Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc, hai biến cố bất kì và xác suất biến cố đối.
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc (tức là $A \cap B = \emptyset$), thì xác suất để $A$ hoặc $B$ xảy ra bằng tổng các xác suất của chúng:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
Nếu các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_k$ đôi một xung khắc với nhau (nghĩa là không có bất kì 2 biến cố nào có thể đồng thời xảy ra), thì:
$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)$
Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì (không nhất thiết phải xung khắc) cùng liên quan đến một phép thử, ta có công thức:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Hình 1: Khi tính P(A) + P(B), phần giao A ∩ B bị tính 2 lần, nên ta phải trừ đi P(A ∩ B).
Gọi $\overline{A}$ là biến cố đối của biến cố $A$ (biến cố $A$ không xảy ra). Ta có $A$ và $\overline{A}$ là hai biến cố xung khắc và $A \cup \overline{A} = \Omega$. Do đó:
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
Bài toán: Trong một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để học sinh được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý.
Giải:
Gọi $A$ là biến cố: "Học sinh chọn được giỏi Toán". $P(A) = \frac{15}{40}$.
Gọi $B$ là biến cố: "Học sinh chọn được giỏi Lý". $P(B) = \frac{10}{40}$.
Biến cố $A \cap B$: "Học sinh chọn được giỏi cả Toán và Lý". $P(A \cap B) = \frac{5}{40}$.
Biến cố "Giỏi ít nhất một môn" là $A \cup B$. Theo công thức cộng xác suất:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{15}{40} + \frac{10}{40} - \frac{5}{40} = \frac{20}{40} = 0.5$.
Vậy xác suất là 0.5 (hay 50%).