Toán Lớp 10 Chương IV: Vectơ 3597 lượt xem

Lý thuyết Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Lý thuyết đầy đủ về các khái niệm mở đầu của Vectơ (Chương IV): Định nghĩa vectơ và độ dài vectơ, giá của vectơ, điều kiện cùng phương - cùng hướng - ngược hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ-không, bài toán lực đẩy Archimedes và trọng lực, cùng 100% lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 4.1 đến Bài 4.5 trang 50).

TOÁN 10 - TẬP 1 | CHƯƠNG IV: VECTƠ

BÀI 7. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 46 - 50)

Thời lượng: 2 tiết

THUẬT NGỮ CỐT LÕI

Vectơ, Vectơ-không ($\vec{0}$)
Độ dài của vectơ ($|\vec{a}|, |\overrightarrow{AB}|$)
Giá của vectơ
Hai vectơ cùng phương
Hai vectơ cùng hướng, ngược hướng
Hai vectơ bằng nhau ($\vec{a} = \vec{b}$)

KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT

Nhận biết khái niệm vectơ, độ dài của vectơ, giá của vectơ.
Phân biệt chính xác hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và bằng nhau.
Nắm vững định nghĩa và các quy ước về vectơ-không ($\vec{0}$).
Vận dụng vectơ để mô tả và biểu diễn các đại lượng có hướng trong vật lí như lực, vận tốc, độ dịch chuyển.

BỐI CẢNH THỰC TIỄN & TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (TRANG 46)

Trong thực tế cuộc sống, ta thường gặp những đại lượng chỉ cần một con số để biểu thị đầy đủ (như nhiệt độ, khối lượng, thời gian, diện tích) — đó là các đại lượng vô hướng.

Tuy nhiên, có rất nhiều đại lượng quan trọng cần đồng thời hai yếu tố: độ lớn và hướng (như vận tốc gió, lực kéo, độ dịch chuyển). Chẳng hạn, trong bản tin thời tiết: nhiệt độ $30^\circ\text{C}$ chỉ có độ lớn; trong khi gió có vận tốc $18\text{ km/h}$ và thổi theo hướng đông nam.

Đối tượng toán học mới: Để mô hình hoá toán học các đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng, các nhà toán học đã xây dựng khái niệm vectơ. Vectơ là công cụ nền tảng cho vật lí, kĩ thuật và cơ học hiện đại.

Hình 4.1: Vị trí ga An Cựu cách Hoàng cung Huế 3,01 km về hướng đông nam

1. KHÁI NIỆM VECTƠ

HĐ1 Chuyển động của con tàu

Một con tàu khởi hành từ đảo $A$, đi thẳng về hướng đông $10\text{ km}$ rồi đi thẳng tiếp $10\text{ km}$ về hướng nam thì tới đảo $B$ (H.4.2).

Nếu từ đảo $A$, tàu đi thẳng một mạch (không đổi hướng) tới đảo $B$, thì phải đi theo hướng đông nam và quãng đường phải đi là $AB = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\text{ km}$.

ĐỊNH NGHĨA VECTƠ & ĐỘ DÀI VECTƠ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Kí hiệu và cách biểu diễn vectơ

Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là "vectơ $AB$" (H.4.3).
Để vẽ vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối $B$.
Vectơ còn được kí hiệu bằng các chữ cái thường có mũi tên ở trên: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \dots$ (H.4.4).
Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}, \vec{a}$ tương ứng được kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|, |\vec{a}|$. Ta có: $|\overrightarrow{AB}| = AB$.

Ví dụ 1 (SGK tr. 47)

Độ dài vectơ

Cho hình vuông $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng $1$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BD}$.

Giải: Vì cạnh hình vuông $ABCD$ bằng $1$ nên độ dài đường chéo là $AC = BD = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Do đó: $|\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}; \quad |\overrightarrow{CA}| = CA = \sqrt{2}; \quad |\overrightarrow{BD}| = BD = \sqrt{2}$.

Luyện tập 1

Các vectơ có độ dài bằng cạnh tam giác đều

Cho tam giác đều $ABC$ với cạnh có độ dài bằng $a$. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng $a$ và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác $ABC$.

Các cạnh của tam giác đều có độ dài bằng $a$ là $AB, BC, CA$. Vì mỗi đoạn thẳng định ra hai vectơ có hướng ngược nhau nên các vectơ thoả mãn là:
$\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{BA}, \ \overrightarrow{BC}, \ \overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{CA}, \ \overrightarrow{AC}$ (gồm tất cả $6$ vectơ).

2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU

GIÁ CỦA VECTƠ & HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng hướng và ngược hướng

Quy tắc tiên quyết: Chỉ khi hai vectơ cùng phương, ta mới xét đến việc chúng cùng hướng hay ngược hướng với nhau!

Hai vectơ cùng hướng: Cùng phương và mũi tên chỉ cùng chiều

Hai vectơ ngược hướng: Cùng phương và mũi tên chỉ chiều ngược nhau

HAI VECTƠ BẰNG NHAU

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng: $$\vec{a} = \vec{b} \iff \begin{cases} |\vec{a}| = |\vec{b}| \\ \vec{a} \text{ cùng hướng } \vec{b} \end{cases}$$

VECTƠ-KHÔNG VÀ CÁC QUY ƯỚC QUAN TRỌNG

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB}, \overrightarrow{MM}$) được gọi là vectơ-không.
Quy ước: Vectơ-không có độ dài bằng $0$ ($|\vec{0}| = 0$).
Quy ước: Vectơ-không cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.
Mọi vectơ-không đều có cùng độ dài bằng $0$ và cùng hướng, nên chúng đều bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$.
Với mỗi điểm $O$ và một vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất một điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$.

Ví dụ 2: Vectơ trong hình chữ nhật

Nhận biết vectơ bằng nhau

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.

$\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$: Có giá song song nên cùng phương. Mũi tên cùng chỉ từ trên xuống dưới nên cùng hướng. Cạnh đối hình chữ nhật nên $AD = BC$. ⇒ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: Có giá song song, cùng độ dài $AB = CD$, nhưng mũi tên chỉ chiều ngược nhau (hướng từ trái sang phải so với từ phải sang trái). ⇒ Chúng ngược hướng và không bằng nhau ($\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{CD}$).
$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$: Hai đường chéo cắt nhau nên hai giá không song song, không trùng nhau ⇒ Không cùng phương, do đó không bằng nhau ($\overrightarrow{AC} \ne \overrightarrow{BD}$) mặc dù có cùng độ dài $AC = BD$.

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC: ĐIỀU KIỆN BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng $\iff$ Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

* Điểm $M$ nằm giữa hai điểm phân biệt $A$ và $B$ khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

Ví dụ 4 (SGK tr. 49)

Biểu diễn lực bằng vectơ: Trọng lực và Lực đẩy Archimedes

Một vật $A$ được thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng.

Lực đẩy Archimedes $\vec{F}$ có phương thẳng đứng, hướng từ dưới lên trên.
Trọng lực $\vec{P}$ có phương thẳng đứng, hướng từ trên xuống dưới.
Vì vật chìm xuống đáy nên độ lớn trọng lực thắng lực đẩy: $P > F$.

⇒ Hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b (độ dài vectơ $\vec{P}$ lớn hơn vectơ $\vec{F}$). Trong Hình 4.11b, $|\vec{P}| = 3|\vec{F}|$, suy ra trọng lượng riêng của vật $A$ gấp $3$ lần trọng lượng riêng của chất lỏng.

Hình 4.11: Ba cách biểu diễn cặp lực P và F

Làm bài tập củng cố của bài này →