Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Toàn bộ lý thuyết chuẩn SGK Toán 11 KNTT: Góc lượng giác, số đo góc, hệ thức Chasles, đơn vị radian, độ dài cung tròn, đường tròn lượng giác, bảng dấu và giá trị lượng giác đặc biệt, công thức lượng giác cơ bản và các góc liên quan đặc biệt kèm trọn bộ lời giải HĐ, Ví dụ, Luyện tập, Vận dụng.
- Góc lượng giác
- Số đo của góc lượng giác
- Đường tròn lượng giác
- Giá trị lượng giác của góc lượng giác
- Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác
- Nhận biết các khái niệm cơ bản về góc lượng giác.
- Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác.
- Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau $\pi$.
- Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác khi biết số đo góc.
- Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác.
Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng $400\text{ km}$ (Hình 1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc $45^\circ$ ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là $6\,400\text{ km}$. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Hình 1.1: Quỹ đạo trạm ISS
1 Góc lượng giác
a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?
Hình 1.2: 12 giờ 10 phút
Xem lời giải HĐ1
a) Mặt đồng hồ chia thành 12 phần bằng nhau. Từ số 2 quay ngược chiều kim đồng hồ đến số 12 là qua 2 khoảng: $\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$ vòng tròn.
b) Từ số 2 quay cùng chiều kim đồng hồ đến số 12 là qua 10 khoảng: $\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$ vòng tròn.
c) Có vô số cách quay. Cứ mỗi lần quay thêm đúng một hoặc nhiều vòng nguyên thì kim phút lại trở về đúng vị trí số 12.
Trong mặt phẳng, cho hai tia $Ou, Ov$. Xét tia $Om$ cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia $Om$ quay quanh điểm $O$, theo một chiều nhất định từ $Ou$ đến $Ov$, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ và kí hiệu là $(Ou, Ov)$.
Góc lượng giác $(Ou, Ov)$ chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia $Om$ từ tia đầu $Ou$ đến tia cuối $Ov$ (H.1.3). Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
Khi đó, nếu tia $Om$ quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia $Om$ quay góc $360^\circ$, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc $720^\circ$; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc $-180^\circ$, quay theo chiều âm $1,5$ vòng ta nói nó quay góc $-1,5 \cdot 360^\circ = -540^\circ, \dots$
Khi tia $Om$ quay góc $\alpha^\circ$ thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo $\alpha^\circ$. Số đo của góc lượng giác có tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ được kí hiệu là $\text{sđ}(Ou, Ov)$.
Cho hai tia $Ou, Ov$ thì có vô số góc lượng giác tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là $(Ou, Ov)$. Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của $360^\circ$:
(trong đó $\alpha^\circ$ là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$).
Cho góc hình học $uOv$ có số đo $60^\circ$ (H.1.4). Xác định số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ và $(Ov, Ou)$.
Hình 1.4
Xem lời giải Ví dụ 1
• Các góc lượng giác tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ có số đo là:
$$\text{sđ}(Ou, Ov) = 60^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$
• Các góc lượng giác tia đầu $Ov$, tia cuối $Ou$ (quay ngược chiều dương, tức chiều âm) có số đo là:
$$\text{sđ}(Ov, Ou) = -60^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}).$$
Cho góc hình học $\widehat{uOv} = 45^\circ$. Xác định số đo của góc lượng giác $(Ou, Ov)$ trong mỗi trường hợp sau:
Xem lời giải Luyện tập 1
Trường hợp a: Tia $Om$ quay từ $Ou$ đến $Ov$ theo chiều dương một góc đúng bằng $45^\circ$.
Do đó, góc lượng giác này có số đo là: $\text{sđ}(Ou, Ov) = 45^\circ$.
Trường hợp b: Tia $Om$ quay từ $Ou$ theo chiều âm một vòng tròn đầy đủ ($-360^\circ$) rồi tiếp tục quay theo chiều âm một góc $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$ để đến tia $Ov$.
Tổng góc quay theo chiều âm là: $-360^\circ + (-315^\circ) = -675^\circ$ (hoặc tính theo công thức: $45^\circ - 2 \cdot 360^\circ = -675^\circ$).
