Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Toán 11 KNTT)
BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
Nắm vững bản chất, quy tắc và công thức tính toán 4 số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm: Số trung bình, Trung vị, Tứ phân vị và Mốt. Hiểu rõ ý nghĩa thực tiễn, ưu điểm và phạm vi ứng dụng trong phân tích dữ liệu thống kê đời sống.
Tình huống mở đầu (Bảng 3.1)
| Số tiền (nghìn đồng) | $[0; 30)$ | $[30; 60)$ | $[60; 90)$ | $[90; 120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng (tần số $m_i$) | 3 | 15 | 10 | 7 |
Bảng 3.1: Số tiền khách hàng mua xăng tại cửa hàng
Số Trung Bình Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong một lớp theo mẫu phiếu điều tra.
- a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được với các nhóm: $[0; 1,5), [1,5; 3), [3; 4,5), [4,5; 6)$.
- b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp từ phiếu này không? (Không thể, do dữ liệu cá nhân chỉ ghi theo khoảng).
- c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình? (Thay mỗi khoảng bằng giá trị đại diện là trung bình cộng hai đầu mút của nhóm đó).
Phiếu điều tra thời gian tự học
Mẫu số liệu ghép nhóm tổng quát (Bảng 3.2):
| Nhóm giá trị | $[a_1; a_2)$ | $\dots$ | $[a_i; a_{i+1})$ | $\dots$ | $[a_k; a_{k+1})$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $m_1$ | $\dots$ | $m_i$ | $\dots$ | $m_k$ |
- $n = m_1 + m_2 + \dots + m_k$ là cỡ mẫu (tổng số lượng quan sát).
- $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i: [a_i; a_{i+1})$ ($i = 1, 2, \dots, k$).
Chú ý: Kĩ thuật hiệu chỉnh mẫu số liệu rời rạc (Trang 63 SGK)
Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng $k_1 - k_2$, trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$ (hiểu là gồm các giá trị $k_1, k_1 + 1, \dots, k_2$). Trước khi tính toán các số đặc trưng, ta cần hiệu chỉnh mẫu số liệu ghép nhóm về dạng chuẩn nửa khoảng liên tục bằng quy tắc:
Ví dụ: Nhóm điểm thi $1 - 4$ hiệu chỉnh thành $[0,5; 4,5)$; nhóm $5 - 7$ thành $[4,5; 7,5)$; nhóm $8 - 10$ thành $[7,5; 10,5]$.
| Cân nặng (kg) | $[40,5; 45,5)$ | $[45,5; 50,5)$ | $[50,5; 55,5)$ | $[55,5; 60,5)$ | $[60,5; 65,5)$ | $[65,5; 70,5)$ |
| Giá trị đại diện $x_i$ | 43 | 48 | 53 | 58 | 63 | 68 |
| Số học sinh ($m_i$) | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 | 3 |
Tổng số học sinh là cỡ mẫu: $n = 10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42$.
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là:
$$\bar{x} = \frac{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}{42} = \frac{2176}{42} \approx 51,81 \text{ (kg)}.$$Lời giải: Cỡ mẫu $n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32$.
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $x_1 = 2,5; \, x_2 = 7,5; \, x_3 = 12,5; \, x_4 = 17,5; \, x_5 = 22,5$.
$$\bar{x} = \frac{8 \cdot 2,5 + 16 \cdot 7,5 + 4 \cdot 12,5 + 2 \cdot 17,5 + 2 \cdot 22,5}{32} = \frac{20 + 120 + 50 + 35 + 45}{32} = \frac{270}{32} = 8,4375 \text{ (giờ)}.$$Trung Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của $21$ cây giống: $[0; 5)$ có 3 cây; $[5; 10)$ có 8 cây; $[10; 15)$ có 7 cây; $[15; 20)$ có 3 cây.
Gọi $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{21}$ là dãy mẫu số liệu gốc đã sắp xếp. Trung vị mẫu gốc là giá trị chính giữa $x_{11}$.
Do $x_1, x_2, x_3 \in [0; 5)$ và $x_4, \dots, x_{11} \in [5; 10)$ nên trung vị chắc chắn thuộc nhóm thứ hai là $[5; 10)$.
Cỡ mẫu là $n$. Nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p: [a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tần số tích lũy thoả mãn: $$m_1 + m_2 + \dots + m_p \ge \frac{n}{2}$$
- $n$ là cỡ mẫu; $m_p$ là tần số của nhóm chứa trung vị $p$.
