Lý thuyết & Phương pháp giải Chuyên sâu: Dãy số (Toán 11 KNTT)
Bài 5: Dãy số
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Định nghĩa dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn, 4 cách cho một dãy số, tính tăng, giảm, bị chặn kèm bài toán thực tế dân số, tiền lương, lãi kép ngân hàng và khung lịch sử Dãy số Fibonacci.
- Dãy số (vô hạn & hữu hạn)
- Số hạng đầu, số hạng tổng quát
- Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn
- Nhận biết dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn.
- Biểu diễn dãy số bằng: liệt kê, công thức số hạng tổng quát, hệ thức truy hồi, mô tả.
- Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong trường hợp đơn giản.
- Ứng dụng dãy số giải bài toán tăng trưởng dân số, tiền gửi và trả góp.
Bài toán tăng trưởng dân số đô thị
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng $500$ nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng $2\%$ mỗi năm. Khi đó số dân $P_n$ (nghìn người) của thành phố đó sau $n$ năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức:
Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?
1 Định nghĩa dãy số
Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ $n$.
Từ công thức nhận được, ta có quy tắc để viết được dãy gồm tất cả các số chính phương.
Xem lời giải HĐ1
• Dự đoán công thức tính số chính phương thứ $n$ là: $u_n = n^2$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
• Quy tắc: Dãy gồm tất cả các số chính phương là: $1, 4, 9, 16, 25, \ldots, n^2, \ldots$
Dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)
- Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là $u = u(n)$.
- Ta thường viết $u_n$ thay cho $u(n)$ và kí hiệu dãy số $u = u(n)$ bởi $(u_n)$, do đó dãy số $(u_n)$ được viết dưới dạng khai triển:
$$u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$$
- Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ $n$ và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
a) Dãy số $(u_n)$ các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: $1, 3, 5, 7, \ldots$
b) Dãy số $(v_n)$ các số nguyên dương chia hết cho $5$, sắp xếp từ bé đến lớn: $5, 10, 15, 20, \ldots$
Xem lời giải Ví dụ 1
b) Dãy $(v_n)$ có số hạng đầu $v_1 = 5$ và số hạng tổng quát $v_n = 5n$.
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn $50$ và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng $u_n$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của $n$.
Xem lời giải HĐ2
b) Công thức số hạng: $u_n = n^2$ với điều kiện $n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
Dãy số hữu hạn
- Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $M = \{1, 2, 3, \ldots, m\}$ với $m \in \mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là:
$$u_1, u_2, u_3, \ldots, u_m$$
- Số $u_1$ gọi là số hạng đầu, số $u_m$ gọi là số hạng cuối.
Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn $20$, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.
a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.
Xem lời giải
b) Số hạng đầu là $u_1 = 1$, số hạng cuối là $u_{10} = 19$.
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$ theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy hữu hạn này.
Xem lời giải
Số hạng tổng quát: $u_n = 5(n-1) + 1 = 5n - 4$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
b) Năm số hạng đầu: $1, 6, 11, 16, 21$. Số hạng đầu là $u_1 = 1$, số hạng cuối là $u_5 = 21$.
2 Các cách cho một dãy số
Xét dãy số $(u_n)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho $5$, sắp xếp từ bé đến lớn:
a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ $n$ theo số hạng thứ $n-1$ của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.
Xem lời giải HĐ3
b) Số hạng đầu $u_1 = 5$. Hiệu hai số hạng liên tiếp: $u_n - u_{n-1} = 5 \Rightarrow u_n = u_{n-1} + 5$ với mọi $n \ge 2$.
Một dãy số có thể cho bằng:
Chỉ dùng cho các dãy số hữu hạn và có ít số hạng.
Cho $u_n$ dưới dạng biểu thức trực tiếp theo $n$.
Mô tả tính chất đặc trưng của các số hạng (VD: dãy số nguyên tố).
Cho số hạng đầu và hệ thức tính $u_n$ qua các số hạng đứng trước nó.
Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của dãy số $(u_n)$ cho bởi:
a) $u_n = 2n$; b) $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.
Xem lời giải
Số hạng thứ 100: $u_{100} = 2 \cdot 100 = 200$.
b) Năm số hạng đầu: $-1, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{5}$.
Số hạng thứ 100: $u_{100} = \dfrac{(-1)^{100}}{100} = \dfrac{1}{100}$.
Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.
Xem lời giải
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bằng hệ thức truy hồi:
$$u_1 = 1,\; u_n = 3u_{n-1} + 2 \text{ với } n \ge 2.$$
Viết ba số hạng đầu của dãy số này.
Xem lời giải
• $u_2 = 3u_1 + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
• $u_3 = 3u_2 + 2 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$
Tính số dân dự kiến của thành phố vào năm 2030 theo công thức $P_n = 500(1+0{,}02)^n$.
Xem lời giải
$$n = 2030 - 2020 = 10 \text{ (năm)}$$ Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là:
$$P_{10} = 500 \cdot (1{,}02)^{10} \approx 609 \text{ (nghìn người)}.$$
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = n!$.
