Số gần đúng, sai số tuyệt đối, độ chính xác d, sai số tương đối và quy tắc quy tròn số gần đúng.
Chương V: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm
“Thống kê là cơ sở của khoa học.”
Đỉnh Everest được mệnh danh là “nóc nhà của thế giới”, bởi đây là đỉnh núi cao nhất trên Trái Đất so với mực nước biển. Có rất nhiều con số khác nhau đã từng được công bố về chiều cao của đỉnh Everest:
Vì sao lại có nhiều kết quả khác nhau như vậy và đâu là con số chính xác? Chúng ta sẽ cùng tìm câu trả lời trong bài học này, sau khi tìm hiểu về số gần đúng và sai số.
Ngày 8-12-2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là \(8\,848,86\text{ m}\). (Theo Tuoitre.vn)
Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần nhất với số được công bố ở trên?
Ta tính độ chênh lệch giữa các số ở tình huống mở đầu với số \(8\,848,86\text{ m}\):
Vì \(0,73\text{ m}\) là độ chênh lệch nhỏ nhất nên số \(8\,848,13\text{ m}\) là số gần nhất với số được công bố mới.
Trang và Hoà thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.
Trong nhiều trường hợp, ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu là \(\overline{a}\)) mà chỉ tìm được giá trị khác xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng, kí hiệu là \(a\).
Chẳng hạn, các số đo khác nhau về chiều cao của đỉnh Everest trong tình huống mở đầu đều là các số gần đúng.
Hãy lấy một ví dụ khác về số gần đúng.
Ví dụ: Đo chiều dài bàn học được \(1,2\text{ m}\); khối lượng túi táo ghi trên nhãn là \(2\text{ kg}\); số \(\pi \approx 3,14\); khoảng cách giữa hai cột mốc trên đường quốc lộ ghi \(15\text{ km}\).
Gọi \(d\) là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 1. Trong hai số \(\sqrt{2}\) và \(1,41\), số nào là số đúng, số nào là số gần đúng của \(d\)?
Giải
Hình vuông có cạnh bằng 1 có độ dài của đường chéo là \(d = 1\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}\).
Vậy \(\sqrt{2}\) là số đúng; \(1,41\) là số gần đúng của \(d\).
Gọi \(P\) là chu vi của đường tròn bán kính \(1\text{ cm}\). Hãy tìm một giá trị gần đúng của \(P\).
Chu vi đúng của đường tròn bán kính \(R = 1\text{ cm}\) là: \(P = 2\pi R = 2\pi\cdot 1 = 2\pi\text{ (cm)}\).
Lấy giá trị gần đúng của \(\pi \approx 3,14\), ta có một giá trị gần đúng của \(P\) là:
\(P \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28\text{ (cm)}\) (hoặc \(6,283\text{ cm}\)).
Chú ý. Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng của các biểu thức chứa các số vô tỉ như \(\pi, \sqrt{a}, \sqrt[3]{a}, \ldots\) Chẳng hạn, dùng máy tính cầm tay để tính \(2^9 \cdot \sqrt{3}\), bấm các phím như sau:
Kết quả nhận được có ba chữ số thập phân sau dấu phẩy là \(886,810\).
Trong HĐ2, Hoà dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu \(\overline{a}\text{ (cm}^3\text{)}\) là số đo thể tích của nước.
Quan sát hình vẽ để so sánh \(|13 - \overline{a}|\) và \(|13,1 - \overline{a}|\) rồi cho biết trong hai số đo thể tích \(13\text{ cm}^3\) và \(13,1\text{ cm}^3\), số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.
Quan sát Hình 5.2, ta thấy mực nước \(\overline{a}\) nằm giữa 13 và 13,1 nhưng nằm rất sát vạch 13,1.
Do đó khoảng cách từ \(\overline{a}\) đến 13,1 nhỏ hơn khoảng cách từ \(\overline{a}\) đến 13, tức là:
\(|13,1 - \overline{a}| < |13 - \overline{a}|\).