- $a_p, a_{p+1}$ lần lượt là đầu mút trái và đầu mút phải của nhóm thứ $p$.
- Quy ước: Với $p = 1$, ta xem $m_1 + \dots + m_{p-1} = 0$.
Các nhóm: $[9,5; 12,5)$ có 3; $[12,5; 15,5)$ có 12; $[15,5; 18,5)$ có 15; $[18,5; 21,5)$ có 24; $[21,5; 24,5)$ có 2.
Cỡ mẫu $n = 56 \implies \frac{n}{2} = 28$. Trung vị là $\frac{x_{28} + x_{29}}{2}$.
Tần số tích lũy: Nhóm 1 có 3; Nhóm 2 có $3 + 12 = 15$; Nhóm 3 có $15 + 15 = 30 \ge 28$.
Do đó, nhóm chứa trung vị là nhóm thứ ba: $[15,5; 18,5)$ ($p = 3$).
Ta có: $a_3 = 15,5; \, m_3 = 15; \, m_1 + m_2 = 15; \, a_4 - a_3 = 3$.
$$M_e = 15,5 + \frac{28 - 15}{15} \cdot 3 = 15,5 + \frac{13 \cdot 3}{15} = 15,5 + 2,6 = 18,1 \text{ (phút)}.$$| Tốc độ $v$ (km/h) | $[150; 155)$ | $[155; 160)$ | $[160; 165)$ | $[165; 170)$ | $[170; 175)$ | $[175; 180)$ |
| Số lần ($m_i$) | 18 | 28 | 35 | 43 | 41 | 35 |
Cỡ mẫu $n = 200 \implies \frac{n}{2} = 100$. Tần số tích lũy: $18 \to 46 \to 81 \to 124 \ge 100$.
Nhóm chứa trung vị là $[165; 170)$ ($p = 4, a_4 = 165, m_4 = 43, \sum_{i=1}^3 m_i = 81, h = 5$).
$$M_e = 165 + \frac{100 - 81}{43} \cdot 5 = 165 + \frac{95}{43} \approx 167,21 \text{ (km/h)}.$$Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Với mẫu số liệu ở HĐ2 (21 cây giống), ta xác định các điểm chia dữ liệu thành 4 phần bằng nhau:
- $Q_1$ (tứ phân vị thứ nhất) chia lấy 25% giá trị đầu tiên.
- $Q_2$ (tứ phân vị thứ hai) chính là trung vị $M_e$.
- $Q_3$ (tứ phân vị thứ ba) chia lấy 75% giá trị đầu tiên.
Bản chất phân vị 25% - 50% - 75%
Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm $p: [a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tổng tần số tích lũy $\ge \frac{n}{4}$.
Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm $p: [a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tổng tần số tích lũy $\ge \frac{3n}{4}$.
Tính $Q_1$: Ta có $\frac{n}{4} = \frac{56}{4} = 14$. Do $m_1 = 3 < 14 \le m_1 + m_2 = 15$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[12,5; 15,5)$ ($p = 2$).
$$Q_1 = 12,5 + \frac{14 - 3}{12} \cdot 3 = 12,5 + 2,75 = 15,25 \text{ (phút)}.$$Tính $Q_3$: Ta có $\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 56}{4} = 42$. Tích lũy đến nhóm 3 là $30 < 42 \le 30 + 24 = 54$, do đó nhóm chứa $Q_3$ là $[18,5; 21,5)$ ($p = 4$).
$$Q_3 = 18,5 + \frac{42 - 30}{24} \cdot 3 = 18,5 + 1,5 = 20 \text{ (phút)}.$$• Tìm $Q_1$: $\frac{n}{4} = 50$. Tần số tích lũy: $18 \to 46 \to 81 \ge 50 \implies$ Nhóm chứa $Q_1$ là $[160; 165)$.
$$Q_1 = 160 + \frac{50 - 46}{35} \cdot 5 = 160 + \frac{20}{35} \approx 160,57 \text{ (km/h)}.$$• Tìm $Q_3$: $\frac{3n}{4} = 150$. Tần số tích lũy: $124 \to 165 \ge 150 \implies$ Nhóm chứa $Q_3$ là $[170; 175)$.
$$Q_3 = 170 + \frac{150 - 124}{41} \cdot 5 = 170 + \frac{130}{41} \approx 173,17 \text{ (km/h)}.$$Mốt Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm
Là nhóm có tần số lớn nhất trong bảng dữ liệu. Giả sử đó là nhóm thứ $j: [a_j; a_{j+1})$.
