Toán Lớp 10 Chương III: Hệ thức lượng trong tam giác 3427 lượt xem

Lý thuyết Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Lý thuyết đầy đủ về giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°: Khái niệm nửa đường tròn đơn vị, định nghĩa toạ độ sin, cos, tan, cot, bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt, công thức hai góc bù nhau và phụ nhau, kĩ thuật sử dụng máy tính cầm tay, giải bài toán thực tế cabin đu quay bằng hàm lượng giác, và 100% lời giải chi tiết Bài tập SGK Toán 10 KNTT (Bài 3.1 đến 3.4 trang 37).

TOÁN 10 - TẬP 1 | CHƯƠNG III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180°

Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống • SGK Toán 10 (Trang 33 - 37)

Thời lượng: 2 tiết

THUẬT NGỮ CỐT LÕI

Nửa đường tròn đơn vị
Giá trị lượng giác của một góc ($\sin, \cos, \tan, \cot$)
Hai góc bù nhau ($\sin$ bằng nhau, $\cos, \tan, \cot$ đối nhau)
Hai góc phụ nhau (chéo nhau: $\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot$)
Bấm máy tính cầm tay tính GTLG và tìm góc

KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CẦN ĐẠT

Nhận biết và hiểu bản chất toạ độ của giá trị lượng giác của góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ trên nửa đường tròn đơn vị.
Giải thích và vận dụng thành thạo mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, hai góc phụ nhau.
Sử dụng máy tính cầm tay để tính đúng giá trị lượng giác của một góc và xác định góc khi biết giá trị lượng giác.
Vận dụng kiến thức lượng giác để giải quyết các bài toán thực tế (bài toán chuyển động tròn của cabin đu quay).

NHẮC LẠI KIẾN THỨC: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN (LỚP 9)

Ở lớp 9, trong tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có góc nhọn $\widehat{B} = \alpha$, ta đã định nghĩa các tỉ số lượng giác:

$\sin \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}}$

$\cos \alpha = \frac{c}{a} = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}}$

$\tan \alpha = \frac{b}{c} = \frac{\text{đối}}{\text{kề}}$

$\cot \alpha = \frac{c}{b} = \frac{\text{kề}}{\text{đối}}$

Câu hỏi gợi mở: Tỉ số lượng giác chỉ mới định nghĩa cho góc nhọn ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Vậy với một góc vuông hay góc tù ($90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) thì các giá trị này được định nghĩa như thế nào?

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành ($y \ge 0$) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$). Khi đó, có duy nhất một điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị nói trên sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$ (Hình 3.2).

HĐ1 Vị trí điểm $M$ và toạ độ $(x_0; y_0)$

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị:
• Khi $\alpha = 90^\circ$: $M \equiv C(0; 1)$, nằm trên trục tung $Oy$.
• Khi $\alpha < 90^\circ$ (góc nhọn): $M$ nằm bên phải trục tung ($x_0 > 0, y_0 > 0$).
• Khi $\alpha > 90^\circ$ (góc tù): $M$ nằm bên trái trục tung ($x_0 < 0, y_0 > 0$).
b) Khi $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, hạ $M$ vuông góc với $Ox$ tại $H$:
Ta có tam giác $OHM$ vuông tại $H$ với $OM = 1$: $$\cos \alpha = \frac{OH}{OM} = \frac{x_0}{1} = x_0; \quad \sin \alpha = \frac{MH}{OM} = \frac{y_0}{1} = y_0$$

ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180°

Với mỗi góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$), gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:

• sin của góc $\alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm $M$: $\sin \alpha = y_0$

• côsin của góc $\alpha$ là hoành độ $x_0$ của điểm $M$: $\cos \alpha = x_0$

• Khi $\alpha \ne 90^\circ$ (tức $x_0 \ne 0$), tang của $\alpha$ là: $\tan \alpha = \frac{y_0}{x_0} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

• Khi $\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ$ (tức $y_0 \ne 0$), côtang của $\alpha$ là: $\cot \alpha = \frac{x_0}{y_0} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Hệ quả quan hệ giữa $\tan$ và $\cot$: $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$ hay $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$ (với $\alpha \notin \{0^\circ; 90^\circ; 180^\circ\}$).

Bảng 3.1: Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Cần ghi nhớ

GTLG \ $\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\parallel$ (KXD)	$0$
$\cot \alpha$	$\parallel$ (KXD)	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\parallel$ (KXD)

* Kí hiệu $\parallel$ chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định (mẫu bằng 0).

Ví dụ 1 (SGK tr. 35)

Tính GTLG góc 135°

Đề bài: Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^\circ$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $M$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135^\circ$.

Gọi $N, P$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục $Ox, Oy$.

Vì $\widehat{xOM} = 135^\circ$ nên $\widehat{MON} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$, suy ra tam giác $MON$ vuông cân tại $N$ với cạnh huyền $OM = 1$.

