Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Phép chiếu song song (Toán 11 KNTT)
BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG
Khám phá chiếc cầu nối kì diệu giữa không gian 3 chiều và trang giấy phẳng 2 chiều: nắm vững khái niệm mặt phẳng chiếu, phương chiếu; các tính chất bảo toàn thẳng hàng, song song và tỉ số đoạn thẳng; quy tắc vẽ hình biểu diễn chuẩn xác cùng ứng dụng công nghệ đồ hoạ hiện đại.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Công nghệ Goal-line trong bóng đá đỉnh cao
Trong các trận cầu đỉnh cao (World Cup, Ngoại Hạng Anh), công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định chính xác quả bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi khung thành hay chưa, giúp trọng tài đưa ra quyết định bàn thắng chỉ trong tích tắc.
Câu hỏi gợi mở (Trang 95 SGK): Yếu tố hình học nào cho ta biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay chưa?
👉 Trả lời: Người ta xét hình chiếu vuông góc (hình chiếu song song theo phương thẳng đứng) của toàn bộ quả bóng tròn xuống mặt cỏ. Chỉ khi hình chiếu này nằm hoàn toàn phía sau mép trong của vạch vôi thì bàn thắng mới được công nhận!
Một bàn thắng được ghi khi hình chiếu quả bóng vượt qua vạch vôi
Phép Chiếu Song Song
Một khung cửa sổ hình tròn có các chấn song tạo thành hình vuông $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Dưới ánh mặt trời, khung cửa sổ đổ bóng lên sàn nhà (Hình 4.56a):
- Các tia sáng Mặt Trời là các đường thẳng đôi một song song với nhau.
- Các đường nối mỗi điểm $A, B, C, D$ với bóng $A', B', C', D'$ đôi một song song.
- Bóng của hình tròn đổ xuống sàn nhà là một hình elip!
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian, ta xác định điểm $M'$ như sau:
- Nếu $M \in \Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
- Nếu $M \notin \Delta$ thì qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $\Delta$, cắt $(\alpha)$ tại $M'$.
• Điểm $M'$ gọi là hình chiếu song song của điểm $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Phép đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với hình chiếu $M'$ của nó gọi là phép chiếu song song lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Mặt phẳng $(\alpha)$ gọi là mặt phẳng chiếu; đường thẳng $\Delta$ (hay phương của nó) gọi là phương chiếu.
• Cho hình $\mathcal{H}$. Tập hợp $\mathcal{H}'$ các hình chiếu $M'$ của tất cả các điểm $M \in \mathcal{H}$ gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ qua phép chiếu song song.
Hình chiếu của khung chữ "A" bằng dây thép trên mặt bàn
Bóng đổ của người gánh hàng rong trên phố Hội An dưới ánh mặt trời
Nếu một đường thẳng cùng phương với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng chiếu chỉ là một điểm duy nhất!
Do đó, khi xét hình chiếu của đường thẳng, nếu không nói gì thêm, ta ngầm hiểu đường thẳng đó không cùng phương với phương chiếu.
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ (Hình 4.58). Hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$ theo phương $BC$ chính là điểm $D$ (vì $AD // BC$ và $D \in (DCGH)$).
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (Hình 4.57):
• Hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$ là điểm $A'$ (vì $AA' // CC'$).
• Với $M \in AB$, kẻ $MM' // AA' \implies M'$ thuộc $A'B'$. Vậy $M'$ là hình chiếu của $M$ trên $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.
Tính Chất Của Phép Chiếu Song Song
Ba Tính Chất Cơ Bản Của Phép Chiếu Song Song
Bảo toàn tính thẳng hàng
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng. Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Bảo toàn quan hệ song song
Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (khi cùng nằm trên mặt phẳng chiếu).
Bảo toàn tỉ số độ dài
Giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Hình 4.59: $\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$ (khi cùng đường thẳng hoặc song song)
Hình chiếu song song của hình bình hành $ABCD$ là tứ giác $A'B'C'D'$ (Hình 4.60):
• Do $AB // CD \implies A'B' // C'D'$.
• Do $AD // BC \implies A'D' // B'C'$.
👉 Tứ giác $A'B'C'D'$ có các cạnh đối song song nên là hình bình hành!
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$ (Hình 4.62):
• Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số $\frac{BM}{MC} = 1 \implies \frac{B'M'}{M'C'} = 1$.
• Suy ra $M'$ là trung điểm của $B'C'$.
👉 Biến đường trung tuyến $AM$ thành đường trung tuyến $A'M'$, biến trọng tâm thành trọng tâm!
Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian
📌 Định nghĩa: Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó (hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó).
Các hình biểu diễn phải tuân thủ nghiêm ngặt quy ước nét vẽ: nét liền (—) cho các cạnh nhìn thấy, nét đứt (- - -) cho các cạnh bị che khuất.
| Hình trong không gian | Hình biểu diễn trên mặt phẳng | Quy tắc cần lưu ý |
|---|---|---|
| Tam giác bất kì (cân, đều, vuông) | Một tam giác thường | Phép chiếu không bảo toàn góc và độ dài, chỉ bảo toàn trung điểm và tỉ số đoạn thẳng. |
| Hình vuông, chữ nhật, thoi, hình bình hành | Một hình bình hành | Bảo toàn quan hệ song song của các cặp cạnh đối diện. |
| Hình thang | Một hình thang | Bắt buộc bảo toàn tỉ số hai đáy: $\frac{A'B'}{C'D'} = \frac{AB}{CD}$. |
| Hình tròn | Một hình elip | Hai đường kính vuông góc của hình tròn biểu diễn thành hai đường kính liên hợp của elip. |
Bản vẽ kĩ thuật (Công nghệ 8 & 10)
Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh chính là hình chiếu song song vuông góc!
Vẽ hình biểu diễn hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ đáy hình thang với $AB = 2CD$ (Hình 4.64).
Đáy $ABCD$ vẽ thành hình thang có đáy $AB$ dài gấp đôi đáy $CD$. Các mặt bên vẽ thành các hình bình hành.
Vẽ chữ 3D dạng nổi (Chữ E, L, N, T...)
Sử dụng phép chiếu song song để tạo chiều sâu nổi khối sống động trong đồ hoạ typography.
Em Có Biết? — Ảo Ảnh Quang Học & Phép Chiếu Phối Cảnh
Phép chiếu song song không tuân theo luật xa gần của mắt người (ở gần thì to, ở xa thì nhỏ). Do đó nó có thể tạo ra các vật thể bất khả thi (Impossible objects) đánh lừa thị giác người xem:
- Thác nước Escher: Nước chảy vòng tròn khép kín nhưng dường như luôn chảy xuống dốc!
- Cầu thang Penrose: Bậc thang bốn cạnh khép kín, đi mãi vẫn thấy đang leo lên!
Thác nước Escher
Cầu thang Penrose
Hai đường ray song song dường như cắt nhau ở xa vô tận