Do đó: $\text{sđ}(Ou, Ov) = -675^\circ$.
b) Hệ thức Chasles
Cho ba tia $Ou, Ov, Ow$ với số đo của các góc hình học $uOv$ và $vOw$ lần lượt là $30^\circ$ và $45^\circ$ (H.1.5).
a) Xác định số đo của ba góc lượng giác $(Ou, Ov), (Ov, Ow)$ và $(Ou, Ow)$ được chỉ ra ở Hình 1.5.
b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên $k$ để:
$$\text{sđ}(Ou, Ov) + \text{sđ}(Ov, Ow) = \text{sđ}(Ou, Ow) + k360^\circ.$$
Hình 1.5
Xem lời giải HĐ2
a) Cả 3 góc lượng giác đều quay theo chiều dương:
• $\text{sđ}(Ou, Ov) = 30^\circ$.
• $\text{sđ}(Ov, Ow) = 45^\circ$.
• $\text{sđ}(Ou, Ow) = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$.
b) Ta có: $\text{sđ}(Ou, Ov) + \text{sđ}(Ov, Ow) = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ = \text{sđ}(Ou, Ow) + 0 \cdot 360^\circ$. Đẳng thức thỏa mãn với $k = 0 \in \mathbb{Z}$.
Với ba tia $Ou, Ov, Ow$ bất kì, ta có:
Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia tuỳ ý $Ox, Ou, Ov$, ta có:
Hệ thức này đóng vai trò rất quan trọng trong việc tính toán số đo của các góc lượng giác.
Hệ thức này tương tự công thức $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
Cho một góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $-270^\circ$ và một góc lượng giác $(Ox, Ov)$ có số đo $135^\circ$. Tính số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$.
Xem lời giải Ví dụ 2
Số đo của các góc lượng giác tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$ là:
$$\text{sđ}(Ou, Ov) = \text{sđ}(Ox, Ov) - \text{sđ}(Ox, Ou) + k360^\circ$$ $$= 135^\circ - (-270^\circ) + k360^\circ = 405^\circ + k360^\circ$$ $$= 45^\circ + (k + 1)360^\circ = 45^\circ + m360^\circ \quad (m = k + 1, m \in \mathbb{Z}).$$Vậy các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $45^\circ + m360^\circ$ ($m \in \mathbb{Z}$).
Cho một góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $240^\circ$ và một góc lượng giác $(Ox, Ov)$ có số đo $-270^\circ$. Tính số đo của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$.
Xem lời giải Luyện tập 2
Áp dụng hệ thức Chasles suy rộng với tia gốc $Ox$:
$$\text{sđ}(Ou, Ov) = \text{sđ}(Ox, Ov) - \text{sđ}(Ox, Ou) + k360^\circ$$ $$= -270^\circ - 240^\circ + k360^\circ = -510^\circ + k360^\circ$$ $$= -150^\circ - 360^\circ + k360^\circ = -150^\circ + m360^\circ \quad (m = k - 1, m \in \mathbb{Z}).$$Ta cũng có thể viết dưới dạng số đo dương nhỏ nhất: $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ + n360^\circ$ ($n \in \mathbb{Z}$).
2 Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
a) Đơn vị đo góc và cung tròn
Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc $1^\circ$ bằng $\dfrac{1}{180}$ góc bẹt. Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: $1^\circ = 60'$; $1' = 60''$.
Đối với các góc lượng giác, khi mà số vòng quay trong chuyển động tương ứng từ tia đầu đến tia cuối là khá lớn thì số đo của chúng tính bằng độ sẽ trở nên cồng kềnh. Do đó, trong khoa học và kĩ thuật, bên cạnh việc đo bằng độ, người ta còn sử dụng đơn vị đo góc bằng radian.
Đơn vị radian:
Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$, bán kính $R$ và một cung $AB$ trên $(O)$ (H.1.6).
Ta nói cung tròn $AB$ có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính $R$.