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi:
$$\begin{cases} F_1 = 1,\; F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & (n \ge 3) \end{cases}$$
Xem lời giải Luyện tập 2
b) Dãy Fibonacci $(F_n)$ có:
• $F_1 = 1,\; F_2 = 1$
• $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
• $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
• $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$
Vậy năm số hạng đầu là: $1, 1, 2, 3, 5$.
Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{2^n}$. Năm số hạng đầu của dãy số này là: $$u_1 = -\dfrac{1}{2},\; u_2 = \dfrac{1}{4},\; u_3 = -\dfrac{1}{8},\; u_4 = \dfrac{1}{16},\; u_5 = -\dfrac{1}{32}$$ và được biểu diễn trực quan trên trục số như sau:
3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
a) Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n - 1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_n$.
b) Xét dãy số $(v_n)$ với $v_n = \dfrac{1}{n^2}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_n$.
Xem lời giải HĐ4
b) $v_{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)^2}$. Vì $n+1 > n > 0 \Rightarrow (n+1)^2 > n^2 \Rightarrow \dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{n^2} \Rightarrow v_{n+1} < v_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Định nghĩa Dãy số tăng, Dãy số giảm
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có:
$$u_{n+1} > u_n \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có:
$$u_{n+1} < u_n \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 5$.
Xem lời giải
$$u_{n+1} - u_n = [-2(n+1) + 5] - (-2n + 5) = -2n + 3 + 2n - 5 = -2 < 0$$ tức là $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.
Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n+1}$.
Xem lời giải
Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (n+1)(n+2) > 0 \Rightarrow u_{n+1} - u_n < 0$.
Do đó $u_{n+1} < u_n,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$. Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n+1}{n},\; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) So sánh $u_n$ và $1$.
b) So sánh $u_n$ và $2$.
Xem lời giải HĐ5
a) Vì $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow u_n > 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
b) Vì $n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1 \Rightarrow 1 + \dfrac{1}{n} \le 2 \Rightarrow u_n \le 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Định nghĩa Dãy số bị chặn
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho: $$u_n \le M \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho: $$u_n \ge m \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m, M$ sao cho:
$$m \le u_n \le M \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^*$$
Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n-1}{n}$.
Xem lời giải
• Dãy $(u_n)$ cũng bị chặn dưới, vì $u_n = \dfrac{n-1}{n} \ge 0,\; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn ($0 \le u_n < 1$).
Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n - 1$.
Xem lời giải
• Mặt khác, khi $n$ tăng vô hạn thì $2n - 1$ lớn tùy ý, không có số $M$ nào thỏa mãn $u_n \le M$ với mọi $n$. Do đó dãy số không bị chặn trên.
Vậy $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới, không phải là dãy bị chặn.
Bài toán tiền lương của nhân viên công nghệ
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là $200$ triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm $25$ triệu đồng. Gọi $s_n$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ $n$ mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có: $$s_1 = 200,\; s_n = s_{n-1} + 25 \text{ với } n \ge 2.$$
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ $5$ làm việc cho công ty.
b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Xem lời giải Vận dụng
• $s_1 = 200$
• $s_2 = s_1 + 25 = 200 + 25 = 225$
• $s_3 = s_2 + 25 = 225 + 25 = 250$
• $s_4 = s_3 + 25 = 250 + 25 = 275$
• $s_5 = s_4 + 25 = 275 + 25 = 300$
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ $5$ làm việc cho công ty là $300$ triệu đồng.
b) Với mọi $n \ge 2$, ta có: $s_n - s_{n-1} = 25 > 0 \Leftrightarrow s_n > s_{n-1}$.
Do đó $(s_n)$ là một dãy số tăng.
Ý nghĩa thực tế: Mức thu nhập hàng năm của anh Thanh luôn tăng trưởng đều đặn theo từng năm làm việc, năm sau luôn nhận mức lương cao hơn năm trước.
Em có biết? Dãy số Fibonacci
Fibonacci là nhà toán học nổi tiếng người Italia. Trong cuốn sách cổ Liber Abaci (Sách tính) của ông, được viết năm 1202, có bài toán sinh sản nổi tiếng:
"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau $n$ tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?"
Việc giải quyết bài toán trên dẫn đến việc nghiên cứu dãy số $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi: $$\begin{cases} F_1 = 1,\; F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & (n \ge 3) \end{cases}$$ Dãy số này được gọi là dãy số Fibonacci và các số hạng của nó được gọi là các số Fibonacci.
Người ta chứng minh được công thức số hạng tổng quát (công thức Binet) của dãy Fibonacci: $$F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right]$$
- $F_n^2 = F_{n-1}F_{n+1} + (-1)^{n-1}$ với mọi $n \ge 2$;
- $F_1 + F_3 + F_5 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$ với mọi $n \ge 1$;
- $F_n^2 + F_{n+1}^2 = F_{2n+1}$ với mọi $n \ge 1$.
Dãy số Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên: hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số Fibonacci: hoa loa kèn ($3$ cánh), hoa mao lương vàng ($5$ cánh), hoa cải ô rô ($8$ cánh), hoa cúc vạn thọ ($13$ cánh), hoa cúc tây ($21$ cánh), hoa cúc thường ($34, 55, 89$ cánh).
