Lý thuyết Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
Lý thuyết trọng tâm về Hệ thức lượng trong tam giác: Định lí côsin, định lí sin, quy tắc giải tam giác và 5 công thức tính diện tích tam giác (kèm công thức Heron), ứng dụng đo đạc thực tế Tháp Rùa và Đảo Yến, cùng 100% lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 3.5 đến Bài 3.11 trang 42-43).
BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 38 - 43)
THUẬT NGỮ CỐT LÕI
- Định lí côsin ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$)
- Định lí sin ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$)
- Các công thức tính diện tích ($S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{abc}{4R} = pr$)
- Công thức Heron ($S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$)
- Giải tam giác và ứng dụng đo đạc thực tế
KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT
- Hiểu và nhớ chính xác định lí côsin, định lí sin, hệ quả và các công thức tính diện tích tam giác.
- Thành thạo kĩ năng giải tam giác trong các trường hợp: biết hai cạnh và góc xen giữa, biết ba cạnh, hoặc biết một cạnh và hai góc kề.
- Biết tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$, nội tiếp $r$, độ dài đường cao và trung tuyến.
- Vận dụng linh hoạt hệ thức lượng để giải quyết bài toán đo khoảng cách thực địa (đo Tháp Rùa, bề rộng đảo, chiều cao toà nhà, đường hầm xuyên núi).
TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU (TRANG 38)
Ngắm Tháp Rùa từ bờ hồ Hoàn Kiếm, chỉ với những dụng cụ đo đạc đơn giản, dễ chuẩn bị (hai cọc tiêu trên bờ hồ, giác kế đo góc và thước dây), ta cũng có thể xác định chính xác khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa nằm giữa mặt hồ mà không cần phải bơi ra hồ hay dùng flycam.
Vấn đề toán học:
Làm thế nào để tính độ dài các cạnh và các góc của một tam giác bất kì khi chỉ biết một số yếu tố góc hoặc cạnh của nó? Hệ thức lượng trong tam giác chính là chìa khoá vạn năng giải quyết vấn đề này!
Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN
Quy ước kí hiệu: Đối với tam giác $ABC$, ta kí hiệu $A, B, C$ là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; $a, b, c$ tương ứng là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$; $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi; $S$ là diện tích; $R, r$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác $ABC$ bất kì với các cạnh $a, b, c$ và các góc $A, B, C$, ta có:
Hệ quả tính số đo góc:
Đúng vậy! Khi tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $\widehat{A} = 90^\circ \implies \cos A = \cos 90^\circ = 0$. Khi đó hệ thức trở thành $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc(0) = b^2 + c^2$, chính là định lí Pythagore quen thuộc.
Ví dụ 1 (SGK tr. 39)
Tính cạnh tam giácCho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120^\circ$ và $AB = 5, AC = 8$. Tính độ dài cạnh $BC$.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$, ta có:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos 120^\circ$$
$$= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 64 + 40 = 129$$
⇒ Vậy $BC = \sqrt{129} \approx 11{,}36$.
Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5, AC = 8$ và $\widehat{A} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
• Cạnh $a = BC$: $a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 45^\circ = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 89 - 40\sqrt{2} \approx 32{,}43 \implies a \approx 5{,}69$.
• Góc $B$: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{32{,}43 + 25 - 64}{2 \cdot 5{,}69 \cdot 5} \approx -0{,}1155 \implies \widehat{B} \approx 96^\circ 38'$.
• Góc $C$: $\widehat{C} = 180^\circ - (45^\circ + 96^\circ 38') \approx 38^\circ 22'$.
2. ĐỊNH LÍ SIN
Từ việc vẽ đường kính $BM = 2R$ đi qua đỉnh $B$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, ta nhận thấy tam giác $BCM$ vuông tại $C$ có $\sin M = \frac{a}{2R}$. Vì góc nội tiếp chắn cùng một cung bằng nhau hoặc bù nhau, ta luôn có $\sin A = \sin M$, dẫn đến định lí sin kì diệu:
ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác $ABC$ bất kì với bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$, ta có tỉ số giữa mỗi cạnh và sin của góc đối diện là một hằng số bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp:
Ví dụ 2 (SGK tr. 40)
Áp dụng định lí sinCho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135^\circ, \widehat{C} = 15^\circ$ và $b = 12$. Tính $a, c, R$ và số đo góc $B$.
