Lý thuyết Bài 1: Mệnh đề
Khái niệm mệnh đề lôgic, mệnh đề toán học, mệnh đề chứa biến; Mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương; Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ; Kí hiệu với mọi (∀) và tồn tại (∃) cùng lời giải bài tập SGK trang 11.
BÀI 1: MỆNH ĐỀ
Sách giáo khoa Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 5 – 11)
Thuật ngữ trọng tâm
- Mệnh đề, mệnh đề toán học, mệnh đề chứa biến
- Mệnh đề phủ định ($\overline{P}$)
- Mệnh đề kéo theo ($P \Rightarrow Q$), mệnh đề đảo ($Q \Rightarrow P$)
- Mệnh đề tương đương ($P \Leftrightarrow Q$)
- Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ
- Các kí hiệu với mọi ($\forall$) và tồn tại ($\exists$)
Kiến thức, kĩ năng đạt được
- Thiết lập và phát biểu mệnh đề phủ định, mệnh đề đảo, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương.
- Thiết lập và phát biểu các mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall, \exists$.
- Xác định tính đúng sai của một mệnh đề trong những trường hợp đơn giản.
- Ứng dụng tư duy lôgic chính xác vào lập luận và các định lí toán học.
Bạn hãy quan sát bức tranh quang học đố vui sau đây:
- Câu hỏi đặt ra: "Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?"
- Bạn An nói: "Có 5 con vật xuất hiện trong hình vẽ."
- Bạn Khoa nói: "Có 6 con vật xuất hiện trong hình vẽ."
Trong các câu nói trên, câu nào khẳng định đúng, câu nào khẳng định sai? Những câu như thế được gọi là gì trong toán học?
a) Mệnh đề
HĐ1. Nhận biết câu khẳng định đúng, sai
Trong các câu ở tình huống mở đầu:
a) Câu nào đúng?
b) Câu nào sai?
c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?
Quan sát kĩ bức tranh ta thấy có 6 con vật lồng ghép vào nhau: con voi, con ngựa, con chó, con mèo, con chuột và chú khỉ nhỏ trên đuôi voi.
- a) Câu nói của Khoa: "Có 6 con vật xuất hiện trong hình vẽ" là câu đúng.
- b) Câu nói của An: "Có 5 con vật xuất hiện trong hình vẽ" là câu sai.
- c) Câu hỏi: "Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?" là câu nghi vấn, không xác định được tính đúng hay sai.
Những câu nói của An và Khoa là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Người ta gọi mỗi câu như vậy là một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.
QUY TẮC MỆNH ĐỀ
- Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
- Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ 1 (SGK trang 6)
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Câu nào không là mệnh đề?
a) Phương trình $3x^2 - 5x + 2 = 0$ có nghiệm nguyên;
b) $5 < 7 - 3$;
c) Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng?
d) Đấy là cách xử lí khôn ngoan!
- Phương trình $3x^2 - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = \dfrac{2}{3}$, trong đó $x = 1$ là số nguyên nên câu a là khẳng định đúng. Câu b khẳng định $5 < 4$ là khẳng định sai. Do đó, câu a và câu b là những mệnh đề.
- Câu c là câu hỏi, câu d là câu cảm thán nêu ý kiến đánh giá chủ quan của người nói, không xác định được tính đúng sai. Do đó, câu c và câu d không phải là mệnh đề.
Những mệnh đề liên quan đến sự kiện, đối tượng và tính chất trong toán học (như các câu a và b trong Ví dụ 1) được gọi là mệnh đề toán học. Những câu nghi vấn (câu hỏi), câu cảm thán, câu cầu khiến (ra lệnh, khuyên bảo) đều không phải là mệnh đề.
Luyện tập 1 (SGK trang 6)
Thay dấu "?" bằng dấu "$\checkmark$" vào ô thích hợp trong bảng sau:
| Câu | Không là mệnh đề | Mệnh đề đúng | Mệnh đề sai |
|---|---|---|---|
| 13 là số nguyên tố. | ✓ | ||
| Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. | ✓ | ||
| Bạn đã làm bài tập chưa? | ✓ | ||
| Thời tiết hôm nay thật đẹp! | ✓ |
- "13 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng vì 13 chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
- Bất đẳng thức tam giác quy định: Tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại ($a + b > c$), nên câu 2 là mệnh đề sai.
