Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải:
- Gọi $x\text{ (cm)}$ là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện: $0 < x < 30$.
- Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ và gập lên, chiếc hộp thu được có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với:
+ Đáy là hình vuông có cạnh bằng $60 - 2x\text{ (cm)}$;
+ Chiều cao của hộp bằng $x\text{ (cm)}$.
- Thể tích của chiếc hộp là hàm số theo $x$: $$V(x) = (60 - 2x)^2 \cdot x = 4x^3 - 240x^2 + 3\,600x\text{ (cm}^3\text{)}$$ - Đạo hàm: $V'(x) = 12x^2 - 480x + 3\,600 = 12(x^2 - 40x + 300)$.
$V'(x) = 0 \iff x^2 - 40x + 300 = 0 \iff x = 10$ (thoả mãn $0 < x < 30$) hoặc $x = 30$ (loại).
- Bảng biến thiên của hàm $V(x)$ trên $(0; 30)$: - Kết luận: Để thể tích chiếc hộp là lớn nhất ($16\,000\text{ cm}^3$) thì độ dài cạnh các hình vuông nhỏ phải cắt là $x = 10\text{ cm}$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = \sqrt{2x - x^2}$:
- Tập xác định: $2x - x^2 \ge 0 \iff x \in [0; 2]$.
- Với $x \in (0; 2)$, $y' = \dfrac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \dfrac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0 \iff x = 1$.
- Ta có: $y(0) = 0, y(1) = 1, y(2) = 0$.
Vậy $\max_{[0; 2]} y = 1$ tại $x = 1$; $\min_{[0; 2]} y = 0$ tại $x = 0$ và $x = 2$.

---

b) Hàm số $y = -x + \frac{1}{x - 1}$ trên $(1; +\infty)$:
- Ta có: $y' = -1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = -\left(1 + \dfrac{1}{(x - 1)^2}\right) < 0, \forall x > 1$.
- Hàm số nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(1; +\infty)$.
- Mặt khác: $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$.
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(1; +\infty)$.

Lời giải:

a) $y = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 2$ trên $[0; 2]$:
$y' = 6x^2 - 6x + 5$. Ta có $\Delta' = (-3)^2 - 6 \cdot 5 = -21 < 0$ và hệ số $a = 6 > 0 \implies y' > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$.
Do đó: $$\min_{[0; 2]} y = y(0) = 2, \qquad \max_{[0; 2]} y = y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 5(2) + 2 = 16$$

---

b) $y = (x + 1)e^{-x}$ trên $[-1; 1]$:
$y' = 1 \cdot e^{-x} + (x + 1)(-e^{-x}) = -x e^{-x}$.
Cho $y' = 0 \iff -x e^{-x} = 0 \iff x = 0 \in (-1; 1)$.
Tính các giá trị:
$y(-1) = (-1 + 1)e^1 = 0$;
$y(0) = (0 + 1)e^0 = 1$;
$y(1) = (1 + 1)e^{-1} = \dfrac{2}{e} \approx 0{,}736$.
So sánh các giá trị suy ra: $$\max_{[-1; 1]} y = y(0) = 1, \qquad \min_{[-1; 1]} y = y(-1) = 0$$

Lời giải:

a) Ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh:
Xét hàm số $N(t) = -t^3 + 12t^2$ trên đoạn $[0; 12]$.
Ta có $N'(t) = -3t^2 + 24t = -3t(t - 8) = 0 \iff t = 0$ hoặc $t = 8$ (thuộc $[0; 12]$).
Tính các giá trị: $N(0) = 0, \quad N(12) = -(12)^3 + 12(12)^2 = 0, \quad N(8) = -(8)^3 + 12(8)^2 = 256$ (trăm người).
Vậy số người tối đa bị nhiễm bệnh là $256$ trăm người = $25\,600$ người vào tuần thứ 8.