Vậy số đo thể tích \(13,1\text{ cm}^3\) gần với thể tích của cốc nước hơn số đo \(13\text{ cm}^3\).
Giá trị \(\Delta_a = |a - \overline{a}|\) phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng \(\overline{a}\) và số gần đúng \(a\), được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng \(a\).
Chú ý.
Một công ty sử dụng dây chuyền A để đóng gạo vào bao với khối lượng mong muốn là \(5\text{ kg}\). Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là \(5 \pm 0,2\text{ kg}\). Gọi \(\overline{a}\) là khối lượng thực của một bao gạo do dây chuyền A đóng gói.
a) Xác định số đúng, số gần đúng và độ chính xác.
b) Giá trị của \(\overline{a}\) nằm trong đoạn nào?
Giải
a) Khối lượng thực của bao gạo \(\overline{a}\) là số đúng. Tuy không biết \(\overline{a}\) nhưng ta xem khối lượng bao gạo là \(5\text{ kg}\) nên \(5\) là số gần đúng cho \(\overline{a}\). Độ chính xác là \(d = 0,2\text{ (kg)}\).
b) Giá trị của \(\overline{a}\) nằm trong đoạn \([5 - 0,2; 5 + 0,2]\) hay \([4,8; 5,2]\).
Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là \(5 \pm 0,3\text{ }\mu\text{m}\). Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?
Số gần đúng là \(a = 5\text{ }\mu\text{m}\), độ chính xác \(d = 0,3\text{ }\mu\text{m}\).
Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn:
\([5 - 0,3; 5 + 0,3]\text{ hay }[4,7; 5,3]\text{ }\mu\text{m}\).
Chú ý. Trong các phép đo, độ chính xác \(d\) của số gần đúng bằng một nửa đơn vị của thước đo. Chẳng hạn, một thước đo có chia vạch đến xentimét thì mọi giá trị đo nằm giữa \(6,5\text{ cm}\) và \(7,5\text{ cm}\) đều được coi là \(7\text{ cm}\). Vì vậy, thước đo có thang đo càng nhỏ thì cho giá trị đo càng chính xác.
Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng mong muốn là \(20\text{ kg}\). Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là \(20 \pm 0,5\text{ kg}\).
Khẳng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là đúng hay sai?
Khẳng định “Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B” là sai.
Mặc dù độ chính xác của khối lượng bao gạo đóng bằng dây chuyền A nhỏ hơn (\(0,2\text{ kg} < 0,5\text{ kg}\)) nhưng do bao gạo đóng bằng dây chuyền B nặng hơn nhiều (\(20\text{ kg}\) so với \(5\text{ kg}\)) nên ta không dựa vào sai số tuyệt đối mà dựa vào sai số tương đối để so sánh.
Sai số tương đối của số gần đúng \(a\), kí hiệu là \(\delta_a\), là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và \(|a|\), tức là:
Nhận xét. Nếu \(\overline{a} = a \pm d\) thì \(\Delta_a \le d\), do đó:
$$\delta_a \le \frac{d}{|a|}$$
Nếu \(\frac{d}{|a|}\) càng nhỏ thì chất lượng của phép đo hay tính toán càng cao. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.
Trong một cuộc điều tra dân số, người ta viết dân số của một tỉnh là:
\(3\,574\,625\text{ người} \pm 50\,000\text{ người}\).
Hãy đánh giá sai số tương đối của số gần đúng này.
Giải
Ta có \(a = 3\,574\,625\text{ người}\) và \(d = 50\,000\text{ người}\), do đó sai số tương đối là:
$$\delta_a \le \frac{d}{|a|} = \frac{50\,000}{3\,574\,625} \approx 1,4\%.$$
Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn?
• Dây chuyền A: \(a = 5\text{ kg}\), \(d = 0,2\text{ kg}\):
$$\delta_A \le \frac{0,2}{5} = 0,04 = 4\%.$$
• Dây chuyền B: \(a = 20\text{ kg}\), \(d = 0,5\text{ kg}\):
$$\delta_B \le \frac{0,5}{20} = 0,025 = 2,5\%.$$
Vì \(2,5\% < 4\%\) nên dây chuyền B có sai số tương đối nhỏ hơn. Do đó, theo tiêu chí này, dây chuyền B tốt hơn dây chuyền A.
