Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Phương trình tương đương, công thức nghiệm của sin x = m, cos x = m, tan x = m, cot x = m, các trường hợp đặc biệt, phương pháp bấm máy tính cầm tay tìm góc và bài toán thực tế quỹ đạo pháo, pha Mặt Trăng kèm trọn bộ lời giải HĐ, Ví dụ, Luyện tập, Vận dụng.
Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Khái niệm phương trình tương đương, công thức nghiệm tổng quát của \(\sin x = m, \cos x = m, \tan x = m, \cot x = m\), cách sử dụng máy tính cầm tay tìm góc và giải quyết bài toán thực tế quỹ đạo đạn pháo, chu kỳ Mặt Trăng, dao động điều hòa.
- Phương trình lượng giác
- Phương trình lượng giác cơ bản
- Công thức nghiệm
- Phương trình tương đương
- Nhận biết công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản bằng cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng.
- Tính nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay.
- Giải phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình lượng giác cơ bản.
- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác.
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn \(v_0\) không đổi. Tìm góc bắn \(\alpha\) để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.
Hình 1.18: Dàn pháo
Khái niệm phương trình tương đương
Cho hai phương trình \(2x - 4 = 0\) và \((x - 2)(x^2 + 1) = 0\). Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.
Xem lời giải HĐ1
• Phương trình \(2x - 4 = 0 \iff 2x = 4 \iff x = 2\). Tập nghiệm \(S_1 = \{2\}\).
• Phương trình \((x - 2)(x^2 + 1) = 0 \iff x - 2 = 0\) (vì \(x^2 + 1 \ge 1 > 0\) với mọi \(x\)) \(\iff x = 2\). Tập nghiệm \(S_2 = \{2\}\).
• So sánh: Hai phương trình có cùng tập nghiệm \(S_1 = S_2 = \{2\}\).
HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG:
• Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
• Nếu phương trình \(f(x) = 0\) tương đương với phương trình \(g(x) = 0\) thì ta viết:
⚠️ Chú ý: Hai phương trình cùng vô nghiệm được coi là hai phương trình tương đương.
Hai phương trình sau có tương đương không? \(\quad 2x + 6 = 0\) và \(x^2 + 6x + 9 = 0\).
Xem lời giải Ví dụ 1
• Phương trình \(2x + 6 = 0 \iff x = -3 \implies S_1 = \{-3\}\).
• Phương trình \(x^2 + 6x + 9 = 0 \iff (x + 3)^2 = 0 \iff x = -3 \implies S_2 = \{-3\}\).
Vì \(S_1 = S_2 = \{-3\}\) nên hai phương trình trên tương đương.
Xét sự tương đương của hai phương trình sau: \(\quad \dfrac{x - 1}{x + 1} = 0\) và \(x^2 - 1 = 0\).
Xem lời giải Luyện tập 1
• Phương trình \(\dfrac{x - 1}{x + 1} = 0\): Điều kiện xác định \(x \ne -1\). Phương trình \(\iff x - 1 = 0 \iff x = 1\) (thoả mãn). Tập nghiệm \(S_1 = \{1\}\).
• Phương trình \(x^2 - 1 = 0 \iff x = 1\) hoặc \(x = -1\). Tập nghiệm \(S_2 = \{-1; 1\}\).
Vì \(S_1 \ne S_2\) nên hai phương trình trên không tương đương.
💡 Các phép biến đổi tương đương cơ bản:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức (không làm thay đổi điều kiện xác định): \[f(x) = g(x) \iff f(x) + h(x) = g(x) + h(x).\]
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0: \[f(x) = g(x) \iff f(x)h(x) = g(x)h(x) \quad (h(x) \ne 0).\]
Phương trình \(\sin x = m\)
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng \([0; 2\pi)\).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Minh hoạ bằng đồ thị (Hình 1.20): Nghiệm của \(\sin x = \frac{1}{2}\) là hoành độ các giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) và đồ thị hàm số \(y = \sin x\).
Hình 1.19: Nghiệm trên đường tròn lượng giác
Hình 1.20: Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) và đồ thị \(y = \sin x\)
Xem lời giải HĐ2
a) Trong \([0; 2\pi)\), có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn có tung độ bằng \(\frac{1}{2}\) là \(M\) và \(M'\), tương ứng với các góc \(x = \dfrac{\pi}{6}\) và \(x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\).
b) Vì hàm số \(\sin\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) nên công thức nghiệm là: \[x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH \(\sin x = m\):
• Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(|m| \le 1\). (Nếu \(|m| > 1\) thì phương trình vô nghiệm).