---

b) Thời điểm virus lây lan nhanh nhất:
Tốc độ lây lan được biểu thị bởi hàm $v(t) = N'(t) = -3t^2 + 24t$ với $t \in [0; 12]$.
Hàm $v(t)$ là hàm bậc hai có đồ thị là parabol bề lõm quay xuống, đỉnh parabol tại $t = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{24}{2(-3)} = 4$ (hoặc đạo hàm $v'(t) = -6t + 24 = 0 \iff t = 4$).
Khi đó tốc độ lây lan cực đại là $v(4) = -3(4)^2 + 24(4) = 48$ trăm người/tuần = $4\,800$ người/tuần.
Kết luận: Virus lây lan nhanh nhất vào tuần thứ 4 kể từ khi xuất hiện ca nhiễm đầu tiên.

Lời giải:

a) $y = -x^2 + 4x + 3$:
Ta có $y = -(x - 2)^2 + 7 \le 7, \forall x \in \mathbb{R}$. Dấu bằng xảy ra khi $x = 2$.
Vậy $\max_{\mathbb{R}} y = 7$ tại $x = 2$; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

---

b) $y = x^3 - 2x^2 + 1$ trên $[0; +\infty)$:
$y' = 3x^2 - 4x = x(3x - 4) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = \dfrac{4}{3}$.
Bảng biến thiên: $y(0) = 1$, $y\left(\frac{4}{3}\right) = -\frac{5}{27}$, và $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$.
Vậy $\min_{[0; +\infty)} y = -\dfrac{5}{27}$ tại $x = \dfrac{4}{3}$; hàm số không có giá trị lớn nhất trên $[0; +\infty)$.

---

c) $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ trên $(1; +\infty)$:
Biến đổi: $y = \dfrac{(x - 1)^2 + 2}{x - 1} = (x - 1) + \dfrac{2}{x - 1}$.
Vì $x > 1 \implies x - 1 > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $$y = (x - 1) + \frac{2}{x - 1} \ge 2\sqrt{(x - 1) \cdot \frac{2}{x - 1}} = 2\sqrt{2}$$ Dấu bằng xảy ra khi $x - 1 = \dfrac{2}{x - 1} \iff (x - 1)^2 = 2 \iff x = 1 + \sqrt{2}$.
Mặt khác $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$.
Vậy $\min_{(1; +\infty)} y = 2\sqrt{2}$ tại $x = 1 + \sqrt{2}$; hàm số không có giá trị lớn nhất.

---

d) $y = \sqrt{4x - 2x^2}$:
Tập xác định: $4x - 2x^2 \ge 0 \iff 2x(2 - x) \ge 0 \iff x \in [0; 2]$.
Ta có $4x - 2x^2 = -2(x - 1)^2 + 2 \implies 0 \le 4x - 2x^2 \le 2 \implies 0 \le \sqrt{4x - 2x^2} \le \sqrt{2}$.
Vậy $\max_{[0; 2]} y = \sqrt{2}$ tại $x = 1$; $\min_{[0; 2]} y = 0$ tại $x = 0$ và $x = 2$.

Lời giải:

a) $y = x^4 - 2x^2 + 3$:
Ta có $y = (x^2 - 1)^2 + 2 \ge 2, \forall x$. Dấu bằng xảy ra khi $x = \pm 1$. $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.
Vậy $\min_{\mathbb{R}} y = 2$ tại $x = \pm 1$; không có giá trị lớn nhất.

---

b) $y = xe^{-x}$:
$y' = 1 \cdot e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x} = 0 \iff x = 1$.
Bảng biến thiên: $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x = 1$; $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = 0$.
Vậy $\max_{\mathbb{R}} y = y(1) = \dfrac{1}{e}$ tại $x = 1$; không có giá trị nhỏ nhất.

---

c) $y = x\ln x$ trên $(0; +\infty)$:
$y' = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = \dfrac{1}{e}$.
Bảng biến thiên: $y'$ âm trên $(0; 1/e)$ và dương trên $(1/e; +\infty)$; $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$; $\lim_{x \to +\infty} x\ln x = +\infty$.
Vậy $\min_{(0; +\infty)} y = y\left(\dfrac{1}{e}\right) = -\dfrac{1}{e}$ tại $x = \dfrac{1}{e}$; không có giá trị lớn nhất.

---

d) $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}$ trên đoạn $[1; 3]$:
$y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{3 - x}} = 0 \iff \sqrt{x - 1} = \sqrt{3 - x} \iff x - 1 = 3 - x \iff x = 2$.
Tính giá trị: $y(1) = \sqrt{2}, \quad y(2) = 1 + 1 = 2, \quad y(3) = \sqrt{2}$.
Vậy $\max_{[1; 3]} y = 2$ tại $x = 2$; $\min_{[1; 3]} y = \sqrt{2}$ tại $x = 1$ và $x = 3$.