- Câu 3 là câu nghi vấn, câu 4 là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề.
b) Mệnh đề chứa biến
Xét câu: "$n$ chia hết cho 2" (với $n$ là số tự nhiên).
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này vì $n$ chưa xác định, do đó nó chưa phải là một mệnh đề. Tuy nhiên, nếu thay $n$ bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này sẽ trở thành một mệnh đề:
- Với $n = 5$, ta được câu "5 chia hết cho 2" $\Rightarrow$ Đây là một mệnh đề sai.
- Với $n = 10$, ta được câu "10 chia hết cho 2" $\Rightarrow$ Đây là một mệnh đề đúng.
Ta nói rằng câu "$n$ chia hết cho 2" là một mệnh đề chứa biến.
Câu hỏi (SGK trang 7)
Xét câu "$x > 5$". Hãy tìm hai giá trị thực của $x$ để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
- Chọn $x = 8$, ta được mệnh đề "$8 > 5$": Đây là mệnh đề đúng.
- Chọn $x = 3$, ta được mệnh đề "$3 > 5$": Đây là mệnh đề sai.
HĐ2. Phát biểu ý kiến trái ngược
Quan sát biển báo trong hình bên.
Khoa nói: "Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ".
An không đồng ý với ý kiến của Khoa. Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.
Ý kiến phủ định của An có thể phát biểu là: "Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ".
Để phủ định một mệnh đề $P$, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề $P$. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là $\overline{P}$.
QUY TẮC CHÂN TRỊ CỦA MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH
Mệnh đề $P$ và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau:
- Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai.
- Nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.
Ví dụ 2 (SGK trang 7)
Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
$P$: "17 là số chính phương";
$Q$: "Hình hộp chữ nhật không phải là hình lăng trụ đứng tứ giác".
- Mệnh đề phủ định của $P$ là $\overline{P}$: "17 không phải là số chính phương".
- Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}$: "Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng tứ giác".
Luyện tập 2 (SGK trang 7)
Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của nó:
$P$: "2 022 chia hết cho 5";
$Q$: "Bất phương trình $2x + 1 > 0$ có nghiệm".
- $\overline{P}$: "2 022 không chia hết cho 5". Chữ số tận cùng của 2 022 là 2, nên 2 022 không chia hết cho 5 $\Rightarrow$ $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.
- $\overline{Q}$: "Bất phương trình $2x + 1 > 0$ vô nghiệm". Xét $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2}$ (chẳng hạn $x = 0$ là nghiệm) nên bất phương trình có nghiệm $\Rightarrow$ $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.
Vận dụng (SGK trang 7)
Cho mệnh đề $Q$: "Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới". Phát biểu mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề $Q$ và $\overline{Q}$.
- Mệnh đề phủ định $\overline{Q}$: "Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới".
- Theo kiến thức địa lí, diện tích Châu Á xấp xỉ 44,58 triệu $\text{km}^2$, là châu lục rộng lớn nhất hành tinh. Do đó: $Q$ là mệnh đề đúng và $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.
a) Mệnh đề kéo theo
HĐ3. Cặp từ quan hệ
Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép sau:
"... sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông ... có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tuỳ theo mức độ vi phạm."
A. Nếu ... thì ...
B. Tuy ... nhưng ...
HĐ4. Thiết lập câu ghép Nếu... thì...
Cho hai câu:
$P$: "Tam giác ABC là tam giác vuông tại A";
$Q$: "Tam giác ABC có $AB^2 + AC^2 = BC^2$".
Câu ghép dạng "Nếu $P$ thì $Q$" là: "Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có $AB^2 + AC^2 = BC^2$".
ĐỊNH NGHĨA MỆNH ĐỀ KÉO THEO
Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.
| $P$ | $Q$ | $P \Rightarrow Q$ | Ghi chú |
|---|---|---|---|
| Đúng | Đúng | Đúng | Từ đúng suy ra đúng |
| Đúng | Sai | Sai | Trường hợp duy nhất sai |
| Sai | Đúng | Đúng | Tiền đề sai thì luôn đúng |
| Sai | Sai | Đúng | Tiền đề sai thì luôn đúng |
Ví dụ 3 (SGK trang 8)
Cho tứ giác ABCD, xét hai câu sau:
$P$: "Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$";
$Q$: "ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn".
Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.
- Phát biểu: "$P \Rightarrow Q$: Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn".
- Mệnh đề kéo theo này là một mệnh đề đúng (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp trong hình học phẳng).
ĐỊNH LÍ TOÁN HỌC & ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng $P \Rightarrow Q$. Khi đó ta nói:
- $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí.
- $P$ là điều kiện đủ để có $Q$.
- $Q$ là điều kiện cần để có $P$.
b) Mệnh đề đảo
HĐ5. Hoán đổi vị trí câu
Xét hai câu sau:
$P$: "Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt";
$Q$: "Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$".
a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Hãy phát biểu mệnh đề $Q \Rightarrow P$.
- a) $P \Rightarrow Q$: "Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$".
- b) $Q \Rightarrow P$: "Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt".
ĐỊNH NGHĨA MỆNH ĐỀ ĐẢO
Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
Ví dụ 4 (SGK trang 9)
Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề: "Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC là tam giác cân" và xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.
- Mệnh đề đảo: "Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều".
- Mệnh đề đảo này là một mệnh đề sai (vì tam giác cân có thể có góc ở đỉnh bằng $40^\circ$, không nhất thiết phải là tam giác đều).
Luyện tập 3 (SGK trang 9)
Cho các mệnh đề $P$: "a và b chia hết cho c"; $Q$: "a + b chia hết cho c".
a) Phát biểu định lí $P \Rightarrow Q$ dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai.
- a) $P \Rightarrow Q$: "Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$".
+ Điều kiện đủ: "$a$ và $b$ chia hết cho $c$ là điều kiện đủ để $a + b$ chia hết cho $c$".
+ Điều kiện cần: "$a + b$ chia hết cho $c$ là điều kiện cần để $a$ và $b$ chia hết cho $c$".
- b) Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu $a + b$ chia hết cho $c$ thì $a$ và $b$ chia hết cho $c$". Đây là mệnh đề sai (ví dụ: $1 + 3 = 4$ chia hết cho 2 nhưng 1 và 3 không chia hết cho 2).
HĐ6. Tính hai chiều của dấu hiệu chia hết
Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:
"Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại".
Mệnh đề trên là mệnh đề đúng vì: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5, và ngược lại số chia hết cho 5 chắc chắn tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Ta có thể phát biểu ngắn gọn: "Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5".
ĐỊNH NGHĨA MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG
Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.
- "P tương đương với Q".
- "P là điều kiện cần và đủ để có Q".
- "P khi và chỉ khi Q".
Ví dụ 5 (SGK trang 9)
Cho hai mệnh đề:
$P$: "Tứ giác ABCD là hình vuông";
$Q$: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này.
- Phát biểu: "$P \Leftrightarrow Q$: Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".
- Mệnh đề tương đương này là một mệnh đề đúng vì cả hai chiều $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng (dấu hiệu nhận biết hình vuông).
Luyện tập 4 (SGK trang 9)
Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên $n$ chia hết cho 2.
Ta có thể phát biểu bằng một trong các cách chuẩn sau:
- "Số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 là điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho 2".
- Hoặc: "Số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 khi và chỉ khi $n$ có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8)".
Trong toán học, để diễn đạt tính phổ quát (với mọi phần tử) hoặc tính tồn tại (ít nhất một phần tử), người ta dùng hai kí hiệu đặc biệt:
Đọc là: "Với mọi"
Biểu thị tính chất nghiệm đúng với tất cả các phần tử thuộc tập hợp.
Đọc là: "Tồn tại" (hoặc "có ít nhất một")
Biểu thị có ít nhất một phần tử trong tập hợp thỏa mãn tính chất.
Ví dụ:
- Câu "Mọi số thực đều có bình phương không âm" được viết là: $P$: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0$".
- Câu "Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2" được viết là: $Q$: "$\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2$".
- Mệnh đề $P$ là đúng vì mọi số thực bình phương lên đều $\ge 0$.
- Mệnh đề $Q$ là sai vì $x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$, mà $\pm\sqrt{2}$ là các số vô tỉ (không thuộc $\mathbb{Q}$).
