Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Mẫu số liệu ghép nhóm (Toán 11 KNTT)
Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK: Giới thiệu mẫu số liệu ghép nhóm, đầu mút trái, đầu mút phải, độ dài nhóm, quy trình chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm và các bài toán thực tiễn về điểm thi THPT, độ tuổi dân số, chỉ số BMI, chạy Marathon và cỡ áo học sinh.
- Mẫu số liệu ghép nhóm
- Nhóm số liệu $[a; b)$
- Đầu mút trái $a$, đầu mút phải $b$
- Độ dài của nhóm $b - a$
- Tần số của nhóm
- Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm.
- Hiểu ý nghĩa và sự cần thiết của mẫu số liệu ghép nhóm trong thực tế.
- Nắm vững quy trình ghép nhóm mẫu số liệu từ mẫu không ghép nhóm.
- Giải quyết các bài toán thống kê thực tiễn liên quan đến ghép nhóm số liệu.
Bài toán phân tích kết quả kì thi tốt nghiệp THPT
Trong kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thông năm 2021 đợt 1 có $344\,752$ thí sinh dự thi cả ba môn Toán, Vật lí, Hoá học (theo vietnamnet.vn, ngày 26/07/2021). Giả sử điểm thi của các thí sinh này được cho trong bảng số liệu sau:
Các trường đại học, cao đẳng tuyển sinh theo tổ hợp A00 quan tâm đến tổng điểm ba môn của các thí sinh này. Biểu diễn dãy số liệu về tổng điểm ba môn của các thí sinh này thế nào để các trường thấy được bức tranh tổng thể về kết quả thi?
1 Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm
a) Mẫu số liệu về tổng điểm, kí hiệu là $(T)$, có bao nhiêu giá trị?
b) Nếu lập bảng tần số cho mẫu số liệu $(T)$ thì có dễ hình dung được bức tranh tổng thể về kết quả thi không? Vì sao?
c) Mẫu số liệu $(T)$ được mô tả dưới dạng bảng thống kê sau:
Hãy đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trong bảng thống kê trên.
Xem lời giải HĐ1
b) Nếu lập bảng tần số cho từng giá trị đơn lẻ của mẫu số liệu $(T)$ thì không dễ hình dung được bức tranh tổng thể vì số lượng điểm số phân tán từ rất thấp đến 30 với bước nhảy 0,25 điểm, bảng tần số sẽ có hàng trăm cột/hàng rời rạc, quá cồng kềnh.
c) Đọc và giải thích bảng thống kê:
• Nhóm $[6; 7)$ có 69 thí sinh: Nghĩa là có 69 thí sinh có tổng điểm từ 6 đến dưới 7 điểm.
• Nhóm $[7; 8)$ có 192 thí sinh: Có 192 thí sinh có tổng điểm từ 7 đến dưới 8 điểm.
• Nhóm $[28; 29)$ có 216 thí sinh: Có 216 thí sinh đạt tổng điểm từ 28 đến dưới 29 điểm.
• Nhóm $[29; 30]$ có 12 thí sinh: Có 12 thí sinh đạt tổng điểm xuất sắc từ 29 đến 30 điểm.
Định nghĩa Mẫu số liệu ghép nhóm
- Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.
- Mỗi nhóm số liệu là tập hợp gồm các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định.
- Nhóm số liệu thường được cho dưới dạng nửa khoảng $[a; b)$, trong đó $a$ là đầu mút trái, $b$ là đầu mút phải.
• Mẫu số liệu ghép nhóm được dùng khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác (do đo lường) hoặc do yêu cầu của bài toán mà ta phải biểu diễn mẫu số liệu dưới dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.
• Trong một số trường hợp, nhóm số liệu cuối cùng có thể lấy cả đầu mút bên phải: $[a; b]$.
Mẫu số liệu sau cho biết phân bố theo độ tuổi của dân số Việt Nam năm 2019:
a) Mẫu số liệu đã cho có là mẫu số liệu ghép nhóm hay không?
b) Nêu các nhóm và tần số tương ứng. Dân số Việt Nam năm 2019 là bao nhiêu?
Xem lời giải
b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 đến dưới 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên.
• Tần số nhóm "Dưới 15 tuổi" là: $23\,371\,882$ người.
• Tần số nhóm "Từ 15 đến dưới 65 tuổi" là: $65\,420\,451$ người.
• Tần số nhóm "Từ 65 tuổi trở lên" là: $7\,416\,651$ người.
Tổng dân số Việt Nam năm 2019 là: $$23\,371\,882 + 65\,420\,451 + 7\,416\,651 = 96\,208\,984 \text{ người}$$
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Đọc và giải thích mẫu số liệu này.
Xem lời giải Luyện tập 1
• Có 6 nhân viên đi từ 15 đến dưới 20 phút; 14 nhân viên đi từ 20 đến dưới 25 phút; 25 nhân viên đi từ 25 đến dưới 30 phút; 37 nhân viên đi từ 30 đến dưới 35 phút (nhóm có số lượng nhân viên đông nhất); 21 nhân viên đi từ 35 đến dưới 40 phút; 13 nhân viên đi từ 40 đến dưới 45 phút; 9 nhân viên đi từ 45 đến dưới 50 phút.