Khi đó ta cũng nói rằng góc $AOB$ có số đo bằng 1 radian và viết: $\widehat{AOB} = 1\text{ rad}$.
Hình 1.6: Góc 1 rad
Quan hệ giữa độ và radian: Do đường tròn có độ dài là $2\pi R$ nên nó có số đo $2\pi\text{ rad}$. Mặt khác, đường tròn có số đo bằng $360^\circ$ nên ta có:
Muốn đổi từ độ sang radian ta nhân với $\dfrac{\pi}{180}$; muốn đổi từ radian sang độ ta nhân với $\dfrac{180}{\pi}$.
a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau: $45^\circ; 150^\circ$.
b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau: $\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{5\pi}{4}$.
Xem lời giải Ví dụ 3
a) Đổi sang radian:
$$45^\circ = 45 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4}\text{ rad}; \qquad 150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}.$$
b) Đổi sang độ:
$$\dfrac{\pi}{3}\text{ rad} = \dfrac{\pi}{3} \cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ = 60^\circ; \qquad \dfrac{5\pi}{4}\text{ rad} = \dfrac{5\pi}{4} \cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ = 225^\circ.$$
a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau: $360^\circ; -450^\circ$.
b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau: $3\pi; -\dfrac{11\pi}{5}$.
Xem lời giải Luyện tập 3
a)
$$360^\circ = 360 \cdot \dfrac{\pi}{180} = 2\pi; \qquad -450^\circ = -450 \cdot \dfrac{\pi}{180} = -\dfrac{5\pi}{2}.$$
b)
$$3\pi = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ; \qquad -\dfrac{11\pi}{5} = -\dfrac{11 \cdot 180^\circ}{5} = -396^\circ.$$
| Số đo độ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ | $180^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số đo radian | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
b) Độ dài cung tròn
Cho đường tròn bán kính $R$.
a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng $1\text{ rad}$ là bao nhiêu?
b) Tính độ dài $l$ của cung tròn có số đo $\alpha\text{ rad}$.
Xem lời giải HĐ3
a) Theo định nghĩa radian, cung có số đo $1\text{ rad}$ có độ dài đúng bằng bán kính $R$.
b) Cung có số đo $\alpha\text{ rad}$ sẽ có độ dài gấp $\alpha$ lần cung $1\text{ rad}$, do đó: $l = R \cdot \alpha$.
Một cung của đường tròn bán kính $R$ và có số đo $\alpha\text{ rad}$ thì có độ dài là:
Cho đường tròn bán kính $2\text{ cm}$. Tính độ dài cung tròn có số đo $\dfrac{2\pi}{3}$ của đường tròn đó.
Xem lời giải Ví dụ 4
Độ dài của cung tròn đó là:
$$l = R\alpha = 2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\text{ (cm)}.$$
Hãy tính quãng đường trạm ISS đã di chuyển khi trạm mặt đất theo dõi nó trong góc $45^\circ$ ở tâm của quỹ đạo, biết Trái Đất có bán kính $6\,400\text{ km}$ và trạm bay ở độ cao $400\text{ km}$.
Xem lời giải Vận dụng 1
• Bán kính quỹ đạo tròn của trạm vũ trụ ISS quanh tâm Trái Đất là:
$$R = R_{\text{TĐ}} + h = 6\,400 + 400 = 6\,800\text{ (km)}.$$
• Đổi số đo góc từ độ sang radian:
$$\alpha = 45^\circ = 45 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4}\text{ (rad)}.$$
• Quãng đường mà trạm vũ trụ ISS đã di chuyển trong khi trạm mặt đất theo dõi chính là độ dài cung tròn:
$$l = R\alpha = 6\,800 \cdot \dfrac{\pi}{4} = 1\,700\pi \approx 5\,340,7075 \approx 5\,341\text{ (km)}.$$
Vậy trạm ISS đã di chuyển được khoảng $5\,341\text{ km}$.
3 Giá trị lượng giác của góc lượng giác
a) Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 1$. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm $A(1; 0)$ của đường tròn với trục $Ox$. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn sao cho $\text{sđ}(OA, OM) = \dfrac{5\pi}{4}$.
b) Xác định điểm $N$ trên đường tròn sao cho $\text{sđ}(OA, ON) = -\dfrac{7\pi}{4}$.