Luyện tập 5 (SGK trang 10)
Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai:
$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$
- Phát biểu bằng lời: "Với mọi số thực $x$, bình phương của nó cộng với 1 luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0" (hoặc "Bình phương cộng 1 của mọi số thực đều không dương").
- Tính đúng sai: Mệnh đề này là sai vì với mọi số thực $x$, ta luôn có $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge 1 > 0$.
Phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall, \exists$
QUY TẮC LẤY PHỦ ĐỊNH
- Phủ định của mệnh đề "$\forall x \in X, P(x)$" là mệnh đề "$\exists x \in X, \overline{P(x)}$".
- Phủ định của mệnh đề "$\exists x \in X, P(x)$" là mệnh đề "$\forall x \in X, \overline{P(x)}$".
Ví dụ 6 (SGK trang 10)
Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của nó:
$P$: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0$"
- Mệnh đề phủ định là $\overline{P}$: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \ne 0$".
- Vì với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge 1 \ne 0$. Do đó, mệnh đề phủ định $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.
Luyện tập 6 (SGK trang 10)
Trong tiết học Toán:
Nam phát biểu: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1".
Mai phát biểu: "Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1".
a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.
b) Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết lại các phát biểu.
- a) Bạn Mai phát biểu đúng, bạn Nam phát biểu sai. Vì có số thực $x = 1$ (hoặc $x = -1$) có bình phương bằng 1 ($1^2 = 1$).
- b) Viết bằng kí hiệu:
+ Nam: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ne 1$".
+ Mai: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 1$".
(Nhận xét: Hai mệnh đề này là phủ định của nhau).
Bài 1.1 (SGK trang 11)
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.
- Câu a) là mệnh đề: Đây là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai rõ ràng (tính đến năm 2023 Ấn Độ đã vượt Trung Quốc nên đây là mệnh đề sai, nhưng nó vẫn là một mệnh đề).
- Câu b) không phải là mệnh đề: Đây là câu nghi vấn (câu hỏi).
- Câu c) không phải là mệnh đề: Đây là câu cầu khiến (mệnh lệnh, nhắc nhở nội quy).
- Câu d) không phải là mệnh đề: Đây là câu khẳng định về một hành động trong tương lai chưa diễn ra, tại thời điểm nói không xác định được tính đúng sai.
Bài 1.2 (SGK trang 11)
Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) $\pi > \dfrac{10}{3}$;
b) Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm;
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2 022 là hợp số.
- a) Sai: Ta có $\pi \approx 3,14159...$ và $\dfrac{10}{3} \approx 3,3333...$ Vì $3,14159 < 3,3333$ nên mệnh đề $\pi > \dfrac{10}{3}$ là mệnh đề sai.
- b) Đúng: Ta giải phương trình $3x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{7}{3}$. Phương trình có nghiệm thực duy nhất nên đây là mệnh đề đúng.
- c) Đúng: Chọn số $0$, ta có $0 + 0 = 0$. Vậy tồn tại số cộng với chính nó bằng 0 nên đây là mệnh đề đúng.
- d) Đúng: Tổng các chữ số của 2 022 là $2 + 0 + 2 + 2 = 6$ chia hết cho 3, nên $2 022 \;\vdots\; 3$. Ngoài ra 2 022 là số chẵn lớn hơn 2 nên chia hết cho 2. Do đó 2 022 có nhiều hơn 2 ước số dương, tức 2 022 là hợp số $\Rightarrow$ Đây là mệnh đề đúng.
Bài 1.3 (SGK trang 11)
Cho hai câu sau:
$P$: "Tam giác ABC là tam giác vuông";
$Q$: "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.
- Phát biểu mệnh đề tương đương:
"Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại" (hoặc dùng cụm từ "tương đương với", "điều kiện cần và đủ").
- Xác định tính đúng sai: Mệnh đề tương đương này là một mệnh đề đúng.
Chứng minh chi tiết:
+ Chiều thuận ($P \Rightarrow Q$): Nếu tam giác ABC vuông, giả sử tại $A$ thì $\widehat{A} = 90^\circ$. Tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ = \widehat{A}$. Như vậy góc $A$ bằng tổng hai góc còn lại.
