Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Hai đường thẳng song song (Toán 11 KNTT)
BÀI 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Khám phá 4 vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau; nắm vững tiên đề đường thẳng song song, tính chất bắc cầu, và định lí ba đường giao tuyến kinh điển làm nền tảng tìm giao tuyến và thiết diện.
Tình huống thực tiễn mở đầu: Nút giao thông đa tầng đô thị
Để giải quyết vấn đề ùn tắc giao thông ở các thành phố lớn, các nhà quy hoạch đã xây dựng hệ thống cầu vượt, đường bộ và đường sắt trên cao:
- Tuyến đường bộ mặt đất: (1) và (2).
- Tuyến đường vành đai trên cao: (3).
- Tuyến đường sắt đô thị trên cao: (4).
Hình 4.13: Tuyến đường bộ (1, 2), vành đai (3), đường sắt trên cao (4)
Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Trong Không Gian
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian. Có hai khả năng xảy ra về tính đồng phẳng:
Hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng $(\alpha)$. Khi đó có 3 trường hợp như hình học phẳng:
- Cắt nhau: $a \cap b = \{M\}$ (có đúng 1 điểm chung).
- Song song: $a // b$ (cùng thuộc $(\alpha)$ và không có điểm chung).
- Trùng nhau: $a \equiv b$ (vô số điểm chung).
Hai đường thẳng $a$ và $b$ không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.
Hình 4.14: Cắt nhau $a \cap b = \{M\}$, Song song $a // b$, Trùng nhau $a \equiv b$
Hình 4.15: Hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
- Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song. Kí hiệu mặt phẳng đó là $(a, b)$.
Lưu ý vàng: Không điểm chung $\Rightarrow$ Có thể song song HOẶC chéo nhau!
Dệt vải bằng khung cửi: Các sợi chỉ dọc song song trên cùng mặt phẳng dệt
Hành lang an ninh: Các tia laser đôi một không cắt nhau tạo ma trận bảo vệ
Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng (Hình 4.16).
a) Cặp đường thẳng cắt nhau: $AB$ và $BC$; $AB$ và $DA$; $BC$ và $CD$; $CD$ và $DA$.
Cặp song song: $AB // CD$ và $DA // BC$.
b) Ba đường thẳng $AB, AF, BE$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABEF)$, do đó trong 3 đường này không có hai đường thẳng nào chéo nhau.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (Hình 4.17). Gọi $M, N$ là trung điểm $SA, SB$.
a) Trong các đường thẳng $AB, AC, CD$: cặp song song là $AB // CD$; cặp cắt nhau là $AB$ cắt $AC$ (tại $A$).
b) Trong các đường thẳng $SA, MN, AB$: Do $M \in SA, N \in SB$, đoạn $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB \implies SA, MN, AB$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAB)$. Do đó không có hai đường nào chéo nhau.
Chứng minh $AB$ và $CD$ chéo nhau bằng phản chứng: Nếu $AB$ và $CD$ cùng thuộc 1 mặt phẳng thì 4 điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng (mâu thuẫn với $ABCD$ là tứ diện).
✨ Trong tứ diện $ABCD$ có đúng 3 cặp cạnh chéo nhau đối diện: $(AB, CD)$, $(AC, BD)$, $(AD, BC)$.
Trong hình chóp tứ giác $S.ABCD$ (đáy là tứ giác lồi):
• Đường chéo với $SA$: Là các đường thẳng không cắt $SA$ và không đồng phẳng với $SA$, gồm: $BC, CD$.
• Đường chéo với $BC$: Là các đường $SA, SD$.
Một chiếc gậy đặt một đầu tựa vào tường, đầu kia trên sàn. Đường thẳng chứa chiếc gậy chéo nhau với các mép tường thẳng đứng hoặc mép chân tường không đi qua điểm tựa của chiếc gậy.
Tính Chất Của Hai Đường Thẳng Song Song
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Thực tế: Các chùm tia sáng Mặt Trời chiếu xuống Trái Đất coi như các tia song song!
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB, CD, AD, BC, AC, BD$ (Hình 4.22).
a) Chứng minh tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành:
Trong tam giác $ABC$, $MQ$ là đường trung bình nên $MQ // AC$ và $MQ = \frac{1}{2}AC$.
Trong tam giác $ACD$, $PN$ là đường trung bình nên $PN // AC$ và $PN = \frac{1}{2}AC$.
Suy ra $\begin{cases} MQ // PN \\ MQ = PN \end{cases} \implies MPNQ$ là hình bình hành.
b) Các đoạn thẳng $MN, PQ, RS$ đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn:
Do $MPNQ$ là hình bình hành nên hai đường chéo $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Chứng minh tương tự, tứ giác $MRNS$ cũng là hình bình hành $\implies MN$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy $MN, PQ, RS$ cùng đi qua một điểm $I$ (trọng tâm của tứ diện).
Định Lí Về Ba Đường Giao Tuyến (Định Lí Giao Tuyến)
Trường hợp 1: Ba giao tuyến $a, b, c$ đồng quy tại điểm $M$ (Hình 4.23)
Trường hợp 2: Ba giao tuyến $a // b // c$ đôi một song song (Hình 4.24)
Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành (Hình 4.25). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.
Giải: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$.
Do đó, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $m$ đi qua $S$ và song song với $AB, CD$.
Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng (Hình 4.26). Mép nước $AB$ luôn song song với cạnh $CD$ của đáy bể.
Giải thích: Mặt nước nằm ngang cắt hai thành kính bên song song theo hai đoạn mép song song. Theo định lí giao tuyến, mép nước $AB$ trên mặt trước sẽ luôn song song với cạnh đáy $CD$ của bể kính.
Em Có Biết? — Mặt Hypebol (Hyperboloid) Trong Đời Sống & Kiến Trúc
Cố định một đường thẳng $\Delta$ thẳng đứng (trục xoay) và quay một đường thẳng $d$ tuỳ ý trong không gian quanh trục $\Delta$:
- Nếu $d // \Delta \implies$ Quỹ đạo quét tạo thành mặt trụ tròn xoay.
- Nếu $d$ cắt $\Delta \implies$ Quỹ đạo quét tạo thành mặt nón tròn xoay.
- Nếu $d$ và $\Delta$ chéo nhau $\implies$ Hình tạo ra là một mặt hypebol một tầng (Hyperboloid of one sheet)!