• Khi \(|m| \le 1\), sẽ tồn tại duy nhất một số \(\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
Hình 1.21: Hai điểm \(M(\alpha)\) và \(M'(\pi - \alpha)\)
Chú ý:
a) Nếu số đo của góc \(\alpha\) được cho bằng đơn vị độ thì: \[\sin x = \sin \alpha^\circ \iff x = \alpha^\circ + k360^\circ \quad \text{hoặc} \quad x = 180^\circ - \alpha^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
b) Các trường hợp đặc biệt:
Giải các phương trình sau: \(\quad\) a) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\quad\) b) \(\sin x = \dfrac{1}{3}\).
Lời giải Ví dụ 2
a) Vì \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) nên: \[\sin x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \iff \begin{cases} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + k2\pi = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
b) Gọi \(\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\) là góc thoả mãn \(\sin \alpha = \dfrac{1}{3}\). Khi đó: \[\sin x = \dfrac{1}{3} \iff \sin x = \sin \alpha \iff \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Giải phương trình: \(\sin 2x = \sin(60^\circ - 3x)\).
Xem lời giải Ví dụ 3
Áp dụng công thức theo đơn vị độ: \[\sin 2x = \sin(60^\circ - 3x) \iff \begin{cases} 2x = 60^\circ - 3x + k360^\circ \\ 2x = 180^\circ - (60^\circ - 3x) + k360^\circ \end{cases}\] \[\iff \begin{cases} 5x = 60^\circ + k360^\circ \\ -x = 120^\circ + k360^\circ \end{cases} \iff \begin{cases} x = 12^\circ + k72^\circ \\ x = -120^\circ - k360^\circ \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Chọn hệ trục toạ độ có gốc đặt tại vị trí khẩu pháo, trục \(Ox\) theo hướng khẩu pháo. Trong Vật lí, quỹ đạo của quả đạn pháo là một đường parabol có phương trình (với \(g\) là gia tốc trọng trường): \[y = \dfrac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}x^2 + x\tan \alpha.\]
Khi quả đạn chạm đất (\(y = 0\)): \[\dfrac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}x^2 + x\tan \alpha = 0 \iff x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.\]
Tầm bay xa của quả đạn là \(x = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \le \dfrac{v_0^2}{g}\) (vì \(\sin 2\alpha \le 1\)).
Dấu bằng xảy ra khi \(\sin 2\alpha = 1 \iff 2\alpha = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \iff \alpha = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\).
Vì \(0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}\) nên ta có \(\alpha = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ\).
Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng \(45^\circ\).
Quỹ đạo đạn pháo tương ứng với các góc bắn \(\alpha\)
Giải các phương trình sau: \(\quad\) a) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\); \(\quad\) b) \(\sin 3x = -\sin 5x\).
Xem lời giải Luyện tập 2
a) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \iff \sin x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \iff \begin{cases} x = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x = \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})\).
b) \(\sin 3x = -\sin 5x \iff \sin 3x = \sin(-5x) \iff \begin{cases} 3x = -5x + k2\pi \\ 3x = \pi - (-5x) + k2\pi \end{cases}\) \[\iff \begin{cases} 8x = k2\pi \\ -2x = \pi + k2\pi \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{k\pi}{4} \\ x = -\dfrac{\pi}{2} - k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Phương trình \(\cos x = m\)
a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng \([-\pi; \pi)\).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Hình 1.22a: Nghiệm trên đường tròn lượng giác
Hình 1.23: Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = -\frac{1}{2}\) và đồ thị \(y = \cos x\)
Xem lời giải HĐ3
a) Trong \([-\pi; \pi)\), hai góc có hoành độ bằng \(-\frac{1}{2}\) là \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) và \(x = -\dfrac{2\pi}{3}\).
b) Vì hàm số \(\cos\) tuần hoàn chu kì \(2\pi\), nghiệm tổng quát là: \(x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH \(\cos x = m\):
• Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(|m| \le 1\). (Nếu \(|m| > 1\) thì phương trình vô nghiệm).
