Chuyên đề 11: Tuyển chọn Kỹ thuật giải Phương trình Lượng giác 9+

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
1. Áp dụng quy tắc ba điểm, ta phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ qua đỉnh $B$: $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$$ 2. Vì $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$ 3. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai cạnh đối $BC$ và $AD$ song song và bằng nhau, suy ra $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Do đó: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ 4. Thay vào đẳng thức ban đầu, ta được: $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
Ta có gốc toạ độ $O(0; 0)$ và các điểm $M(1; 3), N(4; 2)$.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng:
- Vectơ $\overrightarrow{OM} = (1 - 0;\; 3 - 0) = (1; 3) \Rightarrow OM = |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
- Vectơ $\overrightarrow{ON} = (4 - 0;\; 2 - 0) = (4; 2) \Rightarrow ON = |\overrightarrow{ON}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
- Vectơ $\overrightarrow{MN} = (4 - 1;\; 2 - 3) = (3; -1) \Rightarrow MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.

b) Chứng minh tam giác $OMN$ vuông cân:
- Vì $OM = MN = \sqrt{10}$ nên tam giác $OMN$ cân tại $M$.
- Xét tổng bình phương hai cạnh: $$OM^2 + MN^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20.$$ Mặt khác: $$ON^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20.$$ Suy ra $OM^2 + MN^2 = ON^2$. Theo định lí Pythagore đảo, tam giác $OMN$ vuông tại $M$.
Vậy tam giác $OMN$ vuông cân tại $M$.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
1. Chèn hai điểm $M$ và $N$ vào các vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$$ $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$$ 2. Cộng vế với vế hai đẳng thức trên: $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{AM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND})$$ - Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} = \vec{0}$.
- Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND} = \vec{0}$.
Suy ra: $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} \quad (1)$$ 3. Chứng minh tương tự với $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NC}$$ $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND}$$ Cộng hai vế ta được: $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}) + 2\overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{ND}) = 2\overrightarrow{MN} \quad (2)$$ Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.
Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
a) Tìm mối liên hệ giữa $\overrightarrow{MN}$ và $2\vec{a} - \vec{b}$:
- Từ $\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} \Rightarrow \vec{a} = (3; -2)$.
- Ta có $2\vec{a} = (6; -4)$ và $\vec{b} = (4; -1)$.
Suy ra: $2\vec{a} - \vec{b} = (6 - 4;\; -4 - (-1)) = (2; -3)$.
- Mặt khác: $\overrightarrow{MN} = (3 - (-3);\; -3 - 6) = (6; -9)$.
Nhận thấy $(6; -9) = 3(2; -3)$, do đó: $$\overrightarrow{MN} = 3(2\vec{a} - \vec{b}).$$ b) Xét ba điểm $O, M, N$:
Ta có $\overrightarrow{OM} = (-3; 6)$ và $\overrightarrow{ON} = (3; -3)$.
Vì $\frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3}$ (do $-1 \neq -2$) nên hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ không cùng phương.
Do đó ba điểm $O, M, N$ không thẳng hàng.

c) Tìm toạ độ điểm $P(x; y)$ để $OMNP$ là hình bình hành:
Tứ giác $OMNP$ là hình bình hành khi và chỉ khi: $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MN} \quad (\text{hoặc } \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP} \Leftrightarrow \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{MN}).$$ Ta có $\overrightarrow{OP} = (x; y)$ và $\overrightarrow{MN} = (6; -9)$.
Do đó: $$\begin{cases} x = 6 \\ y = -9 \end{cases}$$ Vậy điểm cần tìm là $P(6; -9)$.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
a) Xác định vị trí của điểm $K$:
Ta có: $$\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0} \iff \overrightarrow{KA} + 2(\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0}$$ $$\iff 3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0} \iff -3\overrightarrow{AK} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0}$$ $$\iff \overrightarrow{AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$$ Đẳng thức này cho thấy: - Hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng (vì hệ số $\frac{2}{3} > 0$). - Độ dài $AK = \frac{2}{3}AB$. Do đó điểm $K$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK = 2KB$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{OK}$ theo $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$:
Với điểm $O$ bất kì, ta chèn điểm $O$ vào đẳng thức $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$: $$(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OK}) + 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OK}) = \vec{0}$$ $$\iff \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OK} = \vec{0} \iff 3\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$$ $$\iff \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$ Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
a) Chứng minh $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác:
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (2 - 1;\; 4 - 3) = (1; 1)$ và $\overrightarrow{AC} = (-3 - 1;\; 2 - 3) = (-4; -1)$.
Vì $\frac{1}{-4} \neq \frac{1}{-1}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
Do đó ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng, hay $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$:
Áp dụng công thức toạ độ trung điểm: $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}; \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}.$$ Vậy $M\left(\frac{3}{2};\; \frac{7}{2}\right)$.

c) Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
Áp dụng công thức toạ độ trọng tâm: $$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 2 + (-3)}{3} = 0; \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 4 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3.$$ Vậy $G(0; 3)$.

d) Tìm điểm $D(x; y)$ để $O(0; 0)$ là trọng tâm tam giác $ABD$:
Điểm $O(0; 0)$ là trọng tâm tam giác $ABD$ khi và chỉ khi: $$\begin{cases} x_O = \frac{x_A + x_B + x_D}{3} \\ y_O = \frac{y_A + y_B + y_D}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 = \frac{1 + 2 + x}{3} \\ 0 = \frac{3 + 4 + y}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -3 \\ y = -7 \end{cases}$$ Vậy điểm cần tìm là $D(-3; -7)$.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
a) Xác định vị trí điểm $M$:
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$.
Theo tính chất trung điểm, với điểm $M$ bất kì ta luôn có: $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$$ Thay vào đẳng thức đã cho: $$2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0} \iff 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC}) = \vec{0} \iff \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$$ Đẳng thức $\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$ chứng tỏ $M$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $IC$.