Trong thực tế đo đạc và tính toán, nhiều khi ta chỉ cần biết giá trị gần đúng của một đại lượng với độ chính xác nào đó (kể cả khi biết được giá trị đúng của nó). Khi đó, để cho gọn, các số thường được làm tròn (còn gọi là quy tròn).
Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần đúng của số ban đầu.
a) Làm tròn số \(2\,359,3\) đến hàng chục, số \(18,693\) đến hàng phần trăm và số đúng \(d \in [5,5; 6,5)\) đến hàng đơn vị. Đánh giá sai số tuyệt đối của phép làm tròn số đúng \(d\).
b) Cho số gần đúng \(a = 2,53\) với độ chính xác \(d = 0,01\). Số đúng \(\overline{a}\) thuộc đoạn nào? Nếu làm tròn số \(a\) thì nên làm tròn đến hàng nào? Vì sao?
Giải
a) Số quy tròn của số \(2\,359,3\) đến hàng chục là \(2\,360\); số quy tròn của số \(18,693\) đến hàng phần trăm là \(18,69\). Mọi số đúng \(d \in [5,5; 6,5)\) khi làm tròn đến hàng đơn vị đều thu được số quy tròn là 6 và sai số tuyệt đối \(|d - 6| \le 0,5\).
b) Số đúng \(\overline{a}\) thuộc đoạn \([2,53 - 0,01; 2,53 + 0,01]\) hay \([2,52; 2,54]\). Khi làm tròn số gần đúng \(a\) ta nên làm tròn đến hàng phần chục do chữ số hàng phần trăm của \(a\) là chữ số không chắc chắn đúng.
Cho số gần đúng \(a = 581\,268\) với độ chính xác \(d = 200\). Hãy viết số quy tròn của số \(a\).
Giải
Vì độ chính xác xác đến hàng trăm (\(d = 200 < 1\,000\)) nên ta làm tròn \(a\) đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên. Số quy tròn của \(a\) là \(581\,000\).
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:
a) \(11\,251\,900 \pm 300\); b) \(18,2857 \pm 0,01\).
a) Với \(11\,251\,900 \pm 300\):
Độ chính xác \(d = 300\) (ở hàng trăm, \(d < 1\,000\)) nên ta làm tròn số đến hàng nghìn. Chữ số hàng nghìn là 1, chữ số ngay sau nó là 9 (\(\ge 5\)) nên ta tăng thêm 1 đơn vị.
Số quy tròn là \(11\,252\,000\).
b) Với \(18,2857 \pm 0,01\):
Độ chính xác \(d = 0,01\) (ở hàng phần trăm, \(d < 0,1\)) nên ta làm tròn số đến hàng phần chục. Chữ số hàng phần chục là 2, chữ số ngay sau nó là 8 (\(\ge 5\)) nên ta tăng thêm 1 đơn vị.
Số quy tròn là \(18,3\).
Các nhà vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả là:
Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?
• Phương pháp 1: Ta có \(a_1 = 13,807\) và độ chính xác \(d_1 = 0,026\). Sai số tương đối là:
$$\delta_1 \le \frac{d_1}{|a_1|} = \frac{0,026}{13,807} \approx 0,001883 = 0,188\%.$$
• Phương pháp 2: Ta có \(a_2 = 13,799\) và độ chính xác \(d_2 = 0,021\). Sai số tương đối là:
$$\delta_2 \le \frac{d_2}{|a_2|} = \frac{0,021}{13,799} \approx 0,001522 = 0,152\%.$$
Vì \(0,152\% < 0,188\%\) nên phương pháp 2 có sai số tương đối nhỏ hơn phương pháp 1. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp 2 cho kết quả chính xác hơn.