+ Chiều đảo ($Q \Rightarrow P$): Giả sử góc $A$ bằng tổng hai góc $B$ và $C$, tức $\widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$. Vì $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{A} = 180^\circ \Rightarrow 2\widehat{A} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} = 90^\circ$. Vậy tam giác ABC vuông tại $A$.
Cả hai chiều đều đúng nên mệnh đề tương đương là đúng.
Bài 1.4 (SGK trang 11)
Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng:
$P$: "Nếu số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là 5 thì $n$ chia hết cho 5";
$Q$: "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau".
- Mệnh đề đảo của $P$: "Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 5 thì $n$ có chữ số tận cùng là 5".
+ Tính đúng sai: Mệnh đề đảo này là sai vì các số tự nhiên chia hết cho 5 có thể có chữ số tận cùng là 0 (ví dụ số 10, 20 chia hết cho 5 nhưng tận cùng bằng 0).
- Mệnh đề đảo của $Q$: "Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật".
+ Tính đúng sai: Mệnh đề đảo này là sai vì hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình chữ nhật (hoặc tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình bình hành).
Bài 1.5 (SGK trang 11)
Với hai số thực $a$ và $b$, xét các mệnh đề $P$: "$a^2 < b^2$" và $Q$: "$0 < a < b$".
a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.
- a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: "Nếu $a^2 < b^2$ thì $0 < a < b$".
- b) Mệnh đề đảo ($Q \Rightarrow P$): "Nếu $0 < a < b$ thì $a^2 < b^2$".
- c) Tính đúng sai:
+ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề sai. Phản ví dụ: Chọn $a = -2, b = 3 \Rightarrow a^2 = 4 < b^2 = 9$ (thỏa mãn giả thiết $P$) nhưng $a = -2 < 0$ nên không thỏa mãn $0 < a < b$. Hoặc chọn $a = -2, b = -3 \Rightarrow a^2 = 4 < b^2 = 9$ nhưng $a > b$.
+ Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề đúng. Thật vậy: Vì $0 < a < b$, nhân hai vế của $a < b$ với $a > 0$ ta được $a^2 < ab$; nhân hai vế của $a < b$ với $b > 0$ ta được $ab < b^2$. Do đó $a^2 < ab < b^2 \Rightarrow a^2 < b^2$.
Bài 1.6 (SGK trang 11)
Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó:
$Q$: "$\exists n \in \mathbb{N}, n \text{ chia hết cho } n + 1$"
- Tính đúng sai của mệnh đề $Q$: Mệnh đề $Q$ là một mệnh đề đúng.
Chứng minh: Trong tập số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$, ta chọn phần tử $n = 0$. Khi đó $n + 1 = 0 + 1 = 1$. Ta có $0$ chia hết cho $1$ (vì $0 = 0 \cdot 1$). Vậy tồn tại số tự nhiên $n = 0$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
- Mệnh đề phủ định $\overline{Q}$:
Áp dụng quy tắc phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu $\exists$, ta đổi $\exists$ thành $\forall$ và phủ định khẳng định:
$\overline{Q}$: "$\forall n \in \mathbb{N}, n \text{ không chia hết cho } n + 1$".
(Vì $Q$ đúng nên $\overline{Q}$ là mệnh đề sai).
Bài 1.7 (SGK trang 11)
Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:
$P$: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";
$Q$: "Có một số thực cộng với chính nó bằng 0".
- Mệnh đề $P$ viết bằng kí hiệu là:
EM CÓ BIẾT? LỊCH SỬ LÔGIC MỆNH ĐỀ
Lôgic mệnh đề lần đầu tiên được phát triển một cách có hệ thống bởi nhà triết học vĩ đại thời Hy Lạp cổ đại Aristotle hơn 2 300 năm trước.
Đến năm 1854, nhà toán học người Anh George Boole đã hình thức hóa các quy luật suy luận lôgic thành một hệ thống đại số hoàn chỉnh trong tác phẩm nổi tiếng "The Laws of Thought". Ngày nay, đại số Boole và lôgic mệnh đề chính là nền tảng cốt lõi của công nghệ máy tính số, trí tuệ nhân tạo (AI) và vi mạch điện tử hiện đại.