- $a_j$ là đầu mút trái của nhóm chứa mốt; $h = a_{j+1} - a_j$ là độ dài của nhóm.
- $m_j$ là tần số của nhóm chứa mốt; $m_{j-1}$ và $m_{j+1}$ lần lượt là tần số của nhóm đứng trước và nhóm đứng sau nó.
- Quy ước: Nếu nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên ($j = 1$) thì $m_0 = 0$; nếu là nhóm cuối cùng ($j = k$) thì $m_{k+1} = 0$.
- Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau.
- Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.
- Trường hợp không có mốt: Khi tần số của tất cả các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu không có mốt.
Lưu ý khi các nhóm có tần số bằng nhau
Các nhóm: $[145; 150)$ (7), $[150; 155)$ (14), $[155; 160)$ (10), $[160; 165)$ (10), $[165; 170)$ (9).
Tần số lớn nhất là $14$ thuộc nhóm $[150; 155)$ ($j = 2$).
Do đó: $a_2 = 150; \, m_2 = 14; \, m_1 = 7; \, m_3 = 10; \, h = 5$.
$$M_o = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} \cdot 5 = 150 + \frac{7}{7 + 4} \cdot 5 = 150 + \frac{35}{11} \approx 153,18 \text{ (cm)}.$$Kết luận: Đa số học sinh lớp 11A có chiều cao tập trung quanh mức 153,18 cm.
Tần số lớn nhất là $10$ thuộc nhóm $[10,5; 20,5)$ ($j = 2, a_2 = 10,5, h = 10$).
$$M_o = 10,5 + \frac{10 - 2}{(10 - 2) + (10 - 6)} \cdot 10 = 10,5 + \frac{8}{8 + 4} \cdot 10 = 10,5 + \frac{80}{12} \approx 17,17 \text{ (phút)}.$$Bảng: $[0; 30)$ (3 khách), $[30; 60)$ (15 khách), $[60; 90)$ (10 khách), $[90; 120)$ (7 khách). Cỡ mẫu $n = 35$.
$\bar{x} = \frac{3 \cdot 15 + 15 \cdot 45 + 10 \cdot 75 + 7 \cdot 105}{35} = \frac{2205}{35} = 63$ (nghìn đồng).
$M_e = 30 + \frac{17,5 - 3}{15} \cdot 30 = 30 + 29 = 59$ (nghìn đồng).
• $Q_1$: $\frac{n}{4} = 8,75 \implies$ Nhóm $[30; 60)$. $Q_1 = 30 + \frac{8,75 - 3}{15} \cdot 30 = 41,5$ nghìn.
• $Q_3$: $\frac{3n}{4} = 26,25 \implies$ Nhóm $[60; 90)$. $Q_3 = 60 + \frac{26,25 - 18}{10} \cdot 30 = 84,75$ nghìn.
Tần số cực đại là 15 tại $[30; 60)$.
$M_o = 30 + \frac{15 - 3}{(15 - 3) + (15 - 10)} \cdot 30 = 30 + \frac{12}{17} \cdot 30 \approx 51,18$ (nghìn đồng).
Em Có Biết? — Xác Định Tứ Phân Vị Bằng GeoGebra
Ta có thể sử dụng phần mềm GeoGebra để trực quan hóa và xác định chính xác các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thông qua đồ thị tần số tích luỹ:
- Bước 1: Lập bảng tần số tích luỹ $c_i = m_1 + \dots + m_i$.
- Bước 2: Nối liên tiếp các điểm $M_1(a_1; 0), M_2(a_2; c_1), \dots, M_{k+1}(a_{k+1}; c_k)$ thành đường gấp khúc tần số tích luỹ.
- Bước 3: Kẻ các đường thẳng nằm ngang $y = \frac{n}{4}, y = \frac{n}{2}, y = \frac{3n}{4}$. Hoành độ các giao điểm $B_1, B_2, B_3$ của các đường thẳng này với đường gấp khúc chính là giá trị của $Q_1, Q_2, Q_3$.
Hình 3.1: Đồ thị tần số tích luỹ xác định Q1, Q2, Q3 trên GeoGebra