Lời giải:
• Ta có góc $\widehat{B} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^\circ - (135^\circ + 15^\circ) = 30^\circ$.
• Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin 135^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 15^\circ} = 2R$.
• Suy ra:
$a = \frac{12}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 135^\circ = \frac{12}{1/2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{12\sqrt{2}} \approx 16{,}97$;
$c = \frac{12}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 15^\circ = 24 \sin 15^\circ \approx \mathbf{6{,}21}$;
$R = \frac{12}{2\sin 30^\circ} = \frac{12}{2 \cdot (1/2)} = \mathbf{12}$.
3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Trường hợp 1 (c-g-c)
Biết hai cạnh và góc xen giữa: Dùng định lí côsin tìm cạnh thứ ba, sau đó tìm các góc còn lại.Trường hợp 2 (c-c-c)
Biết ba cạnh: Dùng hệ quả định lí côsin tìm số đo hai góc, góc thứ ba bằng $180^\circ$ trừ tổng hai góc đó.Trường hợp 3 (g-c-g)
Biết một cạnh và hai góc kề: Tính góc thứ ba qua tổng ba góc, sau đó dùng định lí sin tìm hai cạnh còn lại.Quy trình đo khoảng cách Tháp Rùa từ bờ hồ Hoàn Kiếm
- Bước 1: Trên bờ, chọn vị trí cọc tiêu $A$ và cọc tiêu $B$. Dùng thước dây đo khoảng cách $AB = d$.
- Bước 2: Đứng tại $A$, dùng giác kế ngắm Tháp Rùa ($C$) và cọc tiêu $B$ để đo góc $\alpha = \widehat{CAB}$.
- Bước 3: Đứng tại $B$, dùng giác kế ngắm cọc tiêu $A$ và Tháp Rùa ($C$) để đo góc $\beta = \widehat{CBA}$.
- Bước 4: Trong tam giác $ABC$, ta tính góc $\widehat{ACB} = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Áp dụng định lí sin, khoảng cách từ vị trí $A$ đến Tháp Rùa $C$ là: $$AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{d \cdot \sin \beta}{\sin[180^\circ - (\alpha + \beta)]}$$
4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
| STT | Công thức tính diện tích | Điều kiện / Ứng dụng phù hợp |
|---|---|---|
| 1 | $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ | Khi biết một cạnh đáy và đường cao tương ứng |
| 2 | $S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C$ | Khi biết hai cạnh và góc xen giữa |
| 3 | $S = \frac{abc}{4R} \iff R = \frac{abc}{4S}$ | Khi biết ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ |
| 4 | $S = p \cdot r = \frac{(a+b+c)r}{2} \iff r = \frac{S}{p}$ | Khi liên hệ với bán kính đường tròn nội tiếp $r$ |
| 5 | Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ |
Tuyệt đỉnh khi biết độ dài 3 cạnh ($p = \frac{a+b+c}{2}$) |
Ví dụ 6 (SGK tr. 42) • So sánh hai cách tính diện tích
Tam giác 13, 14, 15Cho tam giác $ABC$ có $a = 13, b = 14, c = 15$. Tính diện tích $S$ bằng hai cách khác nhau.
• $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{252}{420} = 0{,}6$.
• $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$.
⇒ $S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0{,}8 = \mathbf{84}$.
• Nửa chu vi: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
• Các hiệu: $p - a = 8, \ p - b = 7, \ p - c = 6$.
⇒ $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = \mathbf{84}$.
Heron là nhà toán học và kỹ sư vĩ đại của Hy Lạp cổ đại. Ông là người đầu tiên mô tả mô hình động cơ hơi nước sơ khai và chứng minh công thức tính diện tích tam giác độc đáo mang tên mình chỉ dựa vào độ dài ba cạnh.