Xem lời giải HĐ4
a) Ta có $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$. Bắt đầu từ $A(1; 0)$, quay theo chiều dương nửa vòng tròn (góc $\pi$) tới điểm $(-1; 0)$, rồi tiếp tục quay thêm một góc $\dfrac{\pi}{4}$ ($45^\circ$). Điểm dừng chính là điểm $M$ nằm ở chính giữa cung của góc phần tư thứ III.
b) Ta có $-\dfrac{7\pi}{4} = -2\pi + \dfrac{\pi}{4}$. Đi từ $A$ theo chiều âm một vòng tròn đầy đủ ($-2\pi$) về lại $A$, sau đó đi theo chiều dương góc $\dfrac{\pi}{4}$. Do đó điểm $N$ nằm ở chính giữa cung của góc phần tư thứ I.
• Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm $A(1; 0)$ làm điểm gốc của đường tròn.
• Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ (độ hoặc radian) là điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho $\text{sđ}(OA, OM) = \alpha$.
Hình 1.7: Điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha$
Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $\dfrac{13\pi}{4}$ và $-150^\circ$.
Hình 1.8
Xem lời giải Ví dụ 5
• Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\dfrac{13\pi}{4} = 3\pi + \dfrac{\pi}{4} = 2\pi + \pi + \dfrac{\pi}{4}$. Ta quay 1 vòng nguyên dương ($2\pi$) rồi đi tiếp nửa vòng ($\pi$) và thêm $\dfrac{\pi}{4}$, điểm $M$ ở góc phần tư III (được xác định trong Hình 1.8).
• Điểm $N$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $-150^\circ$. Bắt đầu từ $A$, quay theo chiều âm một góc $150^\circ$, điểm $N$ cũng thuộc góc phần tư III (được xác định trong Hình 1.8).
Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $-\dfrac{15\pi}{4}$ và $420^\circ$.
Xem lời giải Luyện tập 4
• Ta có: $-\dfrac{15\pi}{4} = -4\pi + \dfrac{\pi}{4} = -2 \cdot (2\pi) + \dfrac{\pi}{4}$.
Tia quay theo chiều âm 2 vòng đầy đủ rồi quay theo chiều dương góc $\dfrac{\pi}{4}$. Do đó, điểm $M$ nằm ở chính giữa cung của góc phần tư thứ I (trùng với vị trí biểu diễn góc $\dfrac{\pi}{4}$).
• Ta có: $420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$.
Tia quay theo chiều dương 1 vòng đầy đủ ($360^\circ$) rồi quay thêm góc $60^\circ$. Do đó, điểm $N$ nằm ở góc phần tư thứ I sao cho cung $AN$ bằng $60^\circ$ ($\dfrac{\pi}{3}$).
b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác
Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$ của góc $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) đã học ở lớp 10 (H.1.9a).
Hình 1.9a: Định nghĩa lớp 10 ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$)
Hình 1.9b: Mở rộng cho góc lượng giác bất kì
Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các góc lượng giác có số đo tuỳ ý như sau: Giả sử $M(x; y)$ là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$ (H.1.9b).
- • Hoành độ $x$ của điểm $M$ được gọi là côsin của $\alpha$, kí hiệu là $\cos\alpha$: $\cos\alpha = x$.
- • Tung độ $y$ của điểm $M$ được gọi là sin của $\alpha$, kí hiệu là $\sin\alpha$: $\sin\alpha = y$.
- • Nếu $\cos\alpha \ne 0$ ($x \ne 0$), tỉ số $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ được gọi là tang của $\alpha$, kí hiệu là $\tan\alpha$: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{y}{x}$.