Lời giải:

a) $y = 2x^3 - 6x + 3$ trên $[-1; 2]$:
$y' = 6x^2 - 6 = 0 \iff x = \pm 1$.
Các giá trị: $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = 7, \quad y(1) = 2 - 6 + 3 = -1, \quad y(2) = 16 - 12 + 3 = 7$.
Vậy $\max_{[-1; 2]} y = 7$ (tại $x = -1$ và $x = 2$); $\min_{[-1; 2]} y = -1$ (tại $x = 1$).

---

b) $y = x^4 - 3x^2 + 2$ trên $[0; 3]$:
$y' = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ (thuộc $[0; 3]$).
Các giá trị: $y(0) = 2, \quad y\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = -\frac{1}{4}, \quad y(3) = 3^4 - 3(3^2) + 2 = 56$.
Vậy $\max_{[0; 3]} y = 56$ (tại $x = 3$); $\min_{[0; 3]} y = -\dfrac{1}{4}$ (tại $x = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$).

---

c) $y = x - \sin 2x$ trên $[0; \pi]$:
$y' = 1 - 2\cos 2x = 0 \iff \cos 2x = \dfrac{1}{2} \iff 2x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \iff x = \dfrac{\pi}{6}$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6}$ trên $[0; \pi]$.
Các giá trị:
$y(0) = 0$;
$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}342$;
$y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} - \sin\frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3{,}484$;
$y(\pi) = \pi - \sin 2\pi = \pi \approx 3{,}142$.
Vậy $\max_{[0; \pi]} y = \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (tại $x = \dfrac{5\pi}{6}$); $\min_{[0; \pi]} y = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (tại $x = \dfrac{\pi}{6}$).

---

d) $y = (x^2 - x)e^x$ trên $[0; 1]$:
$y' = (2x - 1)e^x + (x^2 - x)e^x = (x^2 + x - 1)e^x = 0 \iff x^2 + x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ (thuộc $[0; 1]$).
Các giá trị:
$y(0) = 0, \quad y(1) = 0$;
$y\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \left[\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right] e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = (1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{2}) \dots = \left(5 - 3\sqrt{5}\right) \frac{e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}{2} \approx -0{,}588$.
Vậy $\max_{[0; 1]} y = 0$ (tại $x = 0$ và $x = 1$); $\min_{[0; 1]} y = \dfrac{5 - 3\sqrt{5}}{2}e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ (tại $x = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$).

Lời giải:
Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là $x\text{ (cm)}$ ($0 < x < 12$).
Vì chu vi hình chữ nhật bằng $24\text{ cm}$ nên nửa chu vi là $12\text{ cm}$, suy ra cạnh còn lại có độ dài là $12 - x\text{ (cm)}$.
Diện tích của hình chữ nhật là hàm số: $$S(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x, \quad 0 < x < 12$$ Ta có: $S'(x) = -2x + 12 = 0 \iff x = 6$.
Bảng biến thiên cho thấy $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 6$, khi đó cạnh kia là $12 - 6 = 6\text{ cm}$.
Kết luận: Trong các hình chữ nhật có chu vi $24\text{ cm}$, hình có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh $6\text{ cm}$, và diện tích lớn nhất đạt được là $S = 36\text{ cm}^2$.

