Lý thuyết: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

HĐ1. Hình thành biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; 5)$ và $\vec{b} = (1; 3; 9)$.

a) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
b) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và $2\vec{a}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, từ đó xác định toạ độ của hai vectơ đó.

? Nếu toạ độ của vectơ $\vec{a}$ là $(x; y; z)$ thì toạ độ của vectơ đối của $\vec{a}$ là gì?

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$. Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau:

a) $\vec{a} - \vec{b}$;    b) $3\vec{a} + 2\vec{b}$.

Giải:

a) Vì $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$ nên $\vec{a} - \vec{b} = (2 - 2;\, 1 - 2;\, 5 - 1) = (0; -1; 4)$.
b) Ta có $3\vec{a} = (3 \cdot 2;\, 3 \cdot 1;\, 3 \cdot 5) = (6; 3; 15)$ và $2\vec{b} = (2 \cdot 2;\, 2 \cdot 2;\, 2 \cdot 1) = (4; 4; 2)$.
Do đó $3\vec{a} + 2\vec{b} = (6 + 4;\, 3 + 4;\, 15 + 2) = (10; 7; 17)$.

Luyện tập 1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{u} = (1; 8; 6), \vec{v} = (-1; 3; -2)$ và $\vec{w} = (0; 5; 4)$. Tìm toạ độ của vectơ $\vec{u} - 2\vec{v} + \vec{w}$.

HĐ2. Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B)$ và $C(x_C; y_C; z_C)$.

a) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tìm toạ độ của $M$ theo toạ độ của $A$ và $B$.
b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ của $G$ theo toạ độ của $A, B$ và $C$.

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; 3), B(3; 2; 1)$ và $C(2; -1; 5)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ và toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Giải:

Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên toạ độ của điểm $M$ là:
$M\left(\dfrac{1 + 3}{2};\, \dfrac{2 + 2}{2};\, \dfrac{3 + 1}{2}\right)$, suy ra $M(2; 2; 2)$.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên toạ độ của điểm $G$ là:
$G\left(\dfrac{1 + 3 + 2}{3};\, \dfrac{2 + 2 + (-1)}{3};\, \dfrac{3 + 1 + 5}{3}\right)$, suy ra $G(2; 1; 3)$.

Luyện tập 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 9; -1), B(9; 4; 5)$ và $G(3; 0; 4)$. Tìm toạ độ điểm $C$ sao cho tam giác $ABC$ nhận $G$ là trọng tâm.

HĐ3. Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$.

a) Giải thích vì sao $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = 0$.
b) Sử dụng biểu diễn $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ để tính các tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{i}, \vec{a} \cdot \vec{j}$ và $\vec{a} \cdot \vec{k}$.
c) Sử dụng biểu diễn $\vec{b} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$ để tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 4; 2)$ và $\vec{b} = (-4; 1; 0)$.

a) Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và cho biết hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có vuông góc với nhau hay không.
b) Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$.

Giải:

a) Ta có: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0$. Do đó, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.
b) Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21}$.

Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, tính $(\vec{a} + \vec{b})^2$.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Giả sử $SA = 2, AB = 3, AD = 4$. Xét hệ toạ độ $Oxyz$ với $O$ trùng $A$ và các tia $Ox, Oy, Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB, AD, AS$ (Hình 2.48).

Hình 2.48

a) Xác định toạ độ của các điểm $S, A, B, C, D$.
b) Tính $BD$ và $SC$.
c) Tính $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})$.