• Khi \(|m| \le 1\), tồn tại duy nhất một số \(\alpha \in [0; \pi]\) thoả mãn \(\cos \alpha = m\). Khi đó:
Hình 1.22b: Hai điểm đối xứng qua trục hoành
Chú ý:
a) Theo đơn vị độ: \(\cos x = \cos \alpha^\circ \iff x = \pm \alpha^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})\).
b) Các trường hợp đặc biệt:
Giải các phương trình sau: \(\quad\) a) \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\quad\) b) \(\cos x = 0{,}1\).
Lời giải Ví dụ 5
a) Vì \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6}\) nên: \[\cos x = \cos\dfrac{5\pi}{6} \iff x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
b) Gọi \(\alpha \in [0; \pi]\) là góc thoả mãn \(\cos \alpha = 0{,}1\). Khi đó: \[\cos x = 0{,}1 \iff \cos x = \cos \alpha \iff x = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Giải phương trình: \(\cos 2x = \cos(45^\circ - x)\).
Xem lời giải Ví dụ 6
\[\cos 2x = \cos(45^\circ - x) \iff \begin{cases} 2x = 45^\circ - x + k360^\circ \\ 2x = -(45^\circ - x) + k360^\circ \end{cases}\] \[\iff \begin{cases} 3x = 45^\circ + k360^\circ \\ x = -45^\circ + k360^\circ \end{cases} \iff \begin{cases} x = 15^\circ + k120^\circ \\ x = -45^\circ + k360^\circ \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Giải các phương trình sau: \(\quad\) a) \(2\cos x = -\sqrt{2}\); \(\quad\) b) \(\cos 3x - \sin 5x = 0\).
Xem lời giải Luyện tập 3
a) \(2\cos x = -\sqrt{2} \iff \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4} \iff x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
b) \(\cos 3x - \sin 5x = 0 \iff \cos 3x = \sin 5x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 5x\right)\) \[\iff \begin{cases} 3x = \dfrac{\pi}{2} - 5x + k2\pi \\ 3x = -\left(\dfrac{\pi}{2} - 5x\right) + k2\pi \end{cases} \iff \begin{cases} 8x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ -2x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4} \\ x = \dfrac{\pi}{4} - k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là \(\alpha\) (\(0^\circ \le \alpha \le 360^\circ\)) thì tỉ lệ diện tích \(F\) của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức: \[F = \dfrac{1}{2}(1 - \cos \alpha).\]
Xác định góc \(\alpha\) tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:
- a) \(F = 0\) (trăng mới / không trăng);
- b) \(F = 0{,}25\) (trăng lưỡi liềm);
- c) \(F = 0{,}5\) (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc cuối tháng);
- d) \(F = 1\) (trăng tròn).
Góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng
Xem lời giải Vận dụng (Pha Mặt Trăng)
Biến đổi: \(F = \dfrac{1}{2}(1 - \cos \alpha) \iff 1 - \cos \alpha = 2F \iff \cos \alpha = 1 - 2F\).
a) \(F = 0 \implies \cos \alpha = 1 \implies \alpha = 0^\circ\) hoặc \(\alpha = 360^\circ\).
b) \(F = 0{,}25 \implies \cos \alpha = 1 - 2(0{,}25) = 0{,}5 = \cos 60^\circ \implies \alpha = 60^\circ\) hoặc \(\alpha = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\).
c) \(F = 0{,}5 \implies \cos \alpha = 1 - 2(0{,}5) = 0 \implies \alpha = 90^\circ\) (trăng bán nguyệt đầu tháng) hoặc \(\alpha = 270^\circ\) (trăng bán nguyệt cuối tháng).
d) \(F = 1 \implies \cos \alpha = 1 - 2(1) = -1 \implies \alpha = 180^\circ\) (trăng tròn).
Phương trình \(\tan x = m\)
a) Quan sát Hình 1.24, cho biết đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại mấy điểm có hoành độ trong khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\)?
Hình 1.24: Đường thẳng \(y = 1\) và đồ thị \(y = \tan x\)
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Xem lời giải HĐ4
a) Trong khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\), đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị tại duy nhất 1 điểm có hoành độ \(x = \dfrac{\pi}{4}\).
b) Hàm số tang tuần hoàn với chu kì \(\pi\) nên nghiệm tổng quát là: \(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH \(\tan x = m\):
• Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi số thực \(m\).
• Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), luôn tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
Chú ý: Nếu góc cho bằng đơn vị độ: \(\tan x = \tan \alpha^\circ \iff x = \alpha^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})\).
a) \(\tan x = -\sqrt{3} \iff \tan x = \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \iff x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
b) Gọi \(\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = 2\). Khi đó: \(\tan x = 2 \iff x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
a) \(\sqrt{3}\tan 2x = -1 \iff \tan 2x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \iff 2x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \iff x = -\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})\).
b) \(\tan 3x + \tan 5x = 0 \iff \tan 3x = \tan(-5x) \iff 3x = -5x + k\pi \iff x = \dfrac{k\pi}{8} \quad (k \in \mathbb{Z})\) (thoả mãn điều kiện xác định).
Phương trình \(\cot x = m\)
a) Quan sát Hình 1.25, cho biết đường thẳng \(y = -1\) cắt đồ thị \(y = \cot x\) tại mấy điểm có hoành độ trong khoảng \((0; \pi)\)?
Hình 1.25: Đường thẳng \(y = -1\) và đồ thị \(y = \cot x\)
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côtang, viết công thức nghiệm của phương trình.
Xem lời giải HĐ5
a) Trong \((0; \pi)\), đường thẳng cắt đồ thị tại duy nhất 1 điểm có hoành độ \(x = \dfrac{3\pi}{4}\).
b) Vì hàm số côtang tuần hoàn chu kì \(\pi\) nên công thức nghiệm là: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH \(\cot x = m\):
• Phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm với mọi số thực \(m\).
• Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), luôn tồn tại duy nhất \(\alpha \in (0; \pi)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
Chú ý: Nếu góc cho bằng đơn vị độ: \(\cot x = \cot \alpha^\circ \iff x = \alpha^\circ + k180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})\).
a) \(\cot x = -\sqrt{3} \iff \cot x = \cot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \iff x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
b) Gọi \(\alpha \in (0; \pi)\) thoả mãn \(\cot \alpha = 5\). Khi đó: \(\cot x = 5 \iff x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Giải các phương trình: \(\quad\) a) \(\cot x = 1\); \(\quad\) b) \(\sqrt{3}\cot x + 1 = 0\).
• a) \(\cot x = 1 \iff \cot x = \cot\dfrac{\pi}{4} \iff x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
• b) \(\sqrt{3}\cot x + 1 = 0 \iff \cot x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \cot\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \iff x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Các phím \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\) và \(\tan^{-1}\) của máy tính cầm tay được dùng để tìm số đo (độ hoặc radian) của một góc khi biết một trong các giá trị lượng giác của nó.
Quy trình thực hiện:
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc:
• Muốn tìm số đo độ (hiện chữ D): ấn SHIFT MODE 3 (hoặc SHIFT MENU 2 1 đối với dòng 580VNX).
• Muốn tìm số đo radian (hiện chữ R): ấn SHIFT MODE 4 (hoặc SHIFT MENU 2 2).
Bước 2. Tìm số đo góc:
Ấn SHIFT rồi ấn phím sin (hoặc cos, tan), nhập giá trị \(m\), đóng ngoặc và ấn phím =.
Mẹo tìm \(\cot \alpha = m\): Vì \(\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}\), ta bấm SHIFT tan \(\left(\dfrac{1}{m}\right)\).
| Dạng số đo | Thao tác bấm phím | Màn hình hiện | Kết quả làm tròn |
|---|---|---|---|
| Số đo độ | SHIFT MODE 3 SHIFT sin 0 . 5 8 = °'\" | 35.45054264 | \(35^\circ 27' 2''\) |
| Số đo radian | SHIFT MODE 4 SHIFT sin 0 . 5 8 = | 0.6187286907 | \(0{,}61873\) rad |
Lượng giác được phát triển bởi các nhà thiên văn học người Hy Lạp cổ đại (Hipparchus, Menelaus, Ptolemy) để đo đạc vị trí các thiên thể trên bầu trời. Sau đó, các nhà toán học Ả Rập và châu Âu như Regiomontanus (1436 – 1476), Copernicus (1473 – 1543), Rhaeticus (1514 – 1576) và đặc biệt là Leonhard Euler (1707 – 1783) đã xây dựng các định nghĩa hiện đại về hàm lượng giác mà chúng ta sử dụng ngày nay trong đo đạc, cơ học, điện học, âm nhạc và đồ họa máy tính.