b) Hệ thức với điểm $O$ bất kì:
Ta có: $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}) + 2(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC})$$ $$= 4\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}) = 4\overrightarrow{OM} + \vec{0} = 4\overrightarrow{OM}$$ Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
Gọi $B(x; y)$ là vị trí của tàu thuỷ trên mặt phẳng toạ độ sau khi khởi hành $1,5$ giờ.
Vì tàu chuyển động thẳng đều từ vị trí $A(1; 2)$ với vận tốc $\vec{v} = (3; 4)$ nên độ dịch chuyển của tàu sau thời gian $t = 1,5$ giờ được biểu thị bởi vectơ: $$\overrightarrow{AB} = 1,5\vec{v} = 1,5(3; 4) = (1,5 \cdot 3;\; 1,5 \cdot 4) = (4,5;\; 6).$$ Mặt khác: $$\overrightarrow{AB} = (x - x_A;\; y - y_A) = (x - 1;\; y - 2).$$ Do đó ta có hệ phương trình: $$\begin{cases} x - 1 = 4,5 \\ y - 2 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4,5 + 1 = 5,5 \\ y = 6 + 2 = 8 \end{cases}$$ Vậy sau khi khởi hành $1,5$ giờ, tàu thuỷ ở vị trí có toạ độ $B(5,5;\; 8)$.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
1. Vì chất điểm $A$ ở trạng thái cân bằng nên: $$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0} \iff \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = -\vec{F}_3$$ Đặt $\vec{F}_{12} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. Khi đó $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_3$, nghĩa là vectơ $\vec{F}_{12}$ và $\vec{F}_3$ là hai vectơ đối nhau.
Suy ra: - Độ lớn: $|\vec{F}_{12}| = |\vec{F}_3|$. - Hướng: $\vec{F}_{12}$ ngược hướng với $\vec{F}_3$. 2. Theo giả thiết, góc giữa $\vec{F}_2$ và $\vec{F}_3$ là $120^\circ$. Do $\vec{F}_{12}$ ngược hướng với $\vec{F}_3$ nên góc giữa $\vec{F}_{12}$ và $\vec{F}_2$ là: $$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ 3. Do $\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2$, quy tắc hình bình hành cho thấy hợp lực $\vec{F}_{12}$ tạo với $\vec{F}_1, \vec{F}_2$ một tam giác vuông tại đỉnh của $\vec{F}_2$. Trong tam giác vuông này: - $\tan 60^\circ = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_2|} \implies |\vec{F}_2| = \frac{|\vec{F}_1|}{\tan 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ N} \approx 11{,}55\text{ N}$. - $\sin 60^\circ = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_{12}|} = \frac{|\vec{F}_1|}{|\vec{F}_3|} \implies |\vec{F}_3| = \frac{|\vec{F}_1|}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ N} \approx 23{,}09\text{ N}$.
Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn giải chi tiết (Chuẩn SGK Toán 10):
Theo luật cờ vua, quân mã di chuyển theo hình chữ L (gồm 2 ô theo một chiều và 1 ô theo chiều vuông góc còn lại).
Do đó, vectơ dịch chuyển $\vec{u} = (\Delta x; \Delta y)$ của quân mã có thể nhận một trong 8 cặp giá trị: $$(\pm 1; \pm 2) \quad \text{hoặc} \quad (\pm 2; \pm 1).$$ Từ vị trí ban đầu $(x_0; y_0) = (1; 2)$, toạ độ mới $(x; y) = (1 + \Delta x;\; 2 + \Delta y)$ phải thoả mãn điều kiện nằm trong phạm vi bàn cờ $8 \times 8$, tức là $0 \le x \le 7$ và $0 \le y \le 7$:
1. $\vec{u} = (-1; -2) \Rightarrow (1 - 1;\; 2 - 2) = (0; 0)$ (thoả mãn).
2. $\vec{u} = (1; -2) \Rightarrow (1 + 1;\; 2 - 2) = (2; 0)$ (thoả mãn).
3. $\vec{u} = (-1; 2) \Rightarrow (1 - 1;\; 2 + 2) = (0; 4)$ (thoả mãn).
4. $\vec{u} = (1; 2) \Rightarrow (1 + 1;\; 2 + 2) = (2; 4)$ (thoả mãn).
5. $\vec{u} = (-2; -1) \Rightarrow (1 - 2;\; 2 - 1) = (-1; 1)$ (loại vì $x = -1 < 0$ nằm ngoài bàn cờ).
6. $\vec{u} = (-2; 1) \Rightarrow (1 - 2;\; 2 + 1) = (-1; 3)$ (loại vì $x = -1 < 0$ nằm ngoài bàn cờ).
7. $\vec{u} = (2; -1) \Rightarrow (1 + 2;\; 2 - 1) = (3; 1)$ (thoả mãn).
8. $\vec{u} = (2; 1) \Rightarrow (1 + 2;\; 2 + 1) = (3; 3)$ (thoả mãn).

Quan sát Hình 4.38: tại ô $(3; 1)$ có một quân tốt đen đứng, theo luật cờ vua quân mã có thể di chuyển đến ô này để bắt quân cờ đó; các ô còn lại đều hợp lệ và quân mã nhảy qua được các ô khác.
Vậy sau một nước đi, quân mã có thể đến 6 vị trí có toạ độ là: $$(0; 0),\; (2; 0),\; (3; 1),\; (3; 3),\; (0; 4),\; (2; 4).$$