Giải:

a) Vì $A$ trùng gốc toạ độ nên $A(0; 0; 0)$. Vì $B$ thuộc tia $Ox$ và $AB = 3$ nên $B(3; 0; 0)$. Vì $D$ thuộc tia $Oy$ và $AD = 4$ nên $D(0; 4; 0)$. Vì $S$ thuộc tia $Oz$ và $AS = 2$ nên $S(0; 0; 2)$. Vì hình chiếu của $C$ lên các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt là $B, D, A$ nên $C(3; 4; 0)$.
b) Ta có $\overrightarrow{BD} = (0 - 3;\, 4 - 0;\, 0 - 0) = (-3; 4; 0)$, suy ra $BD = |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5$.
Ta có $\overrightarrow{SC} = (3 - 0;\, 4 - 0;\, 0 - 2) = (3; 4; -2)$, suy ra $SC = |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}$.
c) Ta có $\cos(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) = \dfrac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{SC}|} = \dfrac{(-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-2)}{5\sqrt{29}} = \dfrac{7}{5\sqrt{29}}$, suy ra $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) \approx 74{,}9^\circ$.

Luyện tập 4. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0; 2; 1), B(3; -2; 1)$ và $C(-2; 5; 7)$.
a) Tính chu vi của tam giác $ABC$.
b) Tính $\widehat{BAC}$.

Ví dụ 5. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(800; 500; 7)$ đến điểm $B(940; 550; 8)$ trong $10$ phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau $5$ phút tiếp theo là gì?

Hình 2.49

Giải:

Gọi $C(x; y; z)$ là vị trí của máy bay sau $5$ phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ $A$ đến $B$ gấp đôi thời gian bay từ $B$ đến $C$ nên $AB = 2BC$.
Do đó: $$\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \left(\frac{940 - 800}{2};\, \frac{550 - 500}{2};\, \frac{8 - 7}{2}\right) = (70;\, 25;\, 0{,}5)$$ Mặt khác, $\overrightarrow{BC} = (x - 940;\, y - 550;\, z - 8)$ nên: $$\begin{cases} x - 940 = 70 \\ y - 550 = 25 \\ z - 8 = 0{,}5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1\,010 \\ y = 575 \\ z = 8{,}5 \end{cases}$$ Vậy toạ độ của máy bay sau $5$ phút tiếp theo là $(1\,010;\, 575;\, 8{,}5)$.

Luyện tập 5. Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định toạ độ của chiếc máy bay sau $10$ phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm $B$).

Ví dụ 6. Hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Giải:

Vì điểm $A'$ có toạ độ là $(240; 450; 0)$ nên khoảng cách từ $A'$ đến các trục $Ox, Oy$ lần lượt là $450\text{ cm}$ và $240\text{ cm}$. Suy ra $A'A = 450\text{ cm}$ và $A'O' = 240\text{ cm}$. Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{A'B'} = (-120; 0; 300)$, do đó:
$A'B' = |\overrightarrow{A'B'}| = \sqrt{(-120)^2 + 0^2 + 300^2} = 60\sqrt{29} \approx 323\text{ (cm)}$.
Vì $O'O = A'A = 450\text{ cm}$ và $O'$ nằm trên trục $Oy$ nên toạ độ của điểm $O'$ là $(0; 450; 0)$.
Do đó $\overrightarrow{O'B'} = (120; 0; 300)$ và $O'B' = |\overrightarrow{O'B'}| = \sqrt{120^2 + 0^2 + 300^2} = 60\sqrt{29} \approx 323\text{ (cm)}$.
Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là $450\text{ cm}$, chiều rộng là $240\text{ cm}$, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là $323\text{ cm}$.

Luyện tập 6. Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $\alpha$ (Góc $\alpha$ chính là góc giữa mặt bên của căn nhà gỗ và mặt đất).

Ví dụ 7. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{ km}$ về phía nam và $1\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0{,}5\text{ km}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía bắc và $1{,}5\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0{,}8\text{ km}$.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (Hình 2.50), đơn vị đo lấy theo kilômét.

a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ toạ độ đã chọn.
b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình 2.50

Giải:

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có toạ độ lần lượt là $(2; 1; 0{,}5)$ và $(-1; -1{,}5; 0{,}8)$.
b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là: $$\sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1{,}5 - 1)^2 + (0{,}8 - 0{,}5)^2} = \sqrt{15{,}34} \approx 3{,}92\text{ (km)}$$

Luyện tập 7. Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.