 - 0^2) = kR^2.$$ So sánh: $$\bar{v} = \frac{2}{3}v_{\max}$$ Vậy vận tốc trung bình của dòng máu trong động mạch bằng đúng $\frac{2}{3}$ vận tốc lớn nhất tại tâm động mạch.