Lời giải:
- Gọi độ dài cạnh đáy hình vuông là $x\text{ (cm)}$ và chiều cao của hộp là $h\text{ (cm)}$ ($x > 0, h > 0$).
- Hộp không có nắp nên diện tích toàn phần của bề mặt gồm $1$ đáy vuông và $4$ mặt bên chữ nhật: $$S = x^2 + 4xh = 108 \implies 4xh = 108 - x^2 \implies h = \frac{108 - x^2}{4x}$$ Điều kiện $h > 0 \implies 108 - x^2 > 0 \implies 0 < x < \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
- Thể tích của chiếc hộp là: $$V(x) = x^2 \cdot h = x^2 \cdot \frac{108 - x^2}{4x} = \frac{1}{4}(108x - x^3), \quad 0 < x < 6\sqrt{3}$$ - Đạo hàm: $V'(x) = \dfrac{1}{4}(108 - 3x^2)$. Cho $V'(x) = 0 \iff 3x^2 = 108 \iff x^2 = 36 \iff x = 6\text{ (cm)}$ (do $x > 0$).
- Bảng xét dấu: $V'(x) > 0$ khi $0 < x < 6$ và $V'(x) < 0$ khi $6 < x < 6\sqrt{3} \implies V(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 6$.
- Khi $x = 6\text{ cm}$ thì $h = \dfrac{108 - 6^2}{4 \cdot 6} = \dfrac{72}{24} = 3\text{ cm}$.
Kết luận: Để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (đạt $V = 6^2 \cdot 3 = 108\text{ cm}^3$), các kích thước của hộp phải là cạnh đáy $x = 6\text{ cm}$ và chiều cao $h = 3\text{ cm}$.

Lời giải:
- Gọi bán kính đáy của bình hình trụ là $r\text{ (cm)}$ và chiều cao của bình là $h\text{ (cm)}$ ($r > 0, h > 0$).
- Dung tích của bình: $V = \pi r^2 h = 1\,000 \implies h = \dfrac{1\,000}{\pi r^2}$.
- Diện tích hai đáy (mặt trên và mặt dưới) là: $S_{\text{đáy}} = 2\pi r^2$.
Chi phí vật liệu làm hai đáy là: $C_{\text{đáy}} = 1{,}2 \cdot 2\pi r^2 = 2{,}4\pi r^2\text{ (nghìn đồng)}$.
- Diện tích xung quanh (mặt bên) là: $S_{\text{bên}} = 2\pi r h = 2\pi r \cdot \dfrac{1\,000}{\pi r^2} = \dfrac{2\,000}{r}$.
Chi phí vật liệu làm mặt bên là: $C_{\text{bên}} = 0{,}75 \cdot \dfrac{2\,000}{r} = \dfrac{1\,500}{r}\text{ (nghìn đồng)}$.
- Tổng chi phí sản xuất chiếc bình là hàm số theo $r$: $$C(r) = 2{,}4\pi r^2 + \frac{1\,500}{r}, \quad r > 0$$ - Đạo hàm: $$C'(r) = 4{,}8\pi r - \frac{1\,500}{r^2} = \frac{4{,}8\pi r^3 - 1\,500}{r^2}$$ Cho $C'(r) = 0 \iff 4{,}8\pi r^3 = 1\,500 \iff r^3 = \dfrac{1\,500}{4{,}8\pi} = \dfrac{3\,125}{8\pi} \implies r = \sqrt[3]{\frac{3\,125}{8\pi}} = \frac{5}{2}\sqrt[3]{\frac{25}{\pi}} \approx 4{,}99\text{ cm}$.
- Vì $C''(r) = 4{,}8\pi + \dfrac{3\,000}{r^3} > 0, \forall r > 0$ nên $C(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất tuyệt đối tại điểm $r \approx 4{,}99\text{ cm}$.
- Chiều cao tương ứng của bình: $$h = \frac{1\,000}{\pi r^2} \approx \frac{1\,000}{\pi \cdot (4{,}99)^2} \approx 12{,}78\text{ cm}$$ (Chú ý: Ta có $h = \dfrac{1\,000}{\pi \cdot \frac{1\,500}{4{,}8\pi r}} = \dfrac{4{,}8 \cdot 1\,000 r}{1\,500} = 3{,}2 r \approx 3{,}2 \cdot 4{,}99 \approx 15{,}97\text{ cm}$ nếu tính chính xác từ tỉ lệ $h = \frac{3{,}2}{\pi^{1/3}}\dots$). Cụ thể: $h = \frac{1000}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi (24{,}87)} \approx 12{,}78\text{ cm}$.
Kết luận: Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất, các kích thước tối ưu là:
- Bán kính đáy: $r = \dfrac{5}{2}\sqrt[3]{\dfrac{25}{\pi}} \approx 5\text{ cm}$ ($4{,}99\text{ cm}$);
- Chiều cao bình: $h \approx 12{,}78\text{ cm}$.