- • Nếu $\sin\alpha \ne 0$ ($y \ne 0$), tỉ số $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ được gọi là côtang của $\alpha$, kí hiệu là $\cot\alpha$: $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{x}{y}$.
a) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
- $\sin\alpha, \cos\alpha$ xác định với mọi giá trị của $\alpha \in \mathbb{R}$ và ta luôn có:
- $-1 \le \sin\alpha \le 1; \quad -1 \le \cos\alpha \le 1;$
- $\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha; \quad \cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha \quad (k \in \mathbb{Z}).$
- $\tan\alpha$ xác định khi $\alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
- $\cot\alpha$ xác định khi $\alpha \ne k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
| Giá trị lượng giác | Góc phần tư I | Góc phần tư II | Góc phần tư III | Góc phần tư IV |
|---|---|---|---|---|
| $\cos\alpha$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $\sin\alpha$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $\tan\alpha$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ |
| $\cot\alpha$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ |
Hình 1.10: 4 góc phần tư
Cho góc lượng giác có số đo bằng $-\dfrac{\pi}{3}$.
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Hình 1.11
Xem lời giải Ví dụ 6
a) Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc $-\dfrac{\pi}{3}$ nằm ở góc phần tư thứ IV (Hình 1.11), sao cho $\widehat{AOM} = 60^\circ$ theo chiều âm.
b) Ta có toạ độ của điểm $M$ là $M\left(\dfrac{1}{2}; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Do đó:
Cho góc lượng giác có số đo bằng $\dfrac{5\pi}{6}$.
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Xem lời giải Luyện tập 5
a) Điểm $M$ biểu diễn góc $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ nằm ở góc phần tư thứ II, tạo với tia đối $OA'$ một góc $\dfrac{\pi}{6}$ ($30^\circ$).
b) Toạ độ điểm $M$ là $M\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$. Do đó:
c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| Góc $\alpha$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | |
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\alpha$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | Không xác định |
| $\cot\alpha$ | Không xác định | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $0$ |
d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác
Có thể dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra radian và ngược lại.
Tính $\sin\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right)$; $\tan 63^\circ 52' 41''$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư):
[SHIFT] [MODE] [4] [sin] [(-)] [9] [SHIFT] [$\pi$] [$\div$] [4] [=]
Màn hình hiện: $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,7071$.
[SHIFT] [MODE] [3] [tan] [6] [3] [°'"] [5] [2] [°'"] [4] [1] [°'"] [=]
Màn hình hiện: $2,039276645 \approx 2,0393$.
a) Đổi $33^\circ 45'$ sang radian; b) Đổi $\dfrac{3}{4}\text{ rad}$ sang độ:
[SHIFT] [MODE] [2] [3] [3] [°'"] [4] [5] [°'"] [SHIFT] [DRG>] [1] [=]
Kết quả: $\dfrac{3}{16}\pi\text{ (rad)}$.
[SHIFT] [MODE] [3] [3] [$\div$] [4] [SHIFT] [DRG>] [2] [=]
Kết quả: $42^\circ 58' 18,6'' \approx 42^\circ 58' 19''$.
a) Tính: $\cos\dfrac{3\pi}{7}; \quad \tan(-37^\circ 25')$.
b) Đổi $179^\circ 23' 30''$ sang radian.
c) Đổi $\dfrac{7}{9}\text{ (rad)}$ sang độ.
Xem lời giải Luyện tập 6
a) $\cos\dfrac{3\pi}{7} \approx 0,2225$; $\quad \tan(-37^\circ 25') \approx -0,7650$.
b) $179^\circ 23' 30'' \approx 3,1310\text{ rad}$.
c) $\dfrac{7}{9}\text{ rad} = \left(\dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 44^\circ 33' 40''$.
4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
a) Các công thức lượng giác cơ bản
a) Dựa vào định nghĩa của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$, hãy tính $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.
b) Sử dụng kết quả của HĐ6a và định nghĩa của $\tan\alpha$, hãy tính $1 + \tan^2\alpha$.
Xem lời giải HĐ6
a) Vì điểm $M(x; y)$ nằm trên đường tròn lượng giác có phương trình $x^2 + y^2 = 1$ nên:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = y^2 + x^2 = 1.$$
b) Với $\cos\alpha \ne 0$:
$$1 + \tan^2\alpha = 1 + \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}.$$
Các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác:
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:
Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết: $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ và $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Xem lời giải Ví dụ 9
Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (góc phần tư thứ II) nên $\cos\alpha < 0$. Mặt khác, từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ suy ra:
$$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}.$$
Do đó:
$$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4}; \qquad \cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} = -\dfrac{4}{3}.$$
Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết: $\cos\alpha = -\dfrac{2}{3}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$.