• Tổng số nhân viên của công ty được khảo sát là: $$6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = 125 \text{ nhân viên}$$
2 Ghép nhóm mẫu số liệu
Chỉ số BMI (đo bằng $w/h^2$, trong đó $w$ là cân nặng đơn vị kilôgam, $h$ là chiều cao đơn vị mét) của các học sinh trong một tổ được cho như sau:
19,2; 21,1; 16,8; 23,5; 20,6; 25,2; 18,7; 19,1.
Một người có chỉ số BMI nhỏ hơn $18,5$ được xem là thiếu cân; từ $18,5$ đến dưới $23$ là có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ $23$ trở lên là thừa cân.
Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao của các học sinh trong tổ.
Xem lời giải HĐ2
• Nhóm Thiếu cân $[0; 18,5)$: có 1 học sinh (chỉ số $16,8$).
• Nhóm Cân nặng lí tưởng $[18,5; 23)$: có 5 học sinh (gồm $18,7;\; 19,1;\; 19,2;\; 20,6;\; 21,1$).
• Nhóm Thừa cân $[23; 30)$: có 2 học sinh (gồm $23,5;\; 25,2$).
Bảng số liệu ghép nhóm biểu diễn tình trạng cân nặng:
Quy trình ghép nhóm mẫu số liệu
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) của 30 vận động viên (VĐV) trong một giải chạy Marathon:
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài bằng nhau và bằng $3$.
Xem lời giải
Tổng độ dài của sáu nhóm là $6 \times 3 = 18 > 16$.
Để cho thuận tiện, ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là $127,5$ và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là $145,5$, ta được các nhóm là: $[127,5; 130,5)$, $[130,5; 133,5)$, $[133,5; 136,5)$, $[136,5; 139,5)$, $[139,5; 142,5)$, $[142,5; 145,5)$.
Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có bảng mẫu số liệu ghép nhóm:
Cân nặng (kg) của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:
43 51 47 62 48 40 50 62 53 56 40 48 56 53 50 42 55
52 48 46 45 54 52 50 47 44 54 55 60 63 58 55 60 58 53
Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm $[40; 45)$.
Xem lời giải Luyện tập 2
• Các nhóm số liệu có độ dài $5$ là: $[40; 45)$, $[45; 50)$, $[50; 55)$, $[55; 60)$, $[60; 65)$.
• Đếm tần số từng nhóm:
- Nhóm $[40; 45)$: $40, 40, 42, 43, 44 \implies 5$ người.
- Nhóm $[45; 50)$: $45, 46, 47, 47, 48, 48, 48 \implies 7$ người.
- Nhóm $[50; 55)$: $50, 50, 50, 51, 52, 52, 53, 53, 53, 54, 54 \implies 11$ người.
- Nhóm $[55; 60)$: $55, 55, 55, 56, 56, 58, 58 \implies 7$ người.
- Nhóm $[60; 65)$: $60, 60, 62, 62, 63 \implies 5$ người.
Bảng mẫu số liệu ghép nhóm:
Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:
Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của 36 học sinh nam khối 11 và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: cm):
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164
165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168
168 168 169 169 170 171 171 172 172 174
a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.
b) Công ty may $500$ áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?
Xem lời giải Vận dụng
• Cỡ S $[150; 160)$: $0$ học sinh.
• Cỡ M $[160; 167)$: có $22$ học sinh (gồm $1$ bạn 160, $2$ bạn 161, $3$ bạn 162, $3$ bạn 163, $4$ bạn 164, $5$ bạn 165, $4$ bạn 166).
• Cỡ L $[167; 170)$: có $8$ học sinh (gồm $2$ bạn 167, $4$ bạn 168, $2$ bạn 169).
• Cỡ XL $[170; 175)$: có $6$ học sinh (gồm $1$ bạn 170, $2$ bạn 171, $2$ bạn 172, $1$ bạn 174).
• Cỡ XXL $[175; 180)$: $0$ học sinh.
• Cỡ M chiếm tỉ lệ: $\frac{22}{36} = \frac{11}{18} \implies 500 \times \frac{22}{36} \approx 305{,}56 \to \mathbf{306 \text{ chiếc}}$.
• Cỡ L chiếm tỉ lệ: $\frac{8}{36} = \frac{2}{9} \implies 500 \times \frac{8}{36} \approx 111{,}11 \to \mathbf{111 \text{ chiếc}}$.
• Cỡ XL chiếm tỉ lệ: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6} \implies 500 \times \frac{6}{36} \approx 83{,}33 \to \mathbf{83 \text{ chiếc}}$.
• Cỡ S và XXL: $0$ chiếc.
(Kiểm tra tổng: $306 + 111 + 83 = 500$ chiếc).