Từ đó ta có: $ON = OP = OM \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vì điểm $M$ nằm bên trái trục tung nên hoành độ mang dấu âm: $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 135^\circ = -1$

$\cot 135^\circ = -1$

Luyện tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 120° (H.3.4)

Gọi $M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 120^\circ$. Khi đó $\widehat{MON} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

$ON = OM \cdot \cos 60^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies x_0 = -\frac{1}{2}$.
$OP = OM \cdot \sin 60^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$

$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$

$\cot 120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

KĨ NĂNG: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY (CASIO fx-580VN X / 880BTG)

Đưa máy về chế độ đo góc bằng độ (Deg): Bấm SHIFT MENU (SETUP) → chọn Đơn vị góc (Angle Unit) → chọn Độ (Degree).

Mục tiêu	Thao tác bấm phím	Kết quả hiển thị
$\sin 48^\circ 50' 40''$	`sin` `48` `°'''` `50` `°'''` `40` `°'''` `=`	$\approx 0{,}7529256291$
$\cos 112^\circ 12' 45''$	`cos` `112` `°'''` `12` `°'''` `45` `°'''` `=`	$\approx -0{,}3780427715$
$\tan 15^\circ$	`tan` `15` `=`	$2 - \sqrt{3}$
Tìm góc $x$ khi $\sin x = 0{,}3456$	`SHIFT` `sin` `0.3456` `=` `°'''`	$x \approx 20^\circ 13' 7''$

Lưu ý: Khi tìm góc $x$ biết $\sin x$, máy tính luôn hiển thị góc nhọn $x_1 \le 90^\circ$. Khi đó bài toán có thể còn có nghiệm góc tù bù với nó: $x_2 = 180^\circ - x_1$.

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

HĐ2 Hai góc bù nhau ($\alpha$ và $180^\circ - \alpha$)

Gọi $M(x_0; y_0)$ và $M'(-x_0; y_0)$ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$ (Hình 3.5).

Hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng nhau qua trục tung $Oy$.
Chúng có cùng tung độ: $y_{M'} = y_M = y_0 \implies \mathbf{\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha}$.
Chúng có hoành độ đối nhau: $x_{M'} = -x_0 = -x_M \implies \mathbf{\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha}$.

ĐỊNH LÍ: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Đối với hai góc bù nhau, $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$, ta có:

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$

$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ ($\alpha \ne 90^\circ$)

$\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)

Khẩu quyết nhớ nhanh: "Sin bù" — Chỉ có hàm sin giữ nguyên dấu, ba hàm còn lại đổi dấu đối nhau.

Ví dụ 2: Tính GTLG của 120°, 135°, 150° qua góc bù

Bảng 3.2

Vì các góc $120^\circ, 135^\circ, 150^\circ$ lần lượt bù với các góc $60^\circ, 45^\circ, 30^\circ$, áp dụng định lí góc bù ta lập được ngay Bảng 3.2:

GTLG \ $\alpha$	$120^\circ$ ($= 180^\circ - 60^\circ$)	$135^\circ$ ($= 180^\circ - 45^\circ$)	$150^\circ$ ($= 180^\circ - 30^\circ$)
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\cos \alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \alpha$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cot \alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$

Luyện tập 2

Mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau ($\alpha$ và $90^\circ - \alpha$) (H.3.6)

Xét hai điểm $M$ và $N$ trên nửa đường tròn đơn vị ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$.

Hai tam giác vuông $\Delta MOP$ và $\Delta NOQ$ có $OM = ON = 1$ và góc nhọn bằng nhau, do đó $\Delta MOP = \Delta NOQ$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$

$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan \alpha$

* Khẩu quyết: "Phụ chéo" — Sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

VẬN DỤNG THỰC TIỄN (SGK TR. 37): BÀI TOÁN CHIẾC ĐU QUAY

Một chiếc đu quay có bán kính $75\text{ m}$, tâm của vòng quay ở độ cao $90\text{ m}$ (Hình 3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là $30\text{ phút}$.
Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau $20\text{ phút}$ quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải chi tiết bằng mô hình lượng giác:

1. Xác định tốc độ góc của đu quay:
Mỗi vòng quay thực hiện hết $360^\circ$ trong $30\text{ phút}$, nên vận tốc góc quay là: $$\omega = \frac{360^\circ}{30} = 12^\circ/\text{phút}$$

2. Xác định góc quay sau 20 phút:
Sau $20\text{ phút}$, góc quay được là: $$\alpha = 12^\circ \times 20 = 240^\circ$$

3. Xác định vị trí cabin so với tâm đu quay:
• Người đó xuất phát tại vị trí thấp nhất (ở đáy đu quay).
• Sau khi quay $180^\circ$ (hết $15\text{ phút}$), cabin lên tới điểm cao nhất.
• Trong $5\text{ phút}$ tiếp theo, đu quay quay thêm một góc: $240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$ so với phương thẳng đứng tại đỉnh.
• Chiều cao của cabin so với trục nằm ngang đi qua tâm đu quay là: $$y = R \cdot \cos 60^\circ = 75 \cdot \frac{1}{2} = 37{,}5\text{ (m)}$$

4. Độ cao của người đó so với mặt đất: $$h = 90 + y = 90 + 37{,}5 = 127{,}5\text{ (m)}$$ Vậy sau $20\text{ phút}$ quay, người đó ở độ cao $127{,}5\text{ mét}$ so với mặt đất.

Hình 3.7: Mô hình toán học toạ độ chiếc đu quay

Làm bài tập củng cố của bài này →