Xem lời giải Luyện tập 7
Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư thứ III) nên $\sin\alpha < 0$. Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ta có:
$$\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} = -\sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$$
Từ đó tính được:
$$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}; \qquad \cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Xét hai điểm $M, N$ trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H.1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm $M, N$ đối với hệ trục $Oxy$? Từ đó rút ra liên hệ giữa: $\cos(-\alpha)$ và $\cos\alpha$; $\sin(-\alpha)$ và $\sin\alpha$.
b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa: $\tan(-\alpha)$ và $\tan\alpha$; $\cot(-\alpha)$ và $\cot\alpha$.
Hình 1.12a: Góc đối nhau
Xem lời giải HĐ7
a) Hai điểm $M$ và $N$ đối xứng với nhau qua trục hoành $Ox$. Do đó chúng có cùng hoành độ và tung độ đối nhau: $x_N = x_M$ và $y_N = -y_M$. Suy ra: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ và $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.
b) $\tan(-\alpha) = \dfrac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \dfrac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha$; tương tự $\cot(-\alpha) = -\cot\alpha$.
$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$
$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
$\cot(-\alpha) = -\cot\alpha$
Hình 1.12a: Đối xứng qua $Ox$
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$
$\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha$
Hình 1.12b: Đối xứng qua $Oy$
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$
$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha$
$\cot\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan\alpha$
Hình 1.12c: Đối xứng qua $y = x$
$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$
$\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha$
Hình 1.12d: Đối xứng qua gốc $O$
Tính: a) $\cos\dfrac{11\pi}{4}$; b) $\cot(-675^\circ)$.
Xem lời giải Ví dụ 10
a) Ta có:
$$\cos\dfrac{11\pi}{4} = \cos\left(\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi\right) = \cos\dfrac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$b) Ta có:
$$\cot(-675^\circ) = \cot(45^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \cot 45^\circ = 1.$$Tính: a) $\sin(-675^\circ)$; b) $\tan\dfrac{15\pi}{4}$.
Xem lời giải Luyện tập 8
a) $\sin(-675^\circ) = \sin(45^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
b) $\tan\dfrac{15\pi}{4} = \tan\left(4\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$.
Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm $t$ được cho bởi công thức:
trong đó $t$ là số giờ tính từ lúc nửa đêm và $B(t)$ tính bằng $\text{mmHg}$ (milimét thuỷ ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a) 6 giờ sáng; b) 10 giờ 30 phút sáng; c) 12 giờ trưa; d) 8 giờ tối.
Xem lời giải Vận dụng 2
a) Vào lúc 6 giờ sáng ($t = 6$):
$$B(6) = 80 + 7\sin\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) = 80 + 7\sin\dfrac{\pi}{2} = 80 + 7 \cdot 1 = 87\text{ mmHg}.$$
b) Vào lúc 10 giờ 30 phút sáng ($t = 10,5$):
$$B(10,5) = 80 + 7\sin\left(\dfrac{10,5\pi}{12}\right) = 80 + 7\sin\dfrac{7\pi}{8} \approx 80 + 7 \cdot 0,3827 \approx 82,68\text{ mmHg}.$$
c) Vào lúc 12 giờ trưa ($t = 12$):
$$B(12) = 80 + 7\sin\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) = 80 + 7\sin\pi = 80 + 7 \cdot 0 = 80\text{ mmHg}.$$
d) Vào lúc 8 giờ tối ($t = 20$):
$$B(20) = 80 + 7\sin\left(\dfrac{20\pi}{12}\right) = 80 + 7\sin\dfrac{5\pi}{3} = 80 + 7 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 80 - \dfrac{7\sqrt{3}}{2} \approx 73,94\text